2019-2020学年安徽省黄山市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省黄山市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省黄山市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接根据补集、交集的定义计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使函数有意义，需被开方数大于等于零，再根据指数函数的性质解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为 所以 解得即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域的计算，指数函数的性质，属于基础题.‎ ‎3．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎4．已知，若，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，可得0，根据平面向量的数量积坐标运算公式，可得一个关于m的方程，解方程可得m值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 又∵，‎ ‎∴0‎ 即﹣1×3+2m＝0‎ 即m 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，数量积为0，构造关于m的方程，是解答本题的关键．‎ ‎5．已知函数，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用分段函数解析式，由内到外依次计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求函数值，属于基础题.‎ ‎6．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】运用中间量比较，运用中间量比较 ‎【详解】‎ 则．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．‎ ‎7．新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】用向量表示速度，由题意可得，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：设船的实际速度为，和的夹角为，‎ 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的实际应用和解三角形，属于基础题．‎ ‎8．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A．为奇函数 B．直线是的图象的一条对称轴 C．的最小正周期为 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用函数的平移变换求出函数的关系式，进一步利用三角函数的性质求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，‎ 则 根据余弦函数的奇偶性可知为偶函数，且最小正周期为，‎ 令，，解得，，故函数的对称轴为，，当时，，‎ ‎，综上可得，正确的为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的平移变换，余弦函数的性质，属于基础题.‎ ‎9．函数的部分图象如图所示,则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的部分图像，求出和的值，即可解出函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ 根据函数的部分图像可知，‎ ‎，，，‎ 根据五点作图法可知，时，，解得，‎ 所以函数的解析式为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，属于基础题.‎ ‎10．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：‎ 级数 一级 二级 三级 每月应纳税所得额元（含税）‎ 税率 ‎3‎ ‎10‎ ‎20‎ 现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）‎ A．1800 B．1000 C．790 D．560‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意分段计算李某的个人所得税额；‎ ‎【详解】‎ 解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，‎ 不超过3000的部分税额为元，‎ 超过3000元至12000元的部分税额为元，‎ 所以李某月应缴纳的个税金额为元．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于基础题．‎ ‎11．为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由，‎ 如图设 ‎，即是的重心 同理可得，‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎12．设函数是定义在上的周期为2的函数，对任意的实数，恒 ‎，当时，，若在上有且仅有五个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出．‎ ‎【详解】‎ 解：，，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示：‎ 在上有且仅有五个零点，‎ 和的图象上有且仅有五个零点，‎ 又因为为偶函数，且当时，‎ ‎，解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点个数的判断，作出的函数图象是解题关键，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．计算_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据分数指数幂的性质及对数的性质计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的性质以及分数指数幂的性质，属于基础题.‎ ‎14．化简___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎15．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意在上是增函数，则二次函数的对称轴需大于等于，一次函数的，且在处的函数值需不小于二次函数的函数值，即可得到不等式组，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数，在上是增函数 则解得，即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性求参数的取值范围，特别需注意的断点处函数值的大小关系，属于中档题.‎ ‎16．已知下列命题 ‎①若，则；‎ ‎②向量与不共线，则与都是非零向量；‎ ‎③已知是平面内任意三点，则；‎ ‎④若为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形；‎ ‎⑤若向量与同向，且，则.‎ 则其中错误命题的序号为__________.‎ ‎【答案】①⑤‎ ‎【解析】根据向量共线的定义、向量线性运算及向量的数量积的运算律计算即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，当，若，则与不一定平行．故错；‎ 对于②，零向量与任何向量平行，向量与不共线，则与都是非零向量，正确．‎ 对于③，根据向量加法的三角形法则 可判定③正确；‎ 对于④，‎ 所以为等腰三角形，故正确.‎ 对于⑤，任意两个向量与无法比较大小，只能比较其模的大小，故错误.‎ 故答案为：①⑤．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假判定，涉及到向量的基础知识，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．‎ ‎（1）若a=-2，求B∩A，B∩(∁UA)；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）B∩A=[1，4），B∩(∁UA)= [-4,1)∪[4,5)；（2） .‎ ‎【解析】(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论是否是空集，列出不等式组求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁UA={x|x＜1或x≥4}，‎ ‎∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），‎ B∩(∁UA)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).‎ ‎（2）A∪B=A⇔B⊆A，‎ ‎①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,‎ ‎②B≠∅时，则有，∴,‎ 综上所述，所求a的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.‎ ‎18．（1）设，且与的夹角为，求的值；‎ ‎（2）设，求与的夹角.‎ ‎【答案】（1）3（2）‎ ‎【解析】（1）首次根据向量的数量积的定义式求出，再根据向量的数量积的运算律计算可得.‎ ‎（2）直接利用夹角公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，且与的夹角为 所以 所以 ‎（2）‎ ‎，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积及运算律，夹角公式的应用，属于基础题.‎ ‎19．设函数，若在处取得最小值.‎ ‎（1）求函数解析式；‎ ‎（2）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由在处取得最小值，求出即可得到函数解析式；‎ ‎（2）首先求出的解析式，再结合正弦函数的性质计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为在处取得最小值，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）函数的图象按平移后得到函数，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的性质，三角函数的变换，属于基础题.‎ ‎20．如图，已知，､分别为边､上的点，且，与交于，设存在和使.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）用表示.‎ ‎【答案】（1），，（2）‎ ‎【解析】（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得；‎ ‎（2）根据向量加法运算法则，计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由于，则，，，‎ ‎，，‎ ‎ ①， ②‎ 由①②得，‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算和几何意义，属于基础题.‎ ‎21．美国想通过对中国芯片的技术封镜达到扼杀中国科技的企图，但却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入4千万元，公司获得毛收入1千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示：‎ ‎（1）试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；‎ ‎（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.‎ ‎（利润芯片毛收入芯片毛收入-研发耗费资金）‎ ‎【答案】（1）芯片的毛收入，芯片的毛收入，（2）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.‎ ‎【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式；‎ ‎（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设投入资金千万元，则生产芯片的毛收入，‎ 将代入，得，∴所以，生产芯片的毛收入.‎ ‎（2）公司投入4亿元资金同时生产两种芯片设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片公司所获利润故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查给定函数模型解决实际问题，考查二次函数的最值问题，属于综合题．‎ ‎22．定义在上的函数，对于任意的，都有成立，当时，.‎ ‎（1）判断是上的单调性并利用定义证明；‎ ‎（2）当时，解不等式.‎ ‎【答案】（1）是上的单调递减，证明见解析，（2）见解析 ‎【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；‎ ‎（2）首先求出，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量不等式，再对参数分类讨论可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）是上的单调递减.证明如下：‎ 任意且，则由于对任意正实数都有，‎ 所以 即，又当时，，而所以.‎ 从而，因此在上是减函数.‎ ‎（2）根据条件有，‎ 所以等价于.‎ 由（1）知是定义在上的减函数，所以，即.‎ 若时，不成立，此时不等式的解集为空集；‎ 若时，，即，此时不等式的解集为；‎ 若时，，即，此时不等式的解集为.‎ 综上所述：‎ 当时，不成立，此时不等式的解集为空集；‎ 当时，，即，此时不等式的解集为；‎ 当时，，即，此时不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题.‎