2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十七 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十七 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

专题十七　与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题 ‎1．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．18 B．24 ‎ C．36 D．48‎ 答案： C　[不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.][来源:Zxxk.Com]‎ ‎2．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)．‎ A．(0,2) B．[0,2]‎ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 答案：C　[∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.‎ 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4＜y0＋2，∴y0＞2.]‎ ‎3．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则O·F的取值范围为(　　)．‎ A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)‎ C. D. 答案：B　[如图，由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，‎ ‎∴双曲线方程为－y2＝1. ‎ 设P(x，y)(x≥)，‎ O·F＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2‎ ‎＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)．‎ 令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g()＝3＋2.∴O·F的取值范围为[3＋2，＋∞)．]‎ ‎4．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.‎ 解析　因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－ ＝2 －＝，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a＞x，∴x2＋a－x＞0.‎ 设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，‎ 则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.‎ 答案　 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．‎ 复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.‎ 必备知识 有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．‎ ‎(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ |‎ x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：‎ ‎|x2－x1|＝ ；‎ ‎|y2－y1|＝ .‎ ‎(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．‎ 圆锥曲线中的最值 ‎(1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有 ‎①|OP|∈[b，a]；‎ ‎②|PF1|∈[a－c，a＋c]；‎ ‎③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；‎ ‎④∠F1PF2≤∠F1BF2.‎ ‎(2)双曲线中的最值 F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有 ‎①|OP|≥a；‎ ‎②|PF1|≥c－a.‎ ‎(3)抛物线中的最值 点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有 ‎①|PF|≥；‎ ‎②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值．‎ 必备方法 ‎1．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．‎ ‎2．‎ 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.‎ 该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．‎ ‎(1)求曲线C1的方程；‎ ‎(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录]‎ ‎[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．‎ ‎(1)解　法一　设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.‎ 易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，‎ 所以＝x＋5.‎ 化简得曲线C1的方程为y2＝20x.‎ 法二　由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.‎ ‎(2)证明　当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.‎ 整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①‎ 设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1＋k2＝－＝－.②‎ 由得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③‎ 设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1y2＝.④‎ 同理可得y3y4＝.⑤‎ 于是由②，④，⑤三式得 y1y2y3y4＝ ‎＝ ‎＝＝6 400.‎ 所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.‎ ‎ 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．‎ ‎【突破训练1】 设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点．‎ ‎(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；‎ ‎(2)求证：·是一个定值．‎ ‎(1)解　∵F(1,0)，∴直线L的方程为y＝x－1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝· ‎＝·＝8.‎ ‎(2)证明　设直线L的方程为x＝ky＋1，‎ 由得y2－4ky－4＝0.‎ ‎∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．‎ ‎∵O·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2‎ ‎＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2‎ ‎＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.‎ ‎∴·是一个定值．‎ 该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例2】如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录][来源:Zxxk.Com]‎ ‎[审题视点] (1)利用椭圆的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为求解．‎ ‎(2)由题意可知直线l的斜率存在，设为y＝kx＋m，结合椭圆方程，线段AB被直线OP平分可求k值．然后以AB为底，点P到直线AB的距离为高表示出S△ABP的表达式，借助导数求最值．[来源:学科网]‎ 解　(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得 得 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.‎ 当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，‎ 由消去y，整理得 ‎(3＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，(1)‎ 则Δ＝64k‎2m2‎－4(3＋4k2)(‎4m2‎－12)＞0，‎ 所以线段AB的中点M.‎ 因为M在直线OP：y＝x上，所以＝.‎ 得m＝0(舍去)或k＝－.‎ 此时方程(1)为3x2－3mx＋m2－3＝0，则 Δ＝3(12－m2)＞0， 所以|AB|＝·|x1－x2|＝·.‎ 设点P到直线AB距离为d，则 d＝＝.‎ 设△ABP的面积为S，则 S＝|AB|·d＝·.‎ 其中m∈(－2 ，0)∪(0,2 )．‎ 令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2 ，2 ]，‎ u′(m)＝－4(m－4)(m2－‎2m－6)‎ ‎＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．‎ 所以当且仅当m＝1－，u(m)取到最大值．‎ 故当且仅当m＝1－，S取到最大值．‎ 综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2 －2＝0.‎ ‎ 求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．‎ ‎【突破训练2】已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ 答案： A　[由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.]‎ 此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例3】如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝，且＝2.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设动点P满足：＝＋2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录]‎ ‎[审题视点] (1)利用e＝，＝2求a，c.‎ ‎(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由＝＋2可得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，又点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，可得x＋2y＝4，x＋2y＝4，再结合直线OM与ON的斜率之积为－.可求得点P满足方程x2＋2y2＝20.由椭圆的定义可求解．‎ 解　(1)由e＝＝，＝2，解得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2，得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，‎ 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，‎ 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，‎ 故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)‎ ‎＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)‎ ‎＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．‎ 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，‎ 所以x2＋2y2＝20.‎ 所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值，又因c＝＝，因此两焦点的坐标为F1(－，0)，F2(，0)．‎ ‎ 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由已知，得直线l的方程为y＝kx＋，‎ 代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，‎ 整理，得x2＋2kx＋1＝0，①‎ 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 Δ＝8k2－4×＝4k2－2＞0，‎ 解得k＜－或k＞，‎ 即k的取值范围为∪.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 由方程①，得x1＋x2＝－，②‎ 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.③‎ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，‎ 所以＋与共线等价于 x1＋x2＝－(y1＋y2)，‎ 将②③代入上式，解得k＝，‎ 由(1)知k＜－或k＞，故没有符合题意的常数k.‎ 圆锥曲线“最”有应得 椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活，学生时常感到无从下手．常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，下面给同学们提供两种解法，只要掌握了它们，就可以“最”有应得．‎ 一、几何法求最值 ‎【示例1】► 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足＋＝(－4，－12)．‎ ‎(1)求直线l和抛物线的方程；‎ ‎(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求△ABP面积的最大值．‎ ‎[满分解答]　(1)根据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．‎ 由得x2＋2pkx－4p＝0.(2分)‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.‎ 所以＋＝(－4，－12)，所以 解得故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线方程为x2＝－2y.(6分)‎ ‎(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大．‎ 对y＝－x2求导，得y′＝－x，所以－x0＝2，即x0＝－2，y0＝－x＝－2，即P(－2，－2)．‎ 此时点P到直线l的距离 d＝＝＝.(9分)‎ 由得x2＋4x－4＝0，‎ 则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，‎ ‎|AB|＝ · ‎＝ · ‎＝4 .‎ 于是，△ABP面积的最大值为 ×4 ×＝8 .(12分)‎ 老师叮咛：当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线间的距离，就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点，这种求最值的方法称为切线法．‎ 切线法的基本思想是数形结合，其中求曲线的切线方程需要利用导数知识，判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性，通过图形来确定何时取得最大值，何时取得最小值．‎ 二、函数法求最值 ‎【示例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎[满分解答]　(1)由e＝＝ ＝ ，得a＝b，‎ 椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，‎ 设P(x，y)为C上任意一点，‎ 则|PQ|＝ ＝ ，[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎－b≤y≤b.‎ 若b＜1，则－b＞－1，当y＝－b时，|PQ|max＝ ＝3，又b＞0，得b＝1(舍去)，‎ 若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，|PQ|max＝ ＝3，得b＝1.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(6分)‎ ‎(2)法一　假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤，‎ 当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，‎ 此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，‎ 则＝，得m2＋n2＝2，又＋n2＝1，解得m2＝，n2＝，即存点M的坐标为，‎ ，，满足题意，且△AOB的最大面积为.(12分)‎ 法二　假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤，‎ 又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①‎ 把n2＝1－代入①整理得(3＋‎2m2‎)x2－6mx＋m2＝0，‎ 则Δ＝‎8m2‎(3－m2)≥0，‎ ‎∴②‎ 而S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，‎ 当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，‎ 此时·＝x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝·＝，‎ ‎∴x1x2＋＝0，‎ 即3－‎3m(x1＋x2)＋(3＋‎2m2‎)·x1x2＝0，‎ 把②代入上式整理得‎2m4－‎9m2‎＋9＝0，‎ 解得m2＝或m2＝3(舍去)，‎ ‎∴m＝±，n＝± ＝±，‎ ‎∴M点的坐标为，，，，使得S△AOB取得最大值.(12分)‎ 老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【试一试】 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)．‎ A. B. C. D．3‎ 答案： A　[可知过抛物线点的切线与直线4x＋3y－8＝0平行时，所求的距离最小，y′＝－2x.令－2x＝－，解得x＝，从而切点坐标为，切线方程为y＋＝－，即4x＋3y－＝0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d＝＝.故选A.]‎