宁夏银川景博中学2020届高三下学期第一次模拟数学（文）试题

宁夏银川景博中学2020届高三下学期第一次模拟数学（文）试题

银川景博中学2020届下学期高三年级第一次模拟考试数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再代入模的公式求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合， 再与集合A取交集.‎ ‎【详解】因为， ‎ 又因为，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查复集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.已知角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，再利用诱导公式求.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则当输入的分别为3和6时，输出的值的和为（ ）‎ A. 45 B. ‎35 ‎C. 147 D. 75‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环终止条件，分别求得输入3和6的结果，再求和.‎ ‎【详解】当输入的为3时，.‎ 当输入的为6时，.‎ 所以输出的值的和为75.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.‎ ‎5.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）‎ A. CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住 B. CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%‎ C. 猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%‎ D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可. B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.‎ ‎【详解】A. CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.‎ B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.‎ C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.‎ D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约2.1%+2.5%=4.6%，故错误.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎6.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.‎ ‎【详解】因为正方形为朱方，其面积为9，‎ 五边形的面积为，‎ 所以此点取自朱方的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.‎ ‎【详解】已知圆，‎ 所以其标准方程为：，‎ 所以圆心为.‎ 因为双曲线，‎ 所以其渐近线方程为，‎ 又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，‎ 则圆心在渐近线上，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎8.已知中，角所对的边分别为，若的面积为，则的周长为（ ）‎ A. 8 B. ‎12 ‎C. 15 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，解得，再由余弦定理得，求得即可.‎ ‎【详解】因为的面积为，‎ 所以，解得.‎ 由余弦定理得，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，解得.‎ 由余弦定理得，‎ 所以，‎ 所以的周长为15.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.函数在上的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的特点，结合选项的图象特征，利用特殊值进行验证排除确定.‎ ‎【详解】因，排除B，D.‎ 又因为，排除C.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析，特殊法应用的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简为，再利用平移变换得到，再根据满足，则有图象关于对称求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 又因为满足，‎ 所以图象关于对称，‎ 所以，‎ 解得，‎ 又因为，‎ 所以的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 确定一个平面，‎ 因为平面平面，‎ 所以，同理，‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 即正方体被平面截的截面.‎ 因为，‎ 所以，‎ 即 所以 由余弦定理得：‎ 所以 所以四边形 故选：B ‎【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎12.定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象，结合，则有求解.‎ ‎【详解】因为 如图所示：‎ 则有 解得：‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知（4，﹣1），（2，t2﹣1），若5，则t＝_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t．‎ ‎【详解】∵（4，﹣1），（2，t2﹣1），‎ ‎∴•4×2﹣（t2﹣1）＝5，‎ t2＝4，‎ 则t＝±2．‎ 故答案为：±2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题．‎ ‎14.已知函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则__________，_________.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是定义在上的奇函数，有，再根据，得到，所以的周期，然后再求解.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数的周期.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：0，1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎15.在三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.此时取BD的中点O，由，得，同理根据，且，由直角三角形中线定理可得，从而得到外接圆半径R=2，再分别利用体积公式求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.‎ 取BD的中点O，因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 外接圆半径R=2，‎ V球，，‎ 三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16.牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解.设构成数列.对于下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ 其中正确结论的序号为__________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①，②；根据过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，利用归纳推理判断。③；④根据①，②判定的结果，利用累加法判断。‎ ‎【详解】由过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，‎ 则有，故②正确.‎ 根据题意有：，，，…， ，两边分别相加得：‎ ‎，故④正确.‎ 故答案为：②④‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的递推和累加法求通项公式，还考查了归纳推理和运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数满足，数列满足.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列； （2）若，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数满足，得.又因为数列满足，化简利用等差数列的定义证明.‎ ‎（2）由（1）知：，则，符合等差数列与等比数列相应项之积构成的数列，用错位相减法求和.‎ ‎【详解】（1）因为函数满足，‎ 令，所以，‎ 即.‎ 因为数列满足，‎ 所以，又 所以是以2为首项，以1为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知：+1.‎ 所以.‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的证明和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.‎2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.‎ ‎（1）完成下列列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？‎ 了解 不了解 合计 男性 女性 合计 ‎（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人，补全列联表.再根据列联表，代入求临界值的公式，求观测值，利用观测值临界表进行比较.‎ ‎（2）根据了解这一信息的男女比例，确定抽取6人中，男女的人数，然后列举从6人中任取3人的基本事件的总数，再从中找出含有一名女性的基本事件的个数，再代入古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】（1）由随机抽取200个样本进行统计，男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.‎ 得列联表如下， ‎ 了解 不了解 合计 男性 ‎80‎ ‎50‎ ‎130‎ 女性 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.‎ ‎（2）从了解这一信息调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人中，男性有人，女性有2人，设男生编号为1，2，3，4，女性编号分别为5，6，则“从这6人中任选3人”的基本事件有;‎ ‎(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6) ，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5) (2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，‎ ‎(2，5，6)，(3，4，5) (3，4，6) ，(3，5，6)，(4，5，6)共20个 其中事件A“一等奖与二等奖获得者都有女性”的基本事件有 ‎(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(2，3，5) (2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(3，4，5) (3，4，6)共12个 所以一等奖与二等奖获得者都有女性的概率为 ‎【点睛】本题主要考查独性检验和古典概型概率的求法，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，是等边三角形，是上一点，平面平面.‎ ‎（1）若是中点，求证：平面；‎ ‎（2）设=，当取何值时，三棱锥的体积为？‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在平面ABCD中，由勾股定理证明.在空间中，由平面平面 得到平面从而有，再利用线面垂直的判定定理证明.‎ ‎（2）设，所以，则有，根据是等边三角形，平面平面得到点到平面的距离，即为四棱锥的高，且，再利用等体积法转化，则有，整理得求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以.‎ 因为是的中点，‎ 所以.‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又因为平面平面 所以平面 所以，‎ 所以平面.‎ ‎（2）设，‎ 所以，‎ 因为是等边三角形，平面平面 点到平面的距离，即为四棱锥的高，且 因为 所以 整理得：‎ 又因为 解得 ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及几何体体积的求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知点、点及抛物线.‎ ‎（1）若直线过点及抛物线上一点，当最大时求直线的方程；‎ ‎（2）轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设过点的直线方程为：，与.联立得：， 然后再利用当直线与抛物线相切时，最大求解。‎ ‎（2）先假设存在点，设过点的直线方程为：，与.联立得：，根据点到直线的距离相等，有关于x 轴对称，即求解。‎ ‎【详解】（1）根据题意，设过点的直线方程为：，‎ 与.联立得：，‎ 直线过点及抛物线上一点，‎ 当最大时，则直线与抛物线相切，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以直线方程为：或.‎ ‎（2）假设存在点，设过点的直线方程为：，‎ 与.联立得：，‎ 由韦达定理得：，‎ 因为点到直线的距离相等，‎ 所以关于x轴对称，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ 所以存在，点 ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置以及对称问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线与平行，求实数的值；‎ ‎（2）设.求证：至多有一个零点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数，求导，根据函数的图象在处的切线与平行，则有求解.‎ ‎（2）根据，求导，易知当，当，当时，，只要论证即可.‎ ‎【详解】（1）已知函数，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为函数的图象在处的切线与平行，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 当，当，‎ 所以当时，，‎ 令，‎ 所以，‎ 所以在上是增函数.‎ 所以，即.‎ 所以至多有一个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数几何意义以及导数在函数零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）最大值，最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据 求解.‎ ‎（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为 所以 两式平方相加得：‎ 因为直线的极坐标方程为.‎ 所以 所以 即 ‎（2）如图所示：‎ 圆心C到直线的距离为：‎ 所以圆上的点到直线的最小值为：‎ 则点M(2，0)到直线的距离为最大值：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）求的最小值； ‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）2（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数特点，利用因为求解。‎ ‎（2）利用绝对值的几何意义，分类讨论去绝对值求解。‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 当且仅当，即 时，取等号.‎ 所以的最小值为2.‎ ‎（2）因为，‎ 当时，，‎ 解得，此时.‎ 当时，，无解.‎ 当时，，‎ 解得.‎ 综上：或.‎ 所以不等式的解集是或.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值函数求最值以及绝对值不等式的解法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎