陕西省咸阳市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

陕西省咸阳市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

咸阳市2020年高考模拟检测（一）‎ 数学（理科）试题 注意事项：‎ ‎1. 本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；‎ ‎2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；‎ ‎3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；‎ ‎4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.‎ ‎【详解】，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则中元素的个数为（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.‎ ‎【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：‎ 中的元素个数为个 故选：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.‎ ‎【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为 又 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.‎ ‎【详解】若，‎ 中，，，则，错误；‎ 中，，，则，错误；‎ 中，上单调递增 当时，，正确；‎ 中，，，则，错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.‎ ‎5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，‎ 解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差中项和等比中项定义可得到的关系，代入余弦定理中可求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ 由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础题.‎ ‎7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为.‎ ‎【详解】连接交于点，取中点，连接 设 三棱柱为直三棱柱 四边形为矩形 为中点 且 又， ‎ 异面直线和所成角的余弦值为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.‎ ‎8.函数，在中随机取一个数，使的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的图象可确定时的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.‎ ‎【详解】当时， 所求概率 故选：‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取值范围.‎ ‎9.已知，则的最小值为（ ）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】由得：‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ 的最小值为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.‎ ‎10.已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）‎ A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.‎ ‎【详解】中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误； ‎ 中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；‎ 中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，错误；‎ 中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.‎ ‎11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.‎ ‎【详解】由得：关于对称 又为上的奇函数 是以为周期的周期函数 且 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.‎ ‎12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，‎ 由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，‎ 将点的坐标代入双曲线的方程得，即，‎ 设该双曲线的离心率为，则，整理得，‎ 解得，因此，双曲线的离心率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.曲线在点处的切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 带入得切线的斜率，‎ 切线方程为，整理得 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.‎ ‎14.已知， 则____________，____________.‎ ‎【答案】 (1). . (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和辅助角公式可将整理为 ‎，对应相等可得所求的的值.‎ ‎【详解】（其中）‎ ‎，‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换化简的问题，涉及到辅助角公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.‎ ‎15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.‎ ‎【答案】，（答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.‎ ‎【详解】由得： 的定义域为 又为定义域内的增函数 值域为 的一个“同域函数”为，‎ 故答案为：，（答案不唯一）‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.‎ ‎16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法. ‎ 改写成以下形式：‎ 若 则____________.‎ ‎【答案】0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用秦九韶算法表示出，代入整理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查利用秦九韶算法求值的问题，关键是能够将所给多项式化为符合秦九韶算法的形式.‎ 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. ‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.如图，长方体中，是的中点，. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由长方体特点知平面，根据面面垂直判定定理证得结论；‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵是长方体 平面 又平面 平面平面.‎ ‎（Ⅱ） 以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则，， ，.‎ 设平面的一个法向量为 由得：，令，则， ‎ 又平面的一个法向量 ‎，‎ 二面角是钝二面角 二面角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到面面垂直的判定定理的应用；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是忽略所求二面角的范围，造成求解错误.‎ ‎18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响. ‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多‎2”‎，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）确定所有可能的取值，由二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此得到分布列和数学期望；‎ ‎（II）将事件分成“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况，结合（I）中所求概率，根据独立事件概率公式计算可得结果.‎ ‎【详解】（I）所有可能的取值为 ‎；；‎ ‎；. ‎ 的分布列为 数学期望.‎ ‎（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生 即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况 ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解、独立事件概率问题的求解；关键是能够明确随机变量服从于二项分布，进而利用二项分布概率公式求得每个取值所对应的概率，属于常考题型.‎ ‎19.已知数列的前项和为，且满足. ‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）令，利用可求得；当时，利用整理可得，从而证得结论；‎ ‎（II）由（I）可得的通项公式，从而求得，利用错位相减法求得结果.‎ ‎【详解】（I）令，，解得：‎ 当且时，，‎ ‎，即 ‎ 是以为首项，为公比的等比数列 ‎（II）由（I）知： ‎ 设数列的前项和为 则 两式作差得：‎ ‎【点睛】本题考查根据与关系、递推关系式证明数列为等比数列、错位相减法求解数列的前项和的问题；关键是能够熟练掌握数列求和的方法，当数列的通项公式为等差与等比的乘积的形式时，选择错位相减法来求和.‎ ‎20.已知，.‎ ‎（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明.‎ ‎【答案】（I）内有且只有一个零点；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由导函数可得，可知在上单调递增；利用零点存在定理可确定在内存在唯一零点，即在内有且只有一个零点；‎ ‎（II）令；由可得，根据（I）中结论可得函数单调性，利用单调性确定，代入整理可得，从而证得结论.‎ ‎【详解】（I）， ‎ 与在上单调递增 在上单调递增 ‎， 唯一的，使得 在内有且只有一个零点 ‎（II）令，则.‎ 由（I）可知：存在使得 ‎，即：‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到零点存在定理的应用、利用导数求解函数的单调性、函数最值的求解问题；利用导数证明不等关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题，通过验证最值所处的范围证得结论.‎ ‎21.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点. ‎ ‎（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】（I），；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据抛物线方程即可直接得到焦点坐标和准线方程；‎ ‎（II）设方程为，与抛物线方程联立可得；利用直线两点式方程得到直线方程，整理可得，代入即可求得点坐标，同理可得点坐标；根据向量数量积运算，可整理得到，由此得到垂直关系.‎ ‎【详解】（I）由抛物线方程知：焦点，准线为：‎ ‎（II）设直线的方程为：‎ 令，，‎ 由消去得：，则.‎ 直线方程为：‎ 即 当时， ‎ 同理得：‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，重点考查了垂直关系的证明问题；证明垂直关系的关键是能够将问题转化为平面向量数量积等于零或两直线斜率乘积为；解决此类问题的常用方法是直线与抛物线方程联立，通过韦达定理的结论代入所证式子中进行整理得到结果.‎ ‎（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. ‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用可将曲线的参数方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）解法一：可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为，设弦的端点分别为，，利用点差法可求出直线的斜率，即得的值；‎ 解法二：写出直线的参数方程为，将直线参数方程与曲线的普通方程联立，由可求出角的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数），得：，‎ 曲线的参数方程化为普通方程为：；‎ ‎（Ⅱ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为.‎ 设直线与曲线相交于，两点，则，.‎ 则，②-①得：，‎ 化简得：，即，‎ 又，直线的倾斜角为；‎ 解法二：中点极坐标化成直角坐标为，‎ 将分别代入，得.‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎，即.‎ 又，直线的倾斜角为.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，由得.‎ ‎①当时，原不等式可化为：，解之得：；‎ ‎②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.‎ 因此，不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 由得，，，‎ ‎，，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎ ‎