高中数学人教a版选修1-2阶段质量检测（二）word版含解析

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阶段质量检测（二） (时间 90 分钟，满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( ) ①y＝cos x(x∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y＝cos x(x∈R)是周期函数． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 解析：选 B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③. 2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a·b＝b·a； ②(a·b)·c＝a·(b·c)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ④由 a·b＝a·c(a≠0)可得 b＝c. 则正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正 确，②错误；由 a·b＝a·c(a≠0)得 a·(b－c)＝0，从而 b－c＝0 或 a⊥(b－c)，故④错误． 3．(山东高考)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实 根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 解析：选 A “至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程 x3＋ ax＋b＝0 没有实根”． 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个 面________．”( ) A．各正三角形内一点 (A 卷 学业水平达标) B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 解析：选 C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的 中心． 5．已知 a∈(0，＋∞)，不等式 x＋1 x ≥2，x＋ 4 x2 ≥3，x＋27 x3 ≥4，…，可推广为 x＋ a xn ≥n ＋1，则 a 的值为( ) A．2n B．n2 C．22(n－1) D．nn 解析：选 D 将四个答案分别用 n＝1,2,3 检验即可，故选 D. 6．下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是 ( ) A．指数函数 B．对数函数 C．一次函数 D．余弦函数 解析：选 A 当函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的 x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy ＝f(xy)，即指数函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B、C、D 选项均不满 足要求． 7．观察下列各等式： 2 2－4 ＋ 6 6－4 ＝2， 5 5－4 ＋ 3 3－4 ＝2， 7 7－4 ＋ 1 1－4 ＝2， 10 10－4 ＋ －2 －2－4 ＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A. n n－4 ＋ 8－n 8－n－4 ＝2 B. n＋1 n＋1－4 ＋n＋1＋5 n＋1－4 ＝2 C. n n－4 ＋ n＋4 n＋4－4 ＝2 D. n＋1 n＋1－4 ＋ n＋5 n＋5－4 ＝2 解析：选 A 观察分子中 2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 解析：选 C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多 了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为 8，公差是 6 的等差数列，通项公式为 an＝6n＋2. 9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10 ＋b10＝( ) A．28 B．76 C．123 D．199 解析：选 C 记 an＋bn＝f(n)， 则 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝f(3)＋f(4)＝11. 通过观察不难发现 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)， 则 f(6)＝f(4)＋f(5)＝18； f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以 a10＋b10＝123. 10．数列{an}满足 a1＝1 2 ，an＋1＝1－ 1 an ，则 a2 015 等于( ) A.1 2 B.－1 C．2 D．3 解析：选 B ∵a1＝1 2 ，an＋1＝1－ 1 an ， ∴a2＝1－ 1 a1 ＝－1， a3＝1－ 1 a2 ＝2， a4＝1－ 1 a3 ＝1 2 ， a5＝1－ 1 a4 ＝－1， a6＝1－ 1 a5 ＝2， ∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)， ∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11．已知 2＋2 3 ＝2 2 3 ， 3＋3 8 ＝3 3 8 ， 4＋ 4 15 ＝4 4 15 ，…，若 6＋a b ＝ 6 a b(a，b 均为实数)，则 a＝________，b＝________. 解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等 式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减 1，由此推测 6＋a b 中：a ＝6，b＝62－1＝35，即 a＝6，b＝35. 答案：6 35 12．已知圆的方程是 x2＋y2＝r2，则经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2. 类比上述性质，可以得到椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 类似的性质为________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 y 分别用 M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 类似的性质为：经过椭圆x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0x a2 ＋y0y b2 ＝1. 答案：经过椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0x a2 ＋y0y b2 ＝1 13．若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1，x2，…，xn，总满足1 n[f(x1)＋f(x2) ＋…＋f(xn)]≤f x1＋x2＋…＋xn n ，称函数 f(x)为 D 上的凸函数．现已知 f(x)＝sin x 在(0，π) 上是凸函数，则△ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值是________． 解析：因为 f(x)＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以1 3(sin A＋sin B＋sin C)≤sinA＋B＋C 3 (结论)， 即 sin A＋sin B＋sin C≤3sinπ 3 ＝3 3 2 . 因此，sin A＋sin B＋sin C 的最大值是3 3 2 . 答案：3 3 2 14．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …… 则第________行的各数之和等于 2 0152. 解析：观察知，图中的第 n 行各数构成一个首项为 n，公差为 1，共 2n－1 项的等差数列， 其各项和为 Sn＝(2n－1)n＋2n－12n－2 2 ＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2， 令(2n－1)2＝2 0152，得 2n－1＝2 015，解得 n＝1 008. 答案：1 008 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，{an}有如下性质： (m，n，p，q∈N*) ①通项 an＝am＋(n－m)d； ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ③若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap； ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 构成等差数列． 类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质． 解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前 n 项和为 Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p， q∈N*) ①通项 bn＝bm·λn－m； ②若 m＋n＝p＋q，则 bm·bn＝bp·bq； ③若 m＋n＝2p，则 bm·bn＝b2p； ④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列． 16．(本小题满分 12 分)观察： ①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝3 4 ； ②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝3 4. 由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想： sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝3 4. 证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α 2 ＋1＋cos60°＋2α 2 ＋1 2[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)] ＝1＋cos60°＋2α－cos 2α 2 ＋1 2sin(2α＋30°)－1 4 ＝3 4 ＋1 2[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋1 2sin(2α＋30°) ＝3 4 －1 2 1 2cos 2α＋ 3 2 sin 2α ＋1 2sin(2α＋30°) ＝3 4 －1 2sin(2α＋30°)＋1 2sin(2α＋30°)＝3 4 ， 即 sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝3 4. 17．(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且其中任意两边长均不相 等，若1 a ，1 b ，1 c 成等差数列． (1)比较 b a 与 c b 的大小，并证明你的结论； (2)求证：角 B 不可能是钝角． 解：(1) b a ＜ c b.证明如下： 要证 b a ＜ c b ，只需证b a ＜c b. ∵a，b，c＞0，∴只需证 b2＜ac. ∵1 a ，1 b ，1 c 成等差数列， ∴2 b ＝1 a ＋1 c ≥2 1 ac ， ∴b2≤ac. 又∵a，b，c 均不相等， ∴b2＜ac. 故所得大小关系正确． (2)证明：法一：假设角 B 是钝角，则 cos B＜0. 由余弦定理得， cos B＝a2＋c2－b2 2ac ≥2ac－b2 2ac ＞ac－b2 2ac ＞0， 这与 cos B＜0 矛盾，故假设不成立． 所以角 B 不可能是钝角． 法二：假设角 B 是钝角，则角 B 的对边 b 为最大边，即 b＞a，b＞c，所以1 a ＞1 b ＞0，1 c ＞ 1 b ＞0，则1 a ＋1 c ＞1 b ＋1 b ＝2 b ，这与1 a ＋1 c ＝2 b 矛盾，故假设不成立． 所以角 B 不可能是钝角． 18．(本小题满分 14 分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义． (2)若{an}是等积数列，且首项 a1＝2，公积为 6，试写出{an}的通项公式及前 n 项和公式． 解：(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数 列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积． (2)由于{an}是等积数列，且首项 a1＝2，公积为 6，所以 a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6 ＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于 2，偶数项都等于 3，因此{an}的通项公式为 an＝ 2，n 为奇数， 3，n 为偶数. 其前 n 项和公式 Sn＝ 5n 2 ，n 为偶数， 5n－1 2 ＋2＝5n－1 2 ，n 为奇数. (时间 90 分钟，满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假 命题，推理错误的原因是( ) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了三段论，但大前提使用错误 D．使用了三段论，但小前提使用错误 解析：选 D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错 误． 2．用演绎推理证明函数 y＝x3 是增函数时的小前提是( ) A．增函数的定义 B．函数 y＝x3 满足增函数的定义 C．若 x1x2，则 f(x1)>f(x2) (B 卷 能力素养提升) 解析：选 B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数 y＝x3 满足 增函数的定义，结论是 y＝x3 是增函数，故选 B. 3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A．由 an＝2n－1，求出 S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2 B．由 f(x)＝xcos x 满足 f(－x)＝－f(x)对∀x∈R 都成立，推断：f(x)＝xcos x 为奇函数 C．由半径为 r 的圆的面积 S＝πr2，推断单位圆的面积 S＝π D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切 n∈N*，(n＋1)2＞2n 解析：选 A 选项 A：为归纳推理，且∵an＝2n－1，∴{an}是等差数列，首项 a1＝1，公 差 d＝2，则 Sn＝n＋nn－1 2 ×2＝n2，故 A 正确；选项 B：为演绎推理；选项 C：为类比推理； 选项 D：为归纳推理，当 n＝7 时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选 A. 4．命题“关于 x 的方程 f(x)＝0 有唯一解”的结论的否定是( ) A．无解 B．两解 C．至少有两解 D．无解或至少有两解 答案：D 5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…， 猜想第 n(n∈N*)个等式应为( ) A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－1 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 解析：选 B 先观察已知等式的左边，可得第 n(n∈N*)个等式的左边应为 9(n－1)＋n； 再观察已知等式的右边结果 1,11,21,31，…，知它们构成以 1 为首项，10 为公差的等差数列， 所以第 n(n∈N*)个等式的右边应为 1＋10(n－1)＝10n－9，故选 B. 6．已知圆 x2＋y2＝r2(r>0)的面积为 S＝πr2，由此类比椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的面积最有可 能是( ) A．πa2 B．πb2 C．πab D．π(ab)2 解析：选 C 圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即 a＝b 时的情形，因为 S 圆＝πr2， 可以类比出椭圆的面积最有可能是 S＝πab. 7．若 P＝ a＋ a＋7，Q＝ a＋3＋ a＋4(a≥0)，则 P，Q 的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝Q C．P0，Q>0，∴P1，故选 B. 9．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出 Sn 的表达 式为( ) A. 2n n＋1 B.3n－1 n＋1 C.2n＋1 n＋2 D. 2n n＋2 解析：选 A 由 a1＝1，得 a1＋a2＝22a2， ∴a2＝1 3 ，S2＝4 3 ； 又 1＋1 3 ＋a3＝32a3， ∴a3＝1 6 ，S3＝3 2 ＝6 4 ； 又 1＋1 3 ＋1 6 ＋a4＝16a4， 得 a4＝ 1 10 ，S4＝8 5. 由 S1＝2 2 ，S2＝4 3 ，S3＝6 4 ，S4＝8 5 可以猜想 Sn＝ 2n n＋1. 10．记 Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当 k＝1,2,3，…时，观察下列等式： S1＝1 2n2＋1 2n，S2＝1 3n3＋1 2n2＋1 6n，S3＝1 4n4＋1 2n3＋1 4n2，S4＝1 5n5＋1 2n4＋1 3n3－ 1 30n， S5＝1 6n6＋1 2n5＋ 5 12n4＋An2，… 由此可以推测 A＝( ) A．－ 1 12 B. 1 14 C．－ 1 16 D. 1 18 解析：选 A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为 1，所以1 6 ＋1 2 ＋ 5 12 ＋A＝ 1，解得 A＝－ 1 12. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11．已知 x，y∈R，且 x＋y>2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假设 应为________________________________________________________________________． 解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y 均不大于 1”，亦即“x≤1 且 y≤1”． 答案：x，y 均不大于 1(或者 x≤1 且 y≤1) 12．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上， 则1 m ＋1 n 的最小值为________． 解析：因为函数 y＝a1－x 的图象所过的定点为 A(1，1)， 且点 A 在直线 mx＋ny－1＝0 上，所以 m＋n＝1. 又因为 mn>0，所以必有 m>0，n>0， 于是1 m ＋1 n ＝(m＋n)· 1 m ＋1 n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m·m n ＝4. 答案：4 13．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) …… 记第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43＝(3,2)，则 (1)a54＝________；(2)anm＝________. 解析：由前 4 行的特点，归纳可得： 若 anm＝(a，b)，则 a＝m，b＝n－m＋1， ∴a54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)， anm＝(m，n－m＋1)． 答案：(1)(4,2) (2)(m，n－m＋1) 14．请阅读下面材料： 若两个正实数 a1，a2 满足 a21＋a22＝1，求证：a1＋a2≤ 2. 证明：构造函数 f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数 x，恒有 f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得 4(a1＋a2)2－8≤0，所以 a1＋a2≤ 2. 根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a21＋a22＋…＋a2n＝1 时，你能得到的结论是 ________． 解析：类比给出的材料，构造函数 f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2 ＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1， 由对一切实数 x，恒有 f(x)≥0， 所以Δ≤0，即可得到结论． 故答案为 a1＋a2＋…＋an≤ n. 答案：a1＋a2＋…＋an≤ n 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)若 x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0. (1)求 x2＋y2 的取值范围； (2)求证：xy≤2. 解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0 得 (x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0. 因为 x2＋y2＋5>0，所以有 0≤x2＋y2≤4， 即 x2＋y2 的取值范围为[0,4]． (2)证明：由(1)知 x2＋y2≤4， 由基本不等式得 xy≤x2＋y2 2 ≤4 2 ＝2， 所以 xy≤2. 16．(本小题满分 12 分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论 是否成立． (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行． 解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a， 则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β. 又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b. (2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误 的，这两个平面也可能相交． 17．(本小题满分 12 分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝3 2 ，sin2 5°＋sin2 65°＋ sin2 125°＝3 2 ，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题， 并给予证明． 解：一般形式为： sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝3 2. 证明：左边＝1－cos 2α 2 ＋1－cos2α＋120° 2 ＋ 1－cos2α＋240° 2 ＝3 2 －1 2[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝3 2 －1 2(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝3 2 －1 2cos 2α－1 2cos 2α－ 3 2 sin 2α－1 2cos 2α＋ 3 2 sin 2α＝3 2 ＝右边． 将一般形式写成 sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝3 2 也正确 18．(本小题满分 14 分)如右图，设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦 点 为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线的 准 线上，且 BC∥x 轴． 求证：直线 AC 经过原点 O. 证明：因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F p 2 ，0 ，所以经过 点 F 的直线 AB 的方程可设为 x＝my＋p 2 ， 代入抛物线方程，可得 y2－2pmy－p2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根， 所以 y1y2＝－p2. 因为 BC∥x 轴，且点 C 在准线 x＝－p 2 上， 所以点 C 的坐标是 －p 2 ，y2 ， 故直线 CO 的斜率为 k＝ y2 －p 2 ＝2p y1 ＝y1 x1 ， 即 k 也是直线 OA 的斜率， 所以直线 AC 经过原点 O.