2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（新课标I卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（新课标I卷）

‎2013年高考理科数学试题解析 ‎（课标Ⅰ） ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。‎ ‎2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。‎ ‎3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。‎ ‎4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则 ( )‎ A、A∩B=Æ B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B ‎【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.‎ ‎【解析】A=(-,0)∪(2,+), ∴A∪B=R,故选B.‎ ‎2、若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( )‎ A、－4 （B）－ （C）4 （D） ‎【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.‎ ‎【解析】由题知===，故z的虚部为，故选D.‎ ‎3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )‎ A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 ‎【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.‎ ‎【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.‎ ‎4、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为 ‎. . . .‎ ‎【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.‎ ‎【解析】由题知，，即==，∴=，∴=，∴‎ - 11 -‎ ‎ ‎ 的渐近线方程为，故选.‎ ‎5、运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于 ‎.[-3,4] .[-5,2] .[-4,3] .[-2,5]‎ ‎【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.‎ ‎【解析】有题意知，当时，，当时，，‎ ‎∴输出s属于[-3,4]，故选.‎ ‎6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )‎ A、cm3 B、cm3 ‎ C、cm3 D、cm3‎ ‎【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.‎ ‎【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为=，故选A.‎ ‎7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，＝－2，＝0，＝3，则＝ ( )‎ A、3 B、4 C、5 D、6‎ ‎【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.‎ ‎【解析】有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，‎ ‎= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.‎ ‎8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎. . ‎ ‎. .‎ ‎【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.‎ ‎【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎9、设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝ ( )‎ A、5 B、6 C、7 D、8‎ ‎【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.‎ ‎【解析】由题知=，=，∴13=7，即=，‎ 解得=6，故选B.‎ ‎10、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )‎ A、＋＝1 B、＋＝1 C、＋＝1 D、＋＝1‎ ‎【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.‎ ‎【解析】设，则=2，=－2，‎ ‎ ① ②‎ ‎①－②得，‎ ‎∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D.‎ ‎11、已知函数=，若||≥，则的取值范围是 ‎. . .[-2,1] .[-2,0]‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。‎ ‎【解析】∵||=，∴由||≥得，且，‎ 由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，‎ 当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…‎ 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )‎ A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 ‎ C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 ‎ D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.‎ ‎【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.‎ ‎【解析】=====0，解得=.‎ ‎14、若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.‎ ‎【解析】当=1时，==，解得=1，‎ 当≥2时，==－()=，即=，‎ ‎∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.‎ ‎15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______‎ ‎【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.‎ ‎【解析】∵==‎ 令=，，则==，‎ 当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.‎ ‎16、若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.‎ ‎【解析】由图像关于直线=－2对称，则 ‎0==，‎ ‎0==，解得=8，=15，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ 当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，‎ 当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，‎ ‎∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°‎ ‎(1)若PB=，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA ‎【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；‎ ‎（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎∴=，∴=.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.‎ ‎（Ⅰ）证明AB⊥A1C;‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。‎ ‎【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，‎ ‎∵AB=，=，∴是正三角形，‎ ‎∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面， ‎ ‎∴AB⊥； ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，‎ 又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，‎ ‎∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分 设=是平面的法向量，‎ 则，即，可取=（，1，-1），‎ ‎∴=，‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分 ‎19、（本小题满分12分）‎ 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，‎ ‎∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分 ‎（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ……10分 EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分 ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为（，），半径为R.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.‎ ‎（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,‎ 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时，其方程为，‎ 当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.‎ 当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.‎ 当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，‎ 综上，|AB|=或|AB|=.‎ ‎（21）（本小题满分共12分）‎ 已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 ‎（Ⅰ）求，，，的值 ‎（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ - 11 -‎ ‎ ‎ 而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 设函数==（），‎ ‎==，‎ 有题设可得≥0，即，‎ 令=0得，=，=－2，‎ ‎（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，‎ ‎(2)若，则=，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，‎ ‎(3)若，则==＜0，‎ ‎∴当≥－2时，≤不可能恒成立，‎ 综上所述，的取值范围为[1,].‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 ‎ ‎（Ⅰ）证明：DB=DC；‎ ‎ （Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。‎ ‎【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ 由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，‎ 又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=.‎ 设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，‎ ‎∴CF⊥BF， ∴Rt△BCF的外接圆半径等于.‎ ‎（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。‎ ‎【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.‎ ‎【解析】将消去参数，化为普通方程，‎ 即：，将代入得，‎ ‎，‎ ‎∴的极坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）的普通方程为，‎ 由解得或，∴与的交点的极坐标分别为（），.‎ ‎ （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数=,=.‎ ‎（Ⅰ）当=2时，求不等式＜的解集；‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围.‎ ‎【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.‎ ‎【解析】当=-2时，不等式＜化为，‎ 设函数=，=，‎ 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是.‎ ‎（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，‎ ‎∴对∈[，)都成立，故，即≤，‎ ‎∴的取值范围为（-1，] .‎ ‎ ‎ - 11 -‎ ‎ ‎