【数学】2020届一轮复习人教B版解三角形的要素学案

【数学】2020届一轮复习人教B版解三角形的要素学案

微专题31 解三角形中的要素 一、基础知识：‎ ‎1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1） ‎ ‎ （2）（恒等式）‎ ‎ （3） ‎ ‎2、余弦定理： ‎ 变式：（1） ‎ ‎① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角 当时，，即为锐角；‎ 当（勾股定理）时，，即为直角； ‎ 当时，，即为钝角 ‎② 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出 ‎（2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可 ‎3、三角形面积公式：‎ ‎（1） （为三角形的底，为对应的高）‎ ‎（2）‎ ‎（3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）‎ ‎（4）海伦公式： ‎ ‎（5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）‎ ‎ 证明：‎ ‎ ，而 ‎ ‎ ‎ ‎ 坐标表示：，则 ‎4、三角形内角和（两角可表示另一角）。‎ ‎ ‎ ‎5、确定三角形要素的条件：‎ ‎（1）唯一确定的三角形：‎ ‎① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 ‎② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ‎③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 ‎（2）不唯一确定的三角形 ‎① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例： ‎ ‎② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）‎ ‎6、解三角形的常用方法：‎ ‎（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解 ‎（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 ‎7、三角形的中线定理与角平分线定理 ‎（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）‎ 证明：在中 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 为中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ①②可得：‎ ‎（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则 ‎ 证明：过作∥交于 ‎ ‎ ‎ 为的角平分线 ‎ ‎ 为等腰三角形 ‎ ‎ 而由可得：‎ 二、典型例题：‎ 例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____‎ ‎（2））的内角所对的边分别为，若，则_____‎ 思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理： ‎ 代入可解得：。由可得：，所以 答案：‎ ‎（2）由已知求可联想到使用正弦定理： ‎ 代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件 答案：或 小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。‎ 例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________‎ 思路：通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出 ‎ 即可 解：‎ 答案：‎ 例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有 ‎ ‎（1）求 ‎ ‎（2）若，且的面积为，求 ‎ ‎（1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出 ‎ 解：‎ 即 ‎ 或（舍）‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可 解：‎ ‎ ‎ ‎ 可解得 ‎ 小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角 例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________‎ 思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有 和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出 ‎ 解：由可设则 ‎ ‎ ‎ ‎ 在中， ‎ ‎ ‎ 在中，由正弦定理可得： ‎ 小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。 ‎ ‎（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算 例5：已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________‎ 思路：由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出 ‎ 解：‎ 而 代入可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 例6：在 中，内角所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .‎ 思路：已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得 ，所以 ‎ 答案： ‎ 例7：设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由可得：，从而，解得，从可联想到余弦定理：，所以有，从而再由可得，所以的值为 ‎ 答案：C 小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，以及所求也会让我们想到正弦定理。但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。‎ 例8：设的内角所对边的长分别为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 思路：由的结构可以联想到余弦定理：，可以此为突破口，即，代入解得：，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出 解：由可得：，‎ ‎ ‎ ‎ 代入到 可得： ‎ 例9：已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出 ‎，从而求出 解：设，则 ‎ ‎ 代入可得：‎ ‎ ，解得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：A 小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二倍角公式，则有，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。‎ 例10：在中，为边上一点，，若的面积为，则_________‎ 思路：要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素 ‎（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作于，进而利用在 中得，再用解出 ‎ 进而，则在上 ‎ 所以可得：，所以 三、近年好题精选 ‎1、设的内角所对边的长分别为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、设的内角所对边的长分别为，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、在中，为边上一点，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、（2015，北京）在中，，则_______‎ ‎5、（2015，广东）设的内角的对边分别为，若，则_______‎ ‎6、（2015，福建）若锐角的面积为，且，则等于_______‎ 答案：7‎ ‎7、（2015，天津）在中，内角的对边分别为，已知的面积为，，则的值为_________‎ ‎8、（天津）在中，内角的对边分别为，已知，，则的值为_______‎ ‎9、（山东）在中，已知，当时，的面积为_____‎ ‎10、（辽宁）在中，内角的对边分别为，且，已知，求：‎ ‎（1）的值 ‎（2）的值 ‎11、（2015，陕西）设的内角的对边分别为，向量与平行 ‎（1）求 ‎ ‎（2）若，求的面积 ‎12、（2015，新课标II）在中，是上的点，平分，的面积是面积的2倍 ‎（1）求 ‎ ‎（2）若，求的长 ‎13、（2015，安徽）在中，，点在边上，，求的长 ‎14、(2015，江苏）在中，已知 ‎ ‎（1）求的长 ‎（2）求的值 习题答案：‎ ‎1、答案：A 解析：‎ 代入可得：‎ ‎2、答案：D 解析： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3、答案：C 解析：设，则，由余弦定理可得：‎ ‎，代入可得：‎ ‎ ‎ 解得：‎ ‎4、答案：1‎ 解析： ‎ ‎5、答案：1‎ 解析：由及可得：，从而，由正弦定理可得：，‎ 解得 ‎ ‎6、答案：7‎ 解析：由，可得：，即，再由余弦定理可计算 ‎ ‎7、答案：8‎ 解析： ‎ ‎ ‎ 由余弦定理可得： ‎ ‎ ‎ ‎8、答案： ‎ 解析：由可得代入到即可得到，不妨设，则 ‎ ‎9、答案： ‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎10、解析：由可得： ‎ ‎ ‎ 由余弦定理可得：即 ‎ 解得： ‎ ‎（2）由可得： ‎ 由正弦定理可知： ‎ ‎ 为锐角 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11、解析：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理可得：即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12、解析：（1） ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 再由可解得： ‎ ‎13、解析： ‎ ‎ ‎ 由正弦定理可得： ‎ ‎ ‎ 由可知为等腰三角形 ‎ ‎ 由正弦定理可得： ‎ ‎ ‎ ‎14、解析：（1）由余弦定理可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎