福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量检查理数试题

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福建省龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知纯虚数 满足 ，则实数 等于（ ） A． B． C．-2 D．2 3.在等差数列 中，已知 是函数 的两个零点，则 的前 9 项和等于（ ） A．-18 B．9 C．18 D．36 4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A．3 B． C． D． 5.下列关于命题的说法错误的是（ ） A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”； B．“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件； C．若命题 ， ，则 ， ； 1 3{ | }A y y x= = { ln( 1)}B x y x= = − A B = [1, )+∞ (0,1) (1, )+∞ ( ,1)−∞ z (1 2 ) 1i z ai− = + a 1 2 1 2 − { }na 3 7,a a 2( ) 4 3f x x x= − + { }na 2 3 1 2 1 2 − 2 3 2 0x x− + = 2x = 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 2a = ( ) logaf x x= (0, )+∞ :p n N∃ ∈ 2 1000n > :p n N¬ ∀ ∈ 2 1000n > D．命题“ ， ”是假命题. 6. 的展开式中 的系数为（ ） A．100 B．15 C．-35 D．-220 7.已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，若 ，且 ，则 实数 的值为（ ） A． B． C．6 D．4 8.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图 如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 13.5（立方寸），则图中的 为（ ） A．2.4 B．1.8 C．1.6 D．1.2 9.设不等式组 ，表示的平面区域为 ，若直线 上存在 内的点，则实数 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 10.已知三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11.已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别为 ， 是双曲线 的 一条渐近线上的点，且 ， 为坐标原点，若 ，则双曲线 的实轴长是（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 ( ,0)x∃ ∈ −∞ 2 3x x< 6( 1)( 2)x x− + 4x OA OB 060 | | 3OA = | | 2OB = OC mOA nOB= +   OC AB⊥  m n 1 6 1 4 π x 1 0 4 x x y x y ≥  − ≤  + ≤ M 2y kx= − M k [1,3] ( ,1] [3, )−∞ +∞ [2,5] ( ,2] [5, )−∞ +∞ P ABC− ABC∆ PA ⊥ ABC 2 2 3PA AB= = 8π 16π 32π 36π 5 2 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1 2,F F M C 2OM MF⊥ O 2 16OMFS∆ = C 12.已知函数 的定义域为 ，其图象关于点 中心对称，其导函数 ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设 为钝角，若 ，则 的值为 ． 14.过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线 于 ，若 ，则直线 的斜率 是 ． 15.已知各项不为零的数列 的前 项的和为 ，且满足 ，若 为递增数列，则 的取值 范围为 ． 16.若实数 满足 ，则 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 . （1）求 的单调增区间； （2）已知 中，角 的对边分别为 ，若 为锐角且 ， ，求 的取值 范围. 18. 如图，在梯形 中， ， ， ，平面 平面 ，四边形 是菱形， . （1）求证： 平面 ； ( )f x R ( 1,0)− ' ( )f x 1x < − '( 1)[ ( ) ( 1) ( )] 0x f x x f x+ + + < ( 1) (0)xf x f− > (1, )+∞ ( , 1)−∞ − ( 1,1)− ( , 1) (1, )−∞ − +∞ θ 3sin( )3 5 πθ + = − cosθ 2: 4C y x= F l C ,A B 4AF BF= l { }na n nS 1n nS aλ= − { }na λ , , ,a b c d 22 ln 3 2 1a a c b d − −= = 2 2( ) ( )a c b d− + − 2 3( ) 3sin sin cos 2f x x x x= + − ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c A 3( ) 2f A = 4b c+ = a ABCD //AB CD 2AD DC CB= = = 060ABC∠ = ACEF ⊥ ABCD ACEF 060CAF∠ = BC ⊥ ACEF （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 19. 某公司有 五辆汽车，其中 两辆汽车的车牌尾号均为 1， 两辆汽车的车牌尾号均 为 2， 车的车牌尾号为 6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车， 三辆汽车每天出车的概 率均为 ， 两辆汽车每天出车的概率均为 ，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限 行规定如下： 车牌尾号 0 和 5 1 和 6 2 和 7 3 和 8 4 和 9 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （1）求该公司在星期一至少有 2 辆汽车出车的概率； （2）设 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求 的分布列及数学期望. 20. 已知圆 和点 ，动圆 经过点 且与圆 相切，圆心 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）点 是曲线 与 轴正半轴的交点，点 在曲线 上，若直线 的斜率 ，满足 ，求 面积的最大值. 21.已知函数 ， （ ）， 存在两个极值点 （ ） （1）求 的最小值； （2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直 线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数）. （1）求直线 和曲线 的普通方程； （2）设直线 和曲线 交于 两点，求 . ABF ADF , , , ,A B C D E ,A B ,C D E , ,A B E 1 2 ,C D 2 3 X X 2 2: 2 7 0M x y y+ + − = (0,1)N P N M P E E A E x ,B C E ,AB AC 1 2,k k 1 2 4k k = ABC∆ 3( ) ( )4 xf x x e= − 2( ) 4 4 ln(2 )g x x x m x= − + m R∈ ( )g x 1 2,x x 1 2x x< 1 2( )f x x− 1 2( )g x ax≥ a O x M (1,0) l 2 cos( ) 1 04 πρ θ + − = C 24 4 x t y t  =  = t l C l C ,A B 1 1 MA MB + 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ ） （1）当 时，解不等式 ； （2）令 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） ( ) 2 2g x x x a= + + − a R∈ 3a = ( ) 4g x ≤ ( ) ( 2)f x g x= − ( ) 1f x ≥ R a 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C A C D C A A D C B B A 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 14． 15． 或 16． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题可知 ， …………3 分 令 ， ， 可得 即函数 的单调递减增区间为 ， . …………6 分 （Ⅱ）由 ，所以 ， 为锐角，∴ ∴ 解得 ， ………………………8 分 由余弦定理得 ……9 分 ，当且仅当 时取等号， ， ………………11 分 又 ， 的取值范围为 ． ………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）证法一：在梯形 中， ， 4 3 3 10 − − 4 3 ± 0λ < 1λ > 1 10 3 1 3( ) (1 cos2 ) sin 22 2 2f x x x= − + − sin(2 )3x π= − 2 2 22 3 2k x k π π ππ π− − +≤ ≤ k ∈Z 5 ,12 12k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x 5,12 12k k π ππ π − +   k ∈Z 3( ) 2f A = 3sin(2 )3 2A π− = A 223 3 3A π π π− < − < 2 3 3A π π− = 3A π= 2 2 2 22 cos ( ) 3 16 33a b c bc b c bc bc π= + − = + − = − 2( ) 42 b cbc +≤ = b c= 2 16 3 16 3 4 4, 2a bc a∴ = − ≥ − × = ≥ 4a b c< + = a∴ 2 4a≤ < ABCD //AB CD B C A D E F （第 18 题图） , ………………2 分 ………………3 分 又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ……………………………………5 分 证法二：梯形 得高为 （下同） （Ⅱ）取 为 中点.连 ∵四边形 是菱形， ， 即 与（1）同理可知 平面 如图所示，以 为坐标原点建立空间直角坐标系， ……………………6 分 则有 ， ， ， ……………7 分 设 是平面 的一个法向量， 则 ， 即 ， 取 ． ………………9 分 设 是平面 的一个法向量， 则 ，即 ， °=∠−∠=∠∴ 90DCADCBACB BCAC ⊥∴  2AD DC CB= = = 60ABC∠ =  120 . 30 ,ADC DCB DCA DAC∴∠ = ∠ = ∠ = ∠ =  ACEF ⊥ ABCD ACEF  ABCD AC= BC∴ ⊥ ACFE ABCD 2sin 60 3° = 2 2 2cos60 4AB = + ⋅ = 2 3AC = 2 2 2 , 90AC BC AB ACB ∗∴ + = ∴∠ = G EF CG ACEF 60CAF∠ =  CG EF∴ ⊥ CG AC⊥ CG ⊥ ABCD C (2 3,0,0), (0,2,0), ( 3, 1,0), ( 3,0,3)A B D F− ( 2 3,2,0)AB = − ( 3,0,3)AF = − (0,1,3)DF = 1 1 1( , , )m x y z= ABF 0 0 AB m AF m  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 3 0 3 3 0 x y x z − + = − + = ( 3,3,1)m = 2 2 2( , , )n x y z= ADF 0 0 AF n DF n  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 2 3 3 0 3 0 x z y z − + = + = B C A D E F （第 18 题图） G z yx 取 ． ……………………………………………………11 分 设平面 与平面 所成锐二面角为 ， 则 ， 即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． …………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）记事件 A“该公司在星期一至少有 2 辆车出车”, 则 ………………2 分 （3 分） ………………4 分 （Ⅱ） 的可能取值为 0，1，2，3，4，5， ……………………10 分 ∴ 的分布列为 0 1 2 3 4 5 …………12 分 20．（本小题满分 12 分） ( 3, 3,1)n = − ABF ADF θ 5 5cos 1313 13 m n m n θ ⋅ = = = ⋅⋅     ABF ADF 5 13 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 1 1 1 1 1 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 2 3 3p A C C= − − − 1 3 41 72 72 72 = − − − 8 9 = X ( ) 2 31 1 10 ;3 2 72P X    = = ⋅ =       ( ) 3 1 2 2 1 11 3 3 2P X C  = = ⋅ ⋅ ⋅   2 3 1 3 1 1 7 ;3 2 72C   + ⋅ ⋅ =       ( ) 2 3 3 1 1 2 3 2 1 2 1 12 3 2 3 3 2P X C C     = = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅           2 3 2 3 1 1 19 ;3 2 72C   + ⋅ ⋅ =       ( ) 2 3 1 3 2 13 3 2P X C   = = ⋅ ⋅       3 2 3 1 2 2 3 2 1 1 1 1 25;3 3 2 3 2 72C C      + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =           ( ) 2 3 3 2 1 3 2 2 1 2 1 1 164 ;3 2 3 3 2 72P X C C     = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =           ( ) 2 32 1 45 ;3 2 72P X    = = ⋅ =       X X P 1 72 7 72 19 72 25 72 16 72 4 72 ( ) 1 7 19 25 16 4 170 1 2 3 4 572 72 72 72 72 72 6E X = × + × + × + × + × + × = 解：（Ⅰ）圆 的圆心为 ，半径为 点 在圆 内，因为动圆 经过点 且与圆 相切， 所以动圆 与圆 内切。设动圆 半径为 ，则 . 因为动圆 经过点 ，所以 , > , 所以曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为 的椭圆。 由 ，得 , 所以曲线 的方程为 ………………………4 分 （Ⅱ）直线 斜率为 0 时，不合题意 设 ，直线 ： ， 联立方程组 得 ， 又 知 = . 代入得 又 ，化简得 ， 解得 ，故直线 BC 过定点（3，0） …………………………8 分 由 ，解得 ， 2 2: 2 7 0M x y y+ + − = 0 1M −（ ， ） 2 2 (0 ,1)N M P N M P M P r 2 2 r PM− = P N Nr P= 2 2PM PN+ = MN 2 2 2, 1a c= = 2 2 1 1b = − = E 2 2 12 yx + = BC 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y BC x ty m= + 2 2 , 1,2 x ty m yx = + + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0t y mty m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 mt my y y yt t −+ = − =+ + 1 2 4,k k = 1 2 1 2 1 24( 1)( 1) 4( 1)( 1)y y x x ty m ty m= − − = + − + − 2 2 1 2 1 24 4( 1) t( ) 4( 1)t y y m y y m+ − + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 4(1 4 ) 4( 1) 4( 1)1 2 1 2 m mtt m mt t − −− = − + −+ + 1m ≠ 2 2 21 (1 4 ) 2 4 2( 1)(1 2m t mt m t+ − = − + − +（ ） （ ） ） 3m = 0∆ > 2 4t > 2 2 1 2 1 4 422 1 2ABC tS y y t∆ −= ⋅ ⋅ − = + 2 2 2 2 2 4 4 4 99 2( 4) 2 4 4 t t t t −= = + − + − − 2 3 ≤ （当且仅当 时取等号）. 综上， 面积的最大值为 ………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） ， 令 得 ①， 因为 存在两个极值点 ， 所以方程①在 上有两个不等实根 ， 所以 解得 且 ， ……………………3 分 所以 当 时， 当 时， 所以 的最小值为 ……………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， 由 g 得 ， ………………6 分 所以 ＝ ＝ 2 17 2t = ABC∆ 2 3 28 4( ) 8 4 ( 0)m x x mg x x xx x − +′ = − + = > ( ) 0g x′ = 28 4 0x x m− + = ( )g x 1 2 1 2, ( )x x x x< (0, )+∞ 1 2,x x 16 32 0 08 m m ∆ = − > > 10 ,2m< < 1 2 1 1 1,02 4x x x+ = < < 1 2 1 1 1 1 1 1( ) 2 ,02 2 2x x x x x  − = − − = − ∈ −   1'( ) ( ) ,4 xf x x e= + 1 1,2 4x  ∈ − −   ( ) 0,f x′ < 1 ,04x  ∈ −   ( ) 0,f x′ > 1 2( )f x x− 1 41( )4f e −− = − 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 10 , , (0 , )2 2 8 4 4 2 mm x x x x x x< < + = = < < < < 21 )( axx ≥ 1 2 ( )g xa x ≤ 2 1 1 1 1 2 1 ( ) 4 4 ln(2 ) 1 2 g x x x m x x x − += − 1 1211 2 1 2 1 )2ln(844 x xxxxx − +− 1 1111 2 1 2 1 )2ln()2 1(844 x xxxxx − −+− ＝ ＝ ………………9 分 令 （ ）， 则 因为 所以 , ,即 在 递减， ， 综上，实数 的取值范围为 ………………12 分 22．选修 4 4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 由 ， 得 …………………………3 分 因为 消去 得 所以直线 和曲线 的普通方程分别为 和 . …………4 分 （Ⅱ）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上， 设直线 的参数方程： （ 为参数）， 对应的参数为 . )21(2 1 )2ln()21)(2(21)12( 1 111 2 1 x xxxx − −+−−     +−−− )2ln()2(221 1)21(2 11 1 1 xxxx =)(xϕ     +−−− xxxx ln21 1)1(2 2 10 << x =′ )(xϕ     +−− xx ln2)1( 112 2 10 ,2x< < 21 11 1 , ( 1) 12 4x x− < − < − < − < ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ 10, 2      1( ) ( ) 3 2ln 22xϕ ϕ> = − − a ( ], 3 2ln 2−∞ − − − 2 cos( ) 1 04 πρ θ + − = cos sin 1 0ρ θ ρ θ− − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1 0x y− − = 24 4 x t y t  =  = ， ， t 2 4y x= l C 1 0x y− − = 2 4y x= M (1,0) M l l 21 2 2 2 x t y t  = +  = ， ， t ,A B 1 2,t t …………………………7 分 …………………………10 分 23．选修 4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）依题意得 当 时，原不等式化为： ，解得 当 时，原不等式化为： ，解得 当 时，原不等式化为： ，解得 综上可得，不等式的解集为 …………………4 分 （Ⅱ） ； ； ； 所以 的最小值为 ； 则 ，所以 解得 或 ……………10 分 ( ) | | 2 | 1| 4g x x x= + − ≤ 1x ≥ 2( 1) 4x x+ − ≤ 1 2x≤ ≤ 0 1x≤ < 2(1 ) 4x x+ − ≤ 0 1x≤ < 0x < 2(1 ) 4x x− + − ≤ 2 03 x− ≤ < 2| 23x x − ≤ ≤   ( )( ) ( 2) | 2 | 2 | |f x g x x x a a R= − = − + − ∈ 时，2>a    ≥−− <<−+− ≤++− = axax axax xax xf ,223 2,22 2,223 )( 时，2=a 3 6, 2( ) 3 6, 2 x xf x x x − + ≤=  − > 时，2

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