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文档介绍
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(文史类) 第I卷(选择题 共60分) 一.选择题 1.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设点,则“且”是“点在直线上”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若集合,则的子集个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.16 4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C.1 D. 5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 6.若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 7.若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后,输出的,那么的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 - 9 - 9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则的值可以是( ) A. B. C. D. 10.在四边形中,,则该四边形的面积为( ) A. B. C.5 D.10 11.已知与之间的几组数据如下表: 1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是( ) A. B. C. D. 12.设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A. B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点 二.填空题 13.已知函数,则 14.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为 - 9 - 15.椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与 椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于 16.设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足; (i);(ii)对任意,当时,恒有. 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合: ①; ②; ③. 其中,“保序同构”的集合对的序号是 (写出所有“保序同构”的集合对的序号) 三.解答题 17.(本小题满分12分)已知等差数列的公差,前项和为. (1)若成等比数列,求; (2)若,求的取值范围. 18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,,,,,,,. (1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若为的中点,求证:; (3)求三棱锥的体积. 19.(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:,,,, - 9 - 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 附表: 20.(本小题满分12分)如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点. (1)若点的纵坐标为2,求; (2)若,求圆的半径. 21(本小题满分12分)如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上. (1)若,求的长; (2)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小 - 9 - 值. 22(本小题满分14分)已知函数(,为自然对数的底数). (1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值; (2)求函数的极值; (3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值. 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.D 13. . 14. 15. 16.①②③ 17.解:(1)因为数列的公差,且成等比数列, 所以, 即,解得或. - 9 - (2)因为数列的公差,且, 所以; 即,解得 18.解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形, 在中,由,,依勾股定理得: ,从而 又由平面得, 从而在中,由,,得 正视图如右图所示: (Ⅱ)取中点,连结, 在中,是中点, ∴,,又, ∴, ∴四边形为平行四边形,∴ 又平面,平面 ∴平面 (Ⅲ) 又,,所以 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)取的中点,连结, 在梯形中,,且 ∴四边形为平行四边形 ∴,又平面,平面 ∴平面,又在中, 平面,平面 ∴平面.又, ∴平面平面,又平面 ∴平面 (Ⅲ)同解法一 19.解:(Ⅰ)由已知得,样本中有周岁以上组工人名,周岁以下组工人名 所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中,周岁以上组工人有(人), 记为,,;周岁以下组工人有(人),记为, 从中随机抽取名工人,所有可能的结果共有种,他们是:,,,,,,,,, - 9 - 其中,至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种,它们是:,,,,,,.故所求的概率: (Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“周岁以上组”中的生产能手(人),“周岁以下组”中的生产能手(人),据此可得列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 周岁以上组 周岁以下组 合计 所以得: 因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 20.解:(Ⅰ)抛物线的准线的方程为, 由点的纵坐标为,得点的坐标为 所以点到准线的距离,又. 所以. (Ⅱ)设,则圆的方程为, 即. 由,得 设,,则: 由,得 所以,解得,此时 所以圆心的坐标为或 从而,,即圆的半径为 21.解:(Ⅰ)在中,,,, 由余弦定理得,, - 9 - 得, 解得或. (Ⅱ)设,, 在中,由正弦定理,得, 所以, 同理 故 因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值.即2时,的面积的最小值为. 22.解:(Ⅰ)由,得. - 9 - 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (Ⅱ), ①当时,,为上的增函数,所以函数无极值. ②当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. (Ⅲ)当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时,, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: - 9 - (*) 在上没有实数解. ①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. ②当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表: 当时,,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为 。 - 9 -查看更多