高中数学选修2-2教学课件4_3_3 函数的最值与导数

高中数学选修2-2教学课件4_3_3 函数的最值与导数

1 ． 3.3 　函数的最大 ( 小 ) 值与导数 1 ．函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上的最值 设函数 y ＝ f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在 [ a ， b ] 上一定能取得 ，函数的 必在 或 取得．但在开区间 ( a ， b ) 内可导的函数 f ( x ) 有最大值与最小值． 2 ．求可导函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大 ( 小 ) 值的步骤： (1) 求 f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内的 ； (2) 计算函数 f ( x ) 在各 和 处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中 的一个为最大值， 的一个为最小值． 最值 极值点 不一定 极值 极值点 端点 最大 最小 最大值与最小值 区间端点 [ 例 1] 　已知 a 是实数，函数 f ( x ) ＝ x 2 ( x － a ) ． (1) 若 f ′ (1) ＝ 3 ，求 a 的值及曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程； (2) 求 f ( x ) 在区间 [0,2] 上的最大值． [ 分析 ] 　 由题目可获取以下主要信息： ① 函数 f ( x ) ＝ x 2 ( x － a ) 中含有参数 a ； ② 在 a 确定的情况下，求切线方程； ③ 在 a 不确定的情况下求函数在区间 [0,2] 上的最大值． 解答本题可先对函数求导，然后根据 a 的不同取值范围，讨论确定 f ( x ) 在 [0,2] 上的最大值． [ 解析 ] 　 (1) f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ax . 因为 f ′ (1) ＝ 3 － 2 a ＝ 3 ， 所以 a ＝ 0. 又当 a ＝ 0 时， f (1) ＝ 1 ， f ′ (1) ＝ 3 ， 所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 3 x － y － 2 ＝ 0. [ 点评 ] 　 参数对最值的影响 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化． 参数的分类标准 可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定． 常见结论 (1) 当 f ( x ) 的图象连续不断且在 [ a ， b ] 上单调时，其最大值、最小值在端点处取得． (2) 当图象连续不断的函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内只有一个极大 ( 或极小 ) 值，则可以断定 f ( x ) 在该点处取到最大 ( 或最小 ) 值，这里 ( a ， b ) 也可以是无穷区间 . 已知函数 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 3 x 2 ＋ 9 x ＋ a (1) 求 f ( x ) 的单调递减区间． (2) 若 f ( x ) 在区间 [ － 2,2] 上的最大值为 20 ，求它在该区间上的最小值． [ 解析 ] 　 (1) f ′ ( x ) ＝－ 3 x 2 ＋ 6 x ＋ 9 ＝－ 3( x 2 － 2 x － 3) ＝－ 3( x － 3)( x ＋ 1) ， 令 f ′ ( x )<0 ，则－ 3( x － 3)( x ＋ 1)<0 ，解得 x < － 1 或 x >3. ∴ 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( － ∞ ，－ 1) ， (3 ，＋ ∞ ) ． 变式 1 (2) 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， ∵ x ∈ [ － 2,2] ， ∴ x ＝－ 1. 当－ 2 ＜ x ＜－ 1 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ； 当－ 1 ＜ x ＜ 2 时， f ′ ( x ) ＞ 0. ∴ x ＝－ 1 是函数 f ( x ) 的极小值点，该极小值也就是函数 f ( x ) 在 [ － 2,2] 上的最小值， 即 f ( x ) min ＝ f ( － 1) ＝ a － 5. 又函数 f ( x ) 的区间端点值为 f (2) ＝－ 8 ＋ 12 ＋ 18 ＋ a ＝ a ＋ 22 ， f ( － 2) ＝ 8 ＋ 12 － 18 ＋ a ＝ a ＋ 2. ∵ a ＋ 22 ＞ a ＋ 2 ， ∴ f ( x ) max ＝ a ＋ 22 ＝ 20 ， ∴ a ＝－ 2. 此时 f ( x ) min ＝ a － 5 ＝－ 7. [ 例 2] 　已知 f ( x ) ＝ ax 3 － 6 ax 2 ＋ b ，问是否存在实数 a ， b ，使 f ( x ) 在 [ － 1,2] 上取最大值 3 ，最小值－ 29 ？若存在，求出 a ， b 的值，若不存在，说明理由． [ 分析 ] 　 由题目可获取以下主要信息： ① 函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 6 ax 2 ＋ b 在 x ∈ [ － 1,2] 上的最大值为 3 ，最小值为－ 29 ； ② 根据最大值、最小值确定 a ， b 的值． 解答本题可先对 f ( x ) 求导，确定 f ( x ) 在 [ － 1,2] 上的单调性及最值，再建立方程从而求得 a ， b 的值． [ 解析 ] 　 存在． 显然 a ≠ 0 ， f ′ ( x ) ＝ 3 ax 2 － 12 ax . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 0 或 x ＝ 4( 舍去 ) ． (1) 当 a >0 时， x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 变化情况如下表： x ( － 1,0) 0 (0,2) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x )  b  所以当 x ＝ 0 时， f ( x ) 取最大值，所以 f (0) ＝ b ＝ 3. 又 f (2) ＝ 3 － 16 a ， f ( － 1) ＝ 3 － 7 a ， f ( － 1)> f (2) ， 所以当 x ＝ 2 时， f ( x ) 取最小值， 即 f (2) ＝ 3 － 16 a ＝－ 29 ，所以 a ＝ 2. (2) 当 a <0 时， x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 变化情况如下表： 所以当 x ＝ 0 时， f ( x ) 取最小值，所以 f (0) ＝ b ＝－ 29. 又 f (2) ＝－ 29 － 16 a ， f ( － 1) ＝－ 29 － 7 a ， f (2)> f ( － 1) ，所以当 x ＝ 2 时， f ( x ) 取最大值， 即－ 16 a － 29 ＝ 3 ，所以 a ＝－ 2. 综上所述， a ＝ 2 ， b ＝ 3 或 a ＝－ 2 ， b ＝－ 29. x ( － 1,0) 0 (0,2) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x )  b  [ 点评 ] 　已知函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一，由于参数会对函数的最值的取到点有影响，所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 设函数 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ bx ＋ c ( a >0) 为奇函数，其图象在点 (1 ， f (1)) 处的切线与直线 x － 6 y － 7 ＝ 0 垂直，导函数 f ′ ( x ) 的最小值为－ 12. (1) 求 a ， b ， c 的值； (2) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间，并求函数 f ( x ) 在 [ － 1,3] 上的最大值和最小值． 变式 2 [ 解析 ] 　 (1) ∵ f ( x ) 为奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 即－ ax 3 － bx ＋ c ＝－ ax 3 － bx － c ， ∴ c ＝ 0. ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 ax 2 ＋ b 的最小值为－ 12 ， 又 ∵ a >0 ， ∴ b ＝－ 12. 因此 f ′ (1) ＝ 3 a ＋ b ＝－ 6 ，解得 a ＝ 2 ， 故 a ＝ 2 ， b ＝－ 12 ， c ＝ 0. (2) f ( x ) ＝ 2 x 3 － 12 x ， 练．已知 f ( x ) ＝ 2 x 3 － 6 x 2 ＋ m ( m 是常数 ) 在 [ － 2,2] 上有最大值 3 ，那么此函数在 [ － 2,2] 上的最小值为 ( 　　 ) A ．－ 37 　　　　　　 B ．－ 29 C ．－ 5 D ．－ 11 [ 答案 ] 　 A [ 解析 ] 　 f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 － 12 x ＝ 6( x 2 － 2 x ) ＝ 6 x ( x － 2) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 ∵ f (0) ＝ m ， f (2) ＝－ 8 ＋ m ， f ( － 2) ＝－ 40 ＋ m . ∴ f (0)> f (2)> f ( － 2) ∴ m ＝ 3 ，最小值为 f ( － 2) ＝－ 37 ，故应选 A. 五、小结 1. 求在 [a,b] 上连续 ,(a,b) 上可导的函数 f(x) 在 [a,b] 上的 最值的步骤 : (1) 求 f(x) 在 (a,b) 内的极值 ; (2) 将 f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较 , 其中最大的一个 是最大值 , 最小的一个是最小值 . 2. 求函数的最值时 , 应注意以下几点 : (1) 要正确区分极值与最值这两个概念 . (2) 在 [a,b] 上连续 ,(a,b) 上可导的函数 f(x) 在 (a,b) 内未 必有最大值与最小值 . (3) 一旦给出的函数在 (a,b) 上有个别不可导点的话 , 不 要忘记在步骤 (2) 中 , 要把这些点的函数值与各极值 和 f(a) 、 f(b) 放在一起比较 . 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习 . 谢谢！ 再见！ 作业