2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷)

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)‎ 数学试题(文史类) ‎ ‎ ‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一.选择题 ‎1.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设点,则“且”是“点在直线上”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.若集合,则的子集个数为( )‎ A.2 B.3 C.4 D.16‎ ‎4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎5.函数的图象大致是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为( )‎ A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0‎ ‎7.若,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后,输出的,那么的值为( )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ - 9 -‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则的值可以是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在四边形中,,则该四边形的面积为( )‎ A. B. C.5 D.10‎ ‎11.已知与之间的几组数据如下表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是( )‎ A. B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点 二.填空题 ‎13.已知函数,则 ‎ ‎14.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为 ‎ - 9 -‎ ‎15.椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与 椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于 ‎ ‎16.设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足;‎ ‎(i);(ii)对任意,当时,恒有.‎ 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③.‎ 其中,“保序同构”的集合对的序号是 (写出所有“保序同构”的集合对的序号)‎ 三.解答题 ‎17.(本小题满分12分)已知等差数列的公差,前项和为.‎ ‎(1)若成等比数列,求;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,,,,,,,.‎ ‎(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);‎ ‎(2)若为的中点,求证:;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:,,,,‎ - 9 -‎ 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有 ‎ 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?‎ ‎ ‎ 附表:‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分12分)如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点.‎ ‎(1)若点的纵坐标为2,求;‎ ‎(2)若,求圆的半径.‎ ‎ ‎ ‎21(本小题满分12分)如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上.‎ ‎(1)若,求的长;‎ ‎(2)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小 - 9 -‎ ‎ 值.‎ ‎22(本小题满分14分)已知函数(,为自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;‎ ‎(2)求函数的极值;‎ ‎(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.C ‎ ‎2.A ‎ ‎3.C ‎ ‎4.B ‎ ‎5.A ‎ ‎6.B ‎ ‎7.D ‎ ‎8.B ‎ ‎9.B ‎ ‎10.C ‎ ‎11.C ‎ ‎12.D ‎ ‎13. .‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16.①②③ ‎ ‎17.解:(1)因为数列的公差,且成等比数列,‎ ‎ 所以,‎ 即,解得或.‎ - 9 -‎ ‎ (2)因为数列的公差,且,‎ ‎ 所以;‎ ‎ 即,解得 ‎18.解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为,‎ 由已知得,四边形为矩形,‎ 在中,由,,依勾股定理得:‎ ‎,从而 又由平面得,‎ 从而在中,由,,得 正视图如右图所示:‎ ‎(Ⅱ)取中点,连结,‎ 在中,是中点,‎ ‎∴,,又,‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴‎ 又平面,平面 ‎∴平面 ‎(Ⅲ)‎ 又,,所以 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)取的中点,连结,‎ 在梯形中,,且 ‎∴四边形为平行四边形 ‎∴,又平面,平面 ‎∴平面,又在中,‎ 平面,平面 ‎∴平面.又,‎ ‎∴平面平面,又平面 ‎∴平面 ‎(Ⅲ)同解法一 ‎19.解:(Ⅰ)由已知得,样本中有周岁以上组工人名,周岁以下组工人名 所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中,周岁以上组工人有(人),‎ 记为,,;周岁以下组工人有(人),记为,‎ 从中随机抽取名工人,所有可能的结果共有种,他们是:,,,,,,,,,‎ - 9 -‎ 其中,至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种,它们是:,,,,,,.故所求的概率:‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“周岁以上组”中的生产能手(人),“周岁以下组”中的生产能手(人),据此可得列联表如下:‎ 生产能手 非生产能手 合计 周岁以上组 周岁以下组 合计 所以得:‎ 因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”‎ ‎20.解:(Ⅰ)抛物线的准线的方程为,‎ 由点的纵坐标为,得点的坐标为 所以点到准线的距离,又.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)设,则圆的方程为,‎ 即.‎ 由,得 设,,则:‎ 由,得 所以,解得,此时 所以圆心的坐标为或 从而,,即圆的半径为 ‎21.解:(Ⅰ)在中,,,,‎ 由余弦定理得,,‎ - 9 -‎ 得,‎ 解得或.‎ ‎(Ⅱ)设,,‎ 在中,由正弦定理,得,‎ 所以,‎ 同理 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值.即2时,的面积的最小值为.‎ ‎22.解:(Ⅰ)由,得.‎ - 9 -‎ 又曲线在点处的切线平行于轴,‎ 得,即,解得.‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.‎ ‎②当时,令,得,.‎ ‎,;,.‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.‎ 综上,当时,函数无极小值;‎ 当,在处取得极小值,无极大值.‎ ‎(Ⅲ)当时,‎ 令,‎ 则直线:与曲线没有公共点,‎ 等价于方程在上没有实数解.‎ 假设,此时,,‎ 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.‎ 又时,,知方程在上没有实数解.‎ 所以的最大值为.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.‎ ‎(Ⅲ)当时,.‎ 直线:与曲线没有公共点,‎ 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:‎ - 9 -‎ ‎ (*)‎ 在上没有实数解.‎ ‎①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.‎ ‎②当时,方程(*)化为.‎ 令,则有.‎ 令,得,‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ 当时,,同时当趋于时,趋于,‎ 从而的取值范围为.‎ 所以当时,方程(*)无实数解,‎ 解得的取值范围是.‎ 综上,得的最大值为 。‎ ‎ ‎ - 9 -‎
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