2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标I卷)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标I卷)

‎2013年高考理科数学试题解析 ‎(课标Ⅰ) ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。‎ ‎2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。‎ ‎3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。‎ ‎4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1、已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则 ( )‎ A、A∩B=Æ B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B ‎【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题.‎ ‎【解析】A=(-,0)∪(2,+), ∴A∪B=R,故选B.‎ ‎2、若复数z满足 (3-4i)z=|4+3i |,则z的虚部为 ( )‎ A、-4 (B)- (C)4 (D) ‎【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题.‎ ‎【解析】由题知===,故z的虚部为,故选D.‎ ‎3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )‎ A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 ‎【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题.‎ ‎【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C.‎ ‎4、已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 ‎. . . .‎ ‎【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题.‎ ‎【解析】由题知,,即==,∴=,∴=,∴‎ - 11 -‎ ‎ ‎ 的渐近线方程为,故选.‎ ‎5、运行如下程序框图,如果输入的,则输出s属于 ‎.[-3,4] .[-5,2] .[-4,3] .[-2,5]‎ ‎【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题.‎ ‎【解析】有题意知,当时,,当时,,‎ ‎∴输出s属于[-3,4],故选.‎ ‎6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )‎ A、cm3 B、cm3 ‎ C、cm3 D、cm3‎ ‎【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题.‎ ‎【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则,解得R=5,∴球的体积为=,故选A.‎ ‎7、设等差数列{an}的前n项和为Sn,=-2,=0,=3,则= ( )‎ A、3 B、4 C、5 D、6‎ ‎【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式,考查方程思想,是容易题.‎ ‎【解析】有题意知==0,∴=-=-(-)=-2,‎ ‎= -=3,∴公差=-=1,∴3==-,∴=5,故选C.‎ ‎8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ‎. . ‎ ‎. .‎ ‎【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中档题.‎ ‎【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体,故其体积为 =,故选.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎9、设m为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若13=7,则= ( )‎ A、5 B、6 C、7 D、8‎ ‎【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题.‎ ‎【解析】由题知=,=,∴13=7,即=,‎ 解得=6,故选B.‎ ‎10、已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为 ( )‎ A、+=1 B、+=1 C、+=1 D、+=1‎ ‎【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题.‎ ‎【解析】设,则=2,=-2,‎ ‎ ① ②‎ ‎①-②得,‎ ‎∴===,又==,∴=,又9==,解得=9,=18,∴椭圆方程为,故选D.‎ ‎11、已知函数=,若||≥,则的取值范围是 ‎. . .[-2,1] .[-2,0]‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。‎ ‎【解析】∵||=,∴由||≥得,且,‎ 由可得,则≥-2,排除A,B,‎ 当=1时,易证对恒成立,故=1不适合,排除C,故选D.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…‎ 若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则( )‎ A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 ‎ C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 ‎ D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。‎ ‎13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.‎ ‎【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题.‎ ‎【解析】=====0,解得=.‎ ‎14、若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系,是容易题.‎ ‎【解析】当=1时,==,解得=1,‎ 当≥2时,==-()=,即=,‎ ‎∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.‎ ‎15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______‎ ‎【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题,是难题.‎ ‎【解析】∵==‎ 令=,,则==,‎ 当=,即=时,取最大值,此时=,∴===.‎ ‎16、若函数=的图像关于直线=-2对称,则的最大值是______.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题.‎ ‎【解析】由图像关于直线=-2对称,则 ‎0==,‎ ‎0==,解得=8,=15,‎ ‎∴=,‎ ‎∴==‎ ‎=‎ 当∈(-∞,)∪(-2, )时,>0,‎ 当∈(,-2)∪(,+∞)时,<0,‎ ‎∴在(-∞,)单调递增,在(,-2)单调递减,在(-2,)单调递增,在(,+∞)单调递减,故当=和=时取极大值,==16.‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17、(本小题满分12分)‎ 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°‎ ‎(1)若PB=,求PA;‎ ‎(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA ‎【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;‎ ‎(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎∴=,∴=.‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.‎ ‎(Ⅰ)证明AB⊥A1C;‎ ‎(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。‎ ‎【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象能力、逻辑推论证能力,是容易题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,‎ ‎∵AB=,=,∴是正三角形,‎ ‎∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面, ‎ ‎∴AB⊥; ……6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,‎ 又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,‎ ‎∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,‎ 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), ……9分 设=是平面的法向量,‎ 则,即,可取=(,1,-1),‎ ‎∴=,‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分 ‎19、(本小题满分12分)‎ 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,‎ ‎∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分 ‎(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ……10分 EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分 ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. ‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为(,),半径为R.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.‎ ‎(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,‎ 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时,其方程为,‎ 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.‎ 当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.‎ 当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,‎ 综上,|AB|=或|AB|=.‎ ‎(21)(本小题满分共12分)‎ 已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 ‎(Ⅰ)求,,,的值 ‎(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知得,‎ - 11 -‎ ‎ ‎ 而=,=,∴=4,=2,=2,=2;……4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,‎ 设函数==(),‎ ‎==,‎ 有题设可得≥0,即,‎ 令=0得,=,=-2,‎ ‎(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,‎ ‎(2)若,则=,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,‎ ‎(3)若,则==<0,‎ ‎∴当≥-2时,≤不可能恒成立,‎ 综上所述,的取值范围为[1,].‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。 ‎ ‎(Ⅰ)证明:DB=DC;‎ ‎ (Ⅱ)设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径。‎ ‎【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G.‎ - 11 -‎ ‎ ‎ 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,‎ 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=.‎ 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=,∠ABE=∠BCE=∠CBE=,‎ ‎∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于.‎ ‎(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为。‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。‎ ‎【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题.‎ ‎【解析】将消去参数,化为普通方程,‎ 即:,将代入得,‎ ‎,‎ ‎∴的极坐标方程为;‎ ‎(Ⅱ)的普通方程为,‎ 由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.‎ ‎ (24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数=,=.‎ ‎(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;‎ - 11 -‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.‎ ‎【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题.‎ ‎【解析】当=-2时,不等式<化为,‎ 设函数=,=,‎ 其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.‎ ‎(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,‎ ‎∴对∈[,)都成立,故,即≤,‎ ‎∴的取值范围为(-1,] .‎ ‎ ‎ - 11 -‎ ‎ ‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档