2018-2019学年河南省新乡市高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年河南省新乡市高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则（　　）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合，根据交集定义求解得到结果.‎ ‎【详解】‎ 则 或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．在正项等比数列中，，为方程的两根，则（　　）‎ A．9 B．27 C．64 D．81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由已知得 是正项等比数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）‎ A． B．11 C． D．22‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差数列的通项公式和前项和公式的应用求出，从而可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 等差数列的公差为 由已知可得：‎ 又，解得：‎ 故：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用等差数列的通项公式和前项和公式求解等差数列基本量，属于基础题型.‎ ‎4．在中，角所对的边分别为，已知，，，则（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求得，根据边角关系知，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：‎ 又，则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大角对大边的特点，得到错误结果.‎ ‎5．若数列满足，且，则其前项的和（　　）‎ A．60 B．80 C．90 D．120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义式可知数列为等差数列，利用等差数列性质求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，可知数列为等差数列 则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定义判断数列为等差数列，等差数列性质的应用，属于基础题.‎ ‎6．设的内角所对的边分别为，若，，则（　　）‎ A．10 B．20 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，根据余弦定理构造方程，可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，即 由余弦定理可得：‎ 则 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想与运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为等差数列问题，通过，，，构造方程组解出公差，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设每天所织布的尺数为，则数列为等差数列 设公差为 由题意可知：，，‎ 则，解得：‎ 即每天比前一天少织尺的布 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.‎ ‎8．已知等比数列的前项和为，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得，再利用等比数列构造关于的方程，求得，再利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时，‎ 数列为等比数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用求得和的关系，进而构造出符合基本不等式的形式.‎ ‎9．设满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A．3 B．12 C．6 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，根据平移可得过点时，取最大值，代入点坐标求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 将变为 则取最大值时，在轴截距取最小值 由进行平移可知，当直线过点时，在轴截距最小 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中求解型的最值问题，关键是能够通过平移找到取得最值时，直线经过的点，属于常规题型.‎ ‎10．设数列的前项和为，若对于都有，，成等差数列，且，则（　　）‎ A． B．512 C．1024 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可证得数列为等比数列，公比为，根据可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意：，则 即： ‎ 可知数列为公比为的等比数列 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解等比数列中的项，关键是通过前项和的关系证得数列为等比数列，从而可利用等比数列通项公式求得数列中的项.‎ ‎11．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若 成等差数列，且，则下列结论正确的是（　　）‎ A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性可得，再根据单调性可得；再利用可证得，从而得到结论.‎ ‎【详解】‎ 为上的奇函数，则 又在上单调递减，则 ‎ 因为，则 从而，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性和单调性的应用问题，关键在于将函数值的比较通过单调性变为自变量大小的比较.‎ ‎12．在中，若，，则面积的最大值为（　　）‎ A． B． C．12 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量运算可知，，根据余弦定理可求得；列出三角形面积公式，通过基本不等式求解出最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎，即 ‎，即 又，则 又（当且仅当即时取等号）‎ 则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中三角形面积的最值问题，关键是能够通过通过余弦定理、三角形面积公式，构造出符合基本不等式的形式，通过基本不等式求解最值.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知方程的两个根为，，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据韦达定理求出，代入不等式，解一元二次不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得： ‎ 则不等式可化为： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程的根与一元二次不等式求解的问题，属于基础题.‎ ‎14．若满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件得到可行域，根据的几何意义可将问题转化为点与可行域内点连线斜率的最小值，根据图形得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据约束条件可得可行域如下图（阴影部分）所示：‎ 的几何意义为：与连线的斜率 则如下图所示，当与连线时，斜率最小 由 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中的斜率型问题的求解，关键是能够明确目标函数的几何意义，将问题转化为斜率问题进行求解.‎ ‎15．的内角的对边分别为，若，，则的外接圆的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可将边角关系式化为，根据同角三角函数关系求出，从而求得，进而得到外接圆面积.‎ ‎【详解】‎ 设外接圆半径为 由正弦定理可得：‎ 由得：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理进行边角关系的互化、同角三角函数的求解，属于常规题型.‎ ‎16．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和公式和通项公式化简已知式，可得，解出，进而根据求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得： ‎ 由得：‎ 则 ‎ 则 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式和前项和公式求解基本量的问题，关键是能够将已知关系式化成关于和的形式，构成方程组，解方程组求得结果.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）已知矩形的面积为，求它的周长的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将问题转化为一元二次不等式，解不等式得结果；（2）假设矩形的长，将周长转化为基本不等式的形式，从而求得周长的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式可化为 即，解得：‎ 该不等式的解集为 ‎（2）设矩形的长为，则它的宽为，‎ 则矩形的周长为 当且仅当，即时取等号 矩形周长的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的求解，基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）若，解关于的不等式（结果用含的式子表示）；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，可以变形为，讨论的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案；（2）根据题意，不等式恒成立，即恒成立，则有恒成立，结合的范围求出的范围，分析可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，若，则 则 ‎ 当时，其解集为；‎ 当时，不等式的解集为或；‎ 当时，不等式的解集为或；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立 即恒成立，则有恒成立 又由，则 则必有，即实数的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质，涉及函数的恒成立问题.解决恒成立问题的基本思路是通过分离变量的方式，将问题转化为最值问题的求解.‎ ‎19．已知在锐角中，内角所对的边分别为，且 ‎（1）求；‎ ‎（2）设，，为上一点，若，求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理进行边角关系化简可求得，从而得到；（2）根据余弦定理求得，从而得到，根据可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理，可得 ‎ ‎ 可得：‎ 即： ‎ ‎ ‎ ‎（2）由，可得：‎ 解得：或 当时，，则为钝角，不符合题意，故 又 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，涉及到三角形面积公式的应用，属于常规题型.‎ ‎20．设数列的前项和为，且，正项等比数列的前项和为，且，‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）在数列中，，且，求的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据时，求得，验证首项可知数列为分段数列，从而得到通项公式；根据和求得公比，从而得到通项公式；（2）求出后，整理可得，利用累加的方法得到.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 当时，‎ 又为正项等比数列，， ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎，，…，‎ 以上各式相加得：‎ 又，满足上式，故 ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式的求解，涉及到利用求通项、等比数列通项求解、累加法求解递推数列的通项公式的方法，关键是要明确不同形式的递推关系所对应的求解通项公式的方法.‎ ‎21．在中，内角的对边分别为，已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；（2）利用余弦定理构造关于的等式，利用可求得的最大值，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理可得：‎ 即：‎ 即： ‎ ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 又，，则 ‎ ‎ 当且仅当时取等号 的周长的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值问题的求解；求解周长最值问题的关键是能够利用余弦定理构造关于边长关系的等式，从而利用基本不等式求得边长之和的最值.‎ ‎22．数列中，，点在直线上．‎ 求数列的通项公式；‎ 令，数列的前n项和为．‎ 求；‎ 是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意结合等差数列的定义可知数列为等差数列，公差为，据此求解其通项公式即可；‎ ‎（2）(ⅰ)由题意可得，然后裂项求和确定其前n项和即可.‎ ‎(ⅱ)由题意分类讨论为奇数和为偶数两种情况可得取值集合为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，在直线，‎ 所以，即数列为等差数列，公差为，‎ 所以-1.‎ ‎（2）(ⅰ)，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(ⅱ)存在整数使得不等式(n∈N)恒成立．‎ 因为＝.‎ 要使得不等式(n∈N)恒成立，应有：‎ 当为奇数时，，即-.‎ 所以当时，的最大值为－，所以只需－.‎ 当为偶数时，，‎ 所以当时，的最小值为，所以只需.‎ 可知存在，且.‎ 又为整数，所以取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎