广西南宁市第三中学2019-2020学年高二期中段考数学（理）试题

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二期中段考数学（理）试题

南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考 理科数学试题 命题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠 审题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠 ‎ ‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第11项等于（ ）‎ A．1111 B．11 C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前n项和为，若，则一定成立的是 A． B． C． D．‎ ‎4．函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎8．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎9．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．函数图象大致为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．，‎ ‎12．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的极小值是__________‎ ‎14.已知函数定义域为R，，在上的导数满足，则不等式的解集为___________.‎ ‎15.关于的不等式恒成立，实数的取值范围是__________.‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角C的大小 ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎18.（12分）已知正项等比数列满足，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和 ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值.‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎（1）讨论当时，函数的单调性 ‎（2）当对任意的恒成立,其中.求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4极坐标与参数方程]（10分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23.[选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求a的取值范围.‎ 南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考 理科数学试题参考答案 ‎1．【答案】B ‎【解析】∵ ∴‎ ‎∴的虚部为-1‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，‎ 由，所以该数列的第11项为．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】因为，所以，.故选B．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,‎ 由题得，‎ 所以切线方程为,即：‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】由题意知，，∴，又，∴，则.‎ 因为椭圆的焦点在轴上时，所以椭圆方程为.‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了 ‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】连接，则，‎ 则（或其补角）为异面直线与所成角，‎ 在中，设，则，，‎ 由余弦定理得：，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】由已知易得：，‎ 由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域的概率 ‎9．【答案】D ‎【解析】圆的圆心为，‎ 由题意可得，即，，，‎ 则，当且仅当且即时取等号，故选：．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】由题意，函数的定义域为，‎ 且，所以函数为奇函数，排除A，B；‎ 当时，函数，则，‎ 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．‎ ‎11．【答案】D[来源:学§科§网]‎ ‎【解析】根据题意，函数，其图象如图：‎ 直线恒过定点 若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点 分析可得：当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；‎ 当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限 则有，即，变形可得 令，解得或（舍），则有，综合可得：的取值范围为 ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意：，‎ 所以分别为的根，即为函数 的零点，‎ 可解得：；‎ 又因为：；‎ 又因为：；所以：‎ ‎13. 【答案】‎ ‎【解析】，由得 函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值为.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】构造函数，则，在上是增函数，且.又不等式可化为，即，∴.‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【解析】在恒成立，即恒成立，即，‎ 令，则，‎ 当，即，解得，当，即，解得 所以在上为减函数，在上增函数，所以，‎ 所以 ‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】如图，设切点为，连接，过作于，是中点，，，，，故，在中，，即，故 ‎17. 【解析】（1）由正弦定理，得，‎ 因为，所以，故，又因为0＜C＜，所以 ‎（2）由已知，得.又，所以.‎ 由已知及余弦定理，得，所以，‎ 从而.即，故a+b+c=，所以的周长为.‎ ‎18. 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由可得，‎ ‎，，即，，解得，.‎ （2） 由（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，得 ‎，‎ 因此，‎ ‎19. 【解析】作SC的中点N，连接MN，DN，因为M,N分别为SB，SC的中点，‎ 所以MN//BC，，‎ 又AD//BC，所以MN//AD，MN=AD，故四边形AMND为平行四边形，AM//ND 又，AM不在平面SCD内，所以AM//平面SCD ‎（2）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，C(2,1,0)，D(1,0,0)，M(0,1,1)，S(0,0,2)，则，，，‎ 设平面的法向量是，则，即，‎ 令，则，，．‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令y1=-1，则x1=2，z1=3，,‎ 设二面角的平面角大小为，则，即．‎ 二面角的正弦值为．‎ ‎，即点到平面距离为.‎ ‎20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由题设：，解得 ‎∴椭圆C的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）.设 ‎1.当ABx轴时，‎ ‎2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 由已知，得 把代入椭圆方程消去y，‎ 整理得,有 ‎,‎ ‎,‎ ‎,[来源:学.科.网]‎ 当且仅当，即时等号成立. 当时， ‎ 综上所述，从而△AOB面积的最大值为 ‎21．（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）当时，，当为单调递增函数，，在为增函数 ‎（2）由已知有,其中,.‎ ‎.‎ 令,其中,.‎ 由得在上单调递增.‎ 又,当时,,‎ 故存在,使得.‎ 当时,,,在上单调递减;‎ 当时,,,在上单调递增.‎ 故.‎ 由得,,即.‎ 则.‎ 令,由,,解得.‎ 因为在上单调递增,,所以.‎ 故,即,解得 ‎22．（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.‎ ‎【解析】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：‎ 曲线极坐标方程可化为：‎ 则曲线的直角坐标方程为：，即 ‎（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：‎ 设两点对应的参数分别为：，则，‎ ‎23．(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】(1)根据条件[来源:Z+xx+k.Com]‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 综上，的解集为或. ‎ ‎(2)由于可得的值域为.‎ 又不等式的解集为空集，所以. ‎