2014龙岩1月份质检文数试卷
龙岩市 2013 一 2014 学年第一学期高三教学质量检查
数学试题（文科）
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 B 卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟．
2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．
3.本试卷主要考试内容：除“统计与统计案例，计数原理、概率，算法初步，数系的扩充与复
数的引入”外的高考内容．
第工卷（选择题共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1、复数 2
1
i
i
的虚部为
A、i B、－i C、1 D、－1
2、已知集合 A={x｜x2＋x－2<0｝，集合 B= {x｜(x＋2) (3－x)＞0｝，则 等于
A. {x｜1≤x<3｝ B. {x｜2≤x<3｝
C. {x｜－2
0
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13.在△ABC 中，sin A＝ 3
4
，C= 300，BC= 3，则 AB 等于＿＿＿＿
14.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是＿＿＿＿
15.已知直线 2x＋y－4＝0 过椭圆 E：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点 F2 ，且与椭圆 E 在第一象限
的交点为 M，与 y 轴交于点 N，F1 是椭圆 E 的左焦点，且｜MN｜＝｜MF1｜，则椭圆 E 的方程为
＿＿＿＿＿
16.设集合 M＝｛f（x）｜存在实数 t 使得函数 f (x)满足 f(t+1) = f (t)＋f(1)｝，则下列函数(a,b,k 都是
常数）：
其中属于集合 M 的函数是＿＿＿＿＿（填序号）．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分 12 分）
已知等差数列｛ na ｝的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0，且 S3 =9 ，a1，a3，a7 成等比数列．
（1)求数列｛ na ｝的通项公式；
（2)设 nb ＝ 2 na ，求数列｛ nb ｝的前 n 项和 Tn，
18.（本小题满分 12 分）
某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数 X 依次为 A，B，C，D,
E.现从该种食品中随机抽取 20 件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分
布表如下：
(1)在所抽取的 20 件样品中，等级系数为 D 的恰有 3 件，等级系数为 E 的恰有 2 件，求 a ,b,
c 的值；
(2)在（1)的条件下，将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x1 ，x2 ，x3，等级系数为 E 的 2 件样品
记为 y1 ，y2，现从 x1，x2 ，x3，y1，y2 这 5 件样品中一次性任取两件（假定每件样品被取出
的可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．
19.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC—A1B1 C1 中，AA1⊥面 ABC, AC⊥BC, E 分别在线段 B1C1 上，B1E=
3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.
（1）求证：BC⊥AC1；
(2)试探究：在 AC 上是否存在点 F，满足 EF／／平面 A1ABB1，若存在，请指出点 F 的位置，
并给出证明；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分 12 分）
如图所示，在直径为 BC 的半圆中,A 是弧 BC 上一点，正方形 PQRS 内接于△ABC，若 BC = a ,
∠ABC= θ，设△ABC 的面积为 Sl，正方形 PQRS 的面积为 S2.
（1）用 a，θ表示 S1 和 S2；
（2)当 a 固定，θ变化时，求 1
2
S
S
取得最小值时θ的值．
21、（本小题满分 12 分）
如图，斜率为 l 的直线过抛物线 y2＝2 px(p>0)的焦点，与抛物线交于两点 A, .B，M 为抛物
线弧 AB 上的动点．
（1）若｜AB｜＝8，求抛物线的方程；
（2）求 ABMS 的最大值
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 f（x）＝lnx－a2x2＋ax（aR）.
（l）当 a＝1 时，证明：函数 f（x）只有一个零点；
（2）若函数 f(x)在区间（1，十 ）上是减函数，求实数 a 的取值范围．
龙岩市 2013~2014 学年第一学期高三教学质量检查
数学试题参考答案(文科)
1．D ∵原式＝
－2i（1＋i）
2 ＝1－i，∴其虚部为－1.
2．A ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴( RA)∩B＝{x|1≤x＜3}．
3．B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则 log2(3x＋1)>0，∴p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.
4．B f(6)＝f[f(6＋5)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)＝f[f(8＋5)]＝f[f(13)] ＝f[f(13－3)]＝f(10)＝10－3
＝7.
5．C 由题意得双曲线的一个焦点为(－3，0)，则 m＝32－8＝1，则 C 的离心率等于 3.
6．C 满足约束条件的可行域如图所示．
因为函数 z＝2y－3x，所以 zA＝－3，zB＝2，zC＝4，
即目标函数 z＝2y－3x 的最大值为 4，故选 C.
7．A 依题意知，
x
－＝
17
10＝1.7，
y
－＝
4
10＝0.4，而直线
y
^＝－3＋
b
^x 一定经过
点(
x
－，
y
－)，所以－3＋
b
^×1.7＝0.4，解得
b
^＝2.
8．C 运行一下程序框图，第一步：s＝2，i＝4，k＝2；第二步：s＝
1
2×2×4＝4，i＝6，k＝3；第
三步：s＝
1
3×4×6＝8，i＝8，k＝4，此时输出 s，即输出 8.
9．B 将 f(x)＝2sin(2x－
π
6 )的图象向左平移 m 个单位，得函数 g(x)＝2sin(2x＋2m－
π
6 )的图象，
则由题意得 2×
π
6 ＋2m－
π
6 ＝kπ＋
π
2 (k∈Z)，即有 m＝
kπ
2 ＋
π
6 (k∈Z)，∵m＞0，∴当 k＝0 时，mmin
＝
π
6 .
10.D 若 f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2 没有零点，则－a2＋a＋2＞0，解得－1＜a＜2，
则函数 y＝f(x)有零点的概率 P＝1－
2－（－1）
3－（－2）＝
2
5.
11．B 依题意，|
OA
→|＝|
OC
→|＝|
AB
→|＝，
OA
→·
OC
→＝×cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝
1
2，∠AOC＝
π
3 ，则|
AC
→|
＝|
OA
→|＝|
OC
→|＝，∠BAC＝
π
3 ，
AB
→·
AC
→＝×cos∠BAC＝1.
12．B f′(x)＝sin x－
1
2x2，当 x∈(
π
3 ，
5π
6 )时，sin x∈(
1
2，1]，
1
2x2∈(
18
25π2，
9
2π2)，则当 x∈(
π
3 ，
5π
6 )
时，f′(x)＝sin x－
1
2x2＞0，即函数 y＝f(x)在(
π
3 ，
5π
6 )单调递增，即 f(a)＜f(b)．
13．2
AB
sin C＝
BC
sin A⇒AB＝2.
14．12 由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为 4，三棱柱的底
面三角形为直角三角形，两直角边分别为 2，
3
2，所以三角形的底面积为
1
2×2×
3
2＝
3
2，所以三棱柱的体
积为
3
2×4＝6，所以该几何体的体积为 2×6＝12.
15.
x2
5 ＋y2＝1 直线 2x＋y－4＝0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2，0)、(0，4)，则 c＝2，|F2N|＝2，
∵|MN|＝|MF1|，∴|MF2|＋|MF1|＝|F2N|＝2a，即 a＝，∴椭圆 E 的方程为
x2
5 ＋y2＝1.
16．②④ 对于①，由 k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b 得 b＝0，矛盾；
对于②，由 at＋1＝at＋a 知，可取 t＝loga
a
a－1符合题意；
对于③，由
k
t＋1＝
k
t＋k 知，无实根；
对于④，由 sin(t＋1)＝sin t＋sin 1 知，取 t＝2kπ，k∈Z 符合题意；
综上所述，属于集合 M 的函数是②④.
17．解：(1)a
2
3＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，化简得 d＝
1
2a1，d＝0(舍去)．
∴S3＝3a1＋
2×3
2 ×
1
2a1＝
9
2a1＝9，得 a1＝2，d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即 an＝n＋1.（6 分）
(2)∵bn＝2an＝2n＋1，∴b1＝4，
bn＋1
bn ＝2.
∴{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，
∴Tn＝
b1（1－qn）
1－q ＝
4（1－2n）
1－2 ＝2n＋2－4.（12 分）
18．解：(1)由频率分布表得 a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即 a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的 20 件样品中，等级系数为 D 的恰有 3 件，所以 b＝
3
20＝0.15.
等级系数为 E 的恰有 2 件，所以 c＝
2
20＝0.1.
从而 a＝0.35－b－c＝0.1.
所以 a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.（6 分）
(2)从样品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，所有可能的结果为：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，
共计 10 个．
设事件 A 表示“从样品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，其等级系数相等”，
则 A 包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共 4 个．
故所求的概率 P(A)＝
4
10＝0.4.（12 分）
19．解：(1) ∵AA1⊥面 ABC，BC⊂面 ABC，
∴BC⊥AA1.（1 分）
又∵BC⊥AC，AA1，AC⊂面 AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面 AA1C1C，（3
分）
又 AC1⊂面 AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4 分）
(2)(法一)当 AF＝3FC 时，FE∥平面 A1ABB1.（7 分）
理由如下：在平面 A1B1C1 内过 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于 G，连结 AG.
∵B1E＝3EC1，∴EG＝
3
4A1C1，
又 AF∥A1C1 且 AF＝
3
4A1C1，
∴AF∥EG 且 AF＝EG，
∴四边形 AFEG 为平行四边形，∴EF∥AG，（10 分）
又 EF⊄ 面 A1ABB1，AG⊂面 A1ABB1，∴EF∥平面 A1ABB1.（12 分）
(法二)当 AF＝3FC 时，FE∥平面 A1ABB1.（9 分）
理由如下： 在平面 BCC1B1 内过 E 作 EG∥BB1 交 BC 于 G，连结 FG.
∵EG∥BB1，EG⊄ 面 A1ABB1，BB1⊂面 A1ABB1，
∴EG∥平面 A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又 AB⊂面 A1ABB1，FG⊄ 面 A1ABB1，
∴FG∥平面 A1ABB1.
又 EG⊂面 EFG，FG⊂面 EFG，EG∩FG＝G，
∴平面 EFG∥平面 A1ABB1.（11 分）
∵EF⊂面 EFG，∴EF∥平面 A1ABB1.（12 分）
20．解：(1)因为 AB＝acosθ，
∴S1＝
1
2a·acosθ·sinθ＝
1
4a2sin 2θ，
设正方形边长为 x，BQ＝
x
tan θ，RC＝xtanθ，
则 x＋xtanθ＋
x
tan θ＝a，解之得 x＝
asin θcos θ
1＋sin θcos θ
所以 S2 ＝
a2sin22θ
4＋4sin 2θ＋sin22θ（6 分）
(2)当 a 固定，θ变化时
S1
S2＝
1
4(
4
sin 2θ＋sin 2θ＋4)，
设 sin 2θ＝t，则 y＝
S1
S2＝
1
4(t＋
4
t＋4)．
∵0＜θ＜
π
2 ，∴0＜t≤1，f(t)＝t＋
4
t(0＜t≤1)，
易证 f(t)在(0，1]上是减函数．
故当 t＝1 时，
S1
S2取最小值， 此时θ＝
π
4 .（12 分）
21．解：(1) 由条件知 lAB：y＝x－
p
2，则
，
y2＝2px，消去 y 得 x2－3px＋
1
4p2＝0，则 x1＋x2＝3p，由
抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
又因为|AB|＝8，即 p＝2，则抛物线的方程为 y2＝4x.(5 分)
(2)由(1)知|AB|＝4p，且 lAB：y＝x－
p
2，设 M(
2
00，y0)，则 M 到 AB 的距离为 d＝
2
0
|
2，因点 M 在直
线 AB 的上方，所以－
1
2py
2
0＋y0＋
p
2＞0，
则 d＝
2
2(－
1
2py
2
0＋y0＋
p
2)＝
2
2[－
1
2p(y0－p)2＋p]．
由 x2－3px＋
1
4p2＝0 知 A(
2
2p，(1－)p)，B(
2
2p，(1＋)p)，
所以(1－)p＜y0＜(1＋)p，则当 y0＝p 时，dmax＝
2
2p.
则(S△ABM)max＝
1
2·4p·
2
2p＝p2.(12 分)
22．解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝ln x－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
又 f′(x)＝
1
x－2x＋1＝－
2x2－x－1
x ，
令 f′(x)＝0，即－
2x2－x－1
x ＝0，解得 x＝－
1
2或 x＝1.又 x>0，∴x＝1.
当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0；当 x＞1 时，f′(x)＜0.
∴函数 f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当 x＝1 时，函数 f(x)取得最大值，其值为 f(1)＝ln 1－12＋1＝0.
当 x≠1 时，f(x)＜f(1)，即 f(x)＜0.
∴函数 f(x)只有一个零点.（7 分）
(2)显然函数 f(x)＝ln x－a2x2＋ax 的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝
1
x－2a2x＋a＝
－2a2x2＋ax＋1
x ＝
－（2ax＋1）（ax－1）
x .
①当 a＝0 时，f′(x)＝
1
x＞0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意；
②当 a>0 时，f′(x)＜0，得 x＞
1
a，∴
1
a≤1，即 a≥1；
③当 a<0 时，f′(x)＜0，得 x＞－
1
2a，∴－
1
2a≤1，a≤－
1
2.
综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－
1
2]∪[1，＋∞).（14 分）
