河南省新乡市2020届高三第二次模拟考试数学（文科）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）‎ 数学（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找两个集合的公共元素.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，考查理解辨析能力，是基础题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到化为.‎ ‎【详解】.‎ - 23 -‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的焦点在轴上，通过近线方程可得与的关系，已知，可求出的值.‎ 详解】由题意可得，‎ 解得，则该双曲线的实轴长为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查用双曲线的标准方程和渐进线的方程求实轴长，需注意实轴长是，而不是，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分子分母同除，利用同角三角函数的基本关系式化简求值.‎ ‎【详解】.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较的大小.‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误的是（ ）‎ A. 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数 B. 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数 C. 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同 D. 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.‎ ‎【详解】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3；‎ 乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；‎ 则A，C，D正确，B错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.‎ ‎7.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断.‎ ‎【详解】即，‎ 所以是奇函数，排除A，B；‎ 当时，，，则，排除C.‎ 故选：D.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题.‎ ‎8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设出圆柱的底面半径和高，由已知列出关于底面半径和高的方程，解方程，最后可求圆柱的侧面积.‎ ‎【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，‎ 由题意可得，解得，‎ 则该圆柱的侧面积是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱表面积和轴截面周长的计算，考查运算求解能力和直观想象能力，是基础题.‎ ‎9.如图，，是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的一个最高点，若是等腰直角三角形，则函数的解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过，是等腰直角三角形，可得长度，从而求出周期，由可得得值，再将代入计算的值，最后可得的解析式.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 因为是等腰直角三角，所以，所以，即 则，故，‎ 将代入的解析式得，‎ 可得，‎ 解得，‎ 因为，所以，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数识图求解析式，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.‎ ‎10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字，，则事件“”的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把第三到第八位6个有效数字两两组合，列出所有可能情况，找出符合要求事件个数，求概率.‎ ‎【详解】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，‎ - 23 -‎ 则取到数字，的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中符合条件的有8种，故所求概率.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.‎ ‎11.在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上.若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定直四棱柱底面外接圆圆心位置，在外接圆心处垂直底面竖直上升找到外接球球心，求出外接球半径，最后可求外接球体积.‎ ‎【详解】由题意可得和都是以为斜边的直角三角形，‎ 因，所以.‎ 因为，所以，‎ 所以四边形的面积,‎ 因为四棱柱的体积为36，所以，‎ 所以该四棱柱的外接球的半径，‎ 故该四棱柱的外接球的体积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查空间几何体外接球问题，关键是确定外接球球心位置，考查直观形象能力和运算求解能力，是中档题.‎ - 23 -‎ ‎12.若对任意实数，恒成立，则（ ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出．当，当，判断函数的单调性求出函数的最值，推出．令，不等式化为，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值，然后求解即可．‎ ‎【详解】解：，则．‎ 当，即时，，则在，单调递减，‎ 故，解得，所以不符合题意；‎ 当，即时，在上单调递减，在，上单调递增，‎ 则．‎ 因为，所以．‎ 令，不等式可转化为，‎ 设，则，‎ 令，得；令，得，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，有最小值0，即，‎ 因为，所以，此时，故．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查推理论证能力、运算求解能力和分类讨论思想，是难题.‎ - 23 -‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知向量，，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若，则.‎ ‎【详解】因为，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎14.若实数，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组作出可行域，结合可行域求目标函数最值.‎ ‎【详解】如图，可行域图中阴影部分，‎ 目标函数在点处取得最小值，.‎ - 23 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.‎ ‎15.在中，内角，，的对边分别为，，.已知，且，则的面积的最大值是__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把已知等式角化边，并结合余弦定理可求得角；，利用基本不等式可得的最大值，最后可得的面积的最大值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 则.‎ 因为，所以（当且仅当时，等号成立），‎ 故的面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，并求三角形面积的最值，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎16.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，点在抛物线的准线上，且.若点到直线的距离是，则直线的斜率是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 由抛物线方程可得焦点坐标，设出点坐标，可得点坐标，由直线点斜式方程设出直线的方程，利用点到直线的距离是，列等量关系，并结合点在抛物线上，可解出点坐标，最后可用斜率公式计算直线的斜率.‎ ‎【详解】由题意可知，‎ 设，则，‎ 直线的方程为，即，‎ 因为点到直线的距离是，所以，‎ 因为点在抛物线上，所以，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得，所以，‎ 即，‎ 故直线的斜率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到直线方程点到直线距离公式等知识，考查运算求解能力，是中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在数列中，，，（且）.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义法证明数列是等比数列；‎ ‎（2）结合数列的通项公式，利用累加法可求得数列的通项公式.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，‎ ‎∴，‎ 又，，；‎ ‎∴（，且），‎ 故数列是首项和公比都是2的等比数列；‎ ‎（2）解：由（1）可得，‎ 则（，且），‎ 故 ‎（，且），‎ 当时，满足上式，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的证明方法——定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.‎ ‎18.如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.‎ - 23 -‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面，则有；‎ ‎（2）等体积法求点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，为斜边，‎ ‎∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面 ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）解：由（1）知，平面，‎ 由题意可得，，，‎ - 23 -‎ 则，，‎ ‎∵为棱的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在中，，，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 则的面积为，‎ 设点到平面的距离为 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）讨论在上的零点个数.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，在上没有零点，当时，在上只有一个零点，当时，在上有两个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的导函数，分类讨论参数，得出的单调性；‎ ‎（2）转化问题，原函数有零点即函数有解，求导得出 - 23 -‎ 的单调性和极值，分类讨论得出在上的零点个数.‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 当时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ 当时，‎ 令，得，令，得.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 综上所述，当时，在上单调递减，‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）令，得，‎ 设，则.‎ 令，得，‎ 令，得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，则.‎ 当时，在上无解，所以在上没有零点；‎ 当时，在上有且仅一个解，所以在上有一个零点；‎ 当时，在上有两个解，所以在上有两个零点.‎ 综上，当时，在上没有零点；‎ 当时，在上只有一个零点；‎ - 23 -‎ 当时，在上有两个零点.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数单调性，利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问题，考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是中档题.‎ ‎20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：‎ 日销售量 ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ 频数 ‎9‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；‎ ‎（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：‎ 日销售量 ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎110‎ 频数 ‎5‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；‎ ‎（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？‎ ‎【答案】（1）（2）（ⅰ）万元（ⅱ）每天应该批发两大箱 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；‎ - 23 -‎ ‎（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较.‎ ‎【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为元，‎ 所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，‎ ‎∴所求频率为.‎ ‎（2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为元，‎ 当日销售量50件时，‎ 当日利润为元；‎ 当日销售量为70件时，‎ 当日利润为元；‎ 当日销售量为90件时，‎ 当日利润为元；‎ 当日销售量量为110件时，‎ 当日利润为元；‎ 所以这30天这款零件的总利润为 万元.‎ ‎（ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为元，‎ 当日销售量为50件时，‎ 当日利润为元；‎ 当日销售量为70件时，‎ 当日利润为元；‎ 当日销售量为90件或110件时，‎ 当日利润为元.‎ 所以这30天这款零件的总利润为 万元，‎ ‎∵93.32万元万元，‎ ‎∴每天应该批发两大箱.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与椭圆交于，两点（是坐标原点），若四边形的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）离心率提供与的关系，四个顶点构成的四边形对角线互相垂直，列出等量关系求，的值；‎ ‎（2）直线经过点,由直线点斜式方程设出直线的方程，并设出直线与椭圆交点、的坐标，联立方程，由韦达定理可表示出的中点的坐标；由中点的坐标可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆的方程，利用韦达定理可求，再利用点到直线距离公式可求点、到直线的距离，由四边形的面积为可列出等量关系，最后可求出直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，‎ 解得，，‎ 故椭圆的方程为.‎ - 23 -‎ ‎（2）设直线的方程为，，.‎ 联立，整理得，‎ 则，，‎ 从而，故，‎ 直线的斜率为，所以直线的方程为，‎ 即.‎ 联立，整理得，‎ 则.‎ 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，‎ 从而.‎ ‎∵点，在直线的两侧，‎ ‎∴，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 则四边形的面积，‎ ‎∵四边形面积为，‎ - 23 -‎ ‎∴，解得，‎ 故直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，联立方程利用韦达定理求弦长，考查转化与化归思想和运算求解能力，是难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求与的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出与的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线的直角坐标方程化为参数方程，点在直线上，利用参数的几何意义，可得的值.‎ ‎【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以其直角坐标方程为，‎ ‎∵直线的极坐标方程为，‎ ‎∴，‎ - 23 -‎ ‎∴其直角坐标方程为；‎ ‎（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），‎ 代入曲线的方程，得，‎ 则，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论去绝对值解不等式；‎ ‎（2）利用三角不等式解法解不等式，从而得出的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 不等式等价于或或，‎ 解得或或.‎ ‎∴原不等式的解集为；‎ ‎（2）等价于.‎ 因为，‎ - 23 -‎ 所以，所以或.‎ 则的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和绝对值不等式成立问题，考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归思想，是基础题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎