【数学】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考试题(理)

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【数学】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考试题(理)

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考 数学试题(理)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,集合,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若,则复数在复平面上对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知是等差数列的前n项和,,则S11=( )‎ A.66 B.55 C.44 D.33‎ ‎4. 在,,则的值为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.函数的图象大致为( )‎ ‎6. 已知点是抛物线上的一个动点,则点到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 已知则 ( )‎ A.  B. C.   D. ‎ ‎8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径。“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径 的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据判断,下列近似公式中最精确的一个是( )‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn,且满足an+Sn=1,则+++…+=(  )‎ A.1 013 B.1 022 C.2 036 D.2 037‎ ‎10.已知函数,若方程在上有且只有四个实数根,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知为坐标原点,双曲线的右焦点F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B,若,双曲线的离心率为( ) ‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎12.设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.已知,若,则实数t= . ‎ ‎14.已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则的最小值为________.‎ ‎15.已知圆O:x2 + y2 = 1,直线x - 2y + 5 = 0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则的最小值为_________.‎ ‎16.如图(1),在等腰直角△ABC中,斜边AB=4,D为AB的中点,将△ACD沿CD 折叠得到如图(2)所示的三棱锥C-A'BD,若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为,则∠A'DB=______.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本小题12分)‎ 如图,在中,是边上一点.‎ ‎(1)求面积的最大值; ‎ ‎(2)若的面积为4,为锐角,求的长.‎ ‎18.(本小题12分)‎ 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB=AA1,∠BAA1=∠BAC=60°,点O是线段AB的中点.‎ ‎(1)证明:BC1∥平面OA1C;‎ ‎(2)若AB=2,A1C=,求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.‎ ‎19.(本小题12分) ‎ 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如图所示:‎ ‎(1)现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人,求至少有1位消费者其去年的消费者金额在的范围内的概率;‎ ‎(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:‎ 预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员,消费者在申请办理会员时,需一次性缴清相应等级的消费金额,该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:‎ 方案1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励:‎ 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元;银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元;金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.‎ 方案二:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中,有放回地摸三次球,每次只能摸一个球,若摸到红球的总数为2,则可获得200元奖励金;若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金;其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)‎ 请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少?并说明理由.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 已知椭圆C:的两个焦点为F1,F2,焦距为,直线:与椭圆C 相交于A,B两点,P为弦AB的中点 ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆C相交于不同的两点M,N,点Q(0,m),若(O为坐标原点),求m的取值范围.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若函数与的图象有两个不同的交点求实数的取值范围;‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以 轴正半轴为极轴,曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数,),射线与曲线交于(不包括极点)三点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当时,两点在曲线上,求与的值.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)若,解不等式;‎ ‎(2)若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题: ‎ ‎1-12 CDDBD ADCAB CA ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13-16 -1,-3,4, ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.‎ ‎17.解:(1)∵在中,,‎ ‎∴由余弦定理,得 ‎,‎ ‎∴,‎ 当且仅当时,取等号,‎ ‎∴,‎ ‎∴的面积的最大值为;‎ ‎(2)设,在中,‎ ‎∵的面积为4,为锐角,‎ ‎∴,‎ ‎∴, ∴,‎ 由余弦定理,得,‎ ‎∴.‎ 由正弦定理,得,∴, ∴,‎ 此时, ∴,‎ ‎∴的长为4.‎ ‎18. 解:‎ ‎ ‎ ‎19.解:(1)去年的消费金额超过3200元的消费者12人,随机抽取2人,消费在的范围内的人数为X,可能取值为1,2; P(X≥1)=1﹣P(X=0)=1,‎ 去年的消费者金额在的范围内的概率为 ‎(2)方案1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”,‎ 则“幸运之星”中的普通会员,银卡会员,金卡会员的人数分别为25=7,25=15,25=3,‎ 按照方案1奖励的总金额为ξ1=7×500+15×600+3×800=14900(元);‎ 方案2:设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金,则η的可能取值为0,200,300;‎ 由摸到红球的概率为P,‎ ‎∴P(η=0)••••,P(η=200)••,‎ P(η=300)•, η的分布列为:‎ η ‎0‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望为Eη=020030076.8(元),‎ 按照方案2奖励的总金额为 ξ2=(28+2×60+3×12)×76.8=14131.2(元),‎ 由ξ1>ξ2知,方案2投资较少.‎ ‎20.解:(1)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴‎ ‎(2)∵M,Q,N三点共线,,‎ ‎∴,.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎21. 解:‎ ‎22.解:(1)依题意,,‎ 则 ‎;‎ ‎(2)当时,两点的极坐标分别为,化为直角坐标为,‎ 曲线是经过点,且倾斜角为的直线,又因为经过点的直线方程为,‎ 所以.‎ ‎23.解:(1)不等式,化为,‎ 则或或,‎ 解得,‎ ‎∴不等式的解集为;‎ ‎(2)不等式等价于,‎ 即,又,‎ 若存在实数,使得不等式成立,‎ 则,解得,‎ ‎∴实数的取值范围是.‎
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