2020届二轮复习二项展开式求展开式中的特定项教案（全国通用）

2020届二轮复习二项展开式求展开式中的特定项教案（全国通用）

求展开式中的特定项 知识内容 ‎1．二项式定理 ‎⑴二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理．‎ ‎⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ‎ ‎⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ‎①各项的次数都等于二项式的幂指数．‎ ‎②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．‎ ‎⑷几点注意 ‎①通项是的展开式的第项，这里．‎ ‎②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．‎ ‎③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．‎ ‎④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与 是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．‎ ‎⑤设，则得公式：． ‎ ‎⑥通项是中含有五个元素，‎ 只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎⑴杨辉三角形：‎ 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．‎ 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”‎ ‎⑵二项式系数的性质：‎ 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．‎ 当时，的图象为下图：‎ 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．‎ 事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；‎ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ‎，‎ ‎，．．．，‎ ‎，，．．．，‎ ‎．‎ 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．‎ 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．‎ 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．‎ 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．‎ ‎③二项式系数的和为，即．‎ ‎④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ‎．‎ 常见题型有：‎ 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．‎ 典例分析 二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）‎ 常数项 【例1】 在展开式中，系数为有理数的项共有 项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北高考 ‎【解析】略 ‎【答案】6；‎ 【例1】 的展开式中共有_____项是有理项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】展开式的第项为，‎ 要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，‎ 又，故，共有项．‎ ‎【答案】17；‎ 【例2】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，江西高考 ‎【解析】两个二项式的通项公式分别为，‎ ‎，当即时，有3种情况：；；．‎ 因此常数项为．‎ ‎【答案】4246；‎ 【例3】 的展开式中的常数项为_________．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，辽宁高考 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ 【例1】 二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，石景山一模 ‎【解析】通项公式，时，可得常数项；‎ 令即可得各项系数和为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 若的展开式中的常数项为，则实数___________． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，崇文1模 ‎【解析】由二项式定理．令．‎ 于是有．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，海淀一模 ‎【解析】由二项式定理，．‎ 当时，，于是的系数为，从而．‎ ‎【答案】1；‎ 【例4】 在的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，西城2模 ‎【解析】容易知道为所求．‎ ‎【答案】15；‎ 【例1】 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则 ，展开式中的常数项的值等于 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，朝阳2模 ‎【解析】由题意有；展开式的常数项的值为．‎ ‎【答案】8，70；‎ 【例2】 的展开式中常数项为 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】的展开式中常数项为．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，重庆高考 ‎【解析】由题意，．于是通项 当时，．常数项为．‎ ‎【答案】20；‎ 【例4】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】若的展开式中含有常数项，为常数项，‎ 则，‎ 即，所以被7整除，当时成立，最小的正整数等于7．‎ ‎【答案】7；‎ 【例1】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，江西高考 ‎【解析】通项公式为，由已知条件有时，．‎ 容易验证当时，不满足条件；时满足条件．‎ ‎【答案】6；‎ 【例2】 的展开式中，常数项为15，则 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】的展开式中，通项公式 ‎，常数项为15，则：‎ ‎．所以可以被3整除．‎ 容易验证当时，不满足条件；当时，，常数项，故．‎ ‎【答案】6；‎ 【例3】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，辽宁高考 ‎【解析】的通项公式为．‎ 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：．‎ 所以被4除只能余1．当时，．‎ ‎【答案】5；‎ 【例1】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，山东高考 ‎【解析】用通项公式，当时，，‎ 常数项为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，山东高考 ‎【解析】第三项的系数为，第五项的系数为，‎ 由第三项与第五项的系数之比为，可解得，则通项＝，当，解得，故所求的常数项为．‎ ‎【答案】45；‎ 【例3】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）‎ A．3个 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项，存在常数项，则，‎ 能被5整除，所以只有两种选择．选B．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，江西高考 ‎【解析】两个二项式的通项公式分别为，‎ ‎，当即时，有3种情况：；；．‎ 因此常数项为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北高考 ‎【解析】注意到，‎ 所以要求的的系数，的通项公式为：‎ 当时，可求得的的系数，所以所求常数项为．‎ 当然也可以直接将原多项式变为，然后用通项公式求常数项．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 的展开式中常数项为 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】的展开式中常数项为．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 已知的展开式的常数项是第项，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略；‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，江西高考 ‎【解析】通项公式为，由已知条件有时，．‎ 容易验证当时，不满足条件；时满足条件．‎ ‎【答案】6；‎ 【例3】 的展开式中，常数项为15，则 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】的展开式中，通项公式，‎ 常数项为15，则：‎ ‎．所以可以被3整除．‎ 容易验证当时，不满足条件；当时，，常数项，故．‎ ‎【答案】6；‎ 【例4】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，山东高考 ‎【解析】用通项公式，当时，，‎ 常数项为．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，山东高考 ‎【解析】第三项的系数为，第五项的系数为，‎ 由第三项与第五项的系数之比为，可解得，则通项=，当，解得，故所求的常数项为 ‎【答案】45；‎ 【例2】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）‎ A．3个 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项，存在常数项，‎ 则，能被5整除，所以只有两种选择．选B．‎ ‎【答案】B；‎ 【例3】 展开式中的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，山东高考 ‎【解析】，‎ ‎，．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 求展开式中的常数项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ ‎．‎ 由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为．‎ 【例2】 的展开式的常数项是 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，四川高考 ‎【解析】通项公式，令，得，‎ 故常数项为．‎ ‎【答案】-20‎ 【例3】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）‎ Ａ．                   Ｂ．                    Ｃ．                  Ｄ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项公式，令，且为的倍数．‎ 常数项为，从而，故或，验证可知．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，四川高考 ‎【解析】；为常数项，故．‎ ‎【答案】8；‎ 【例2】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，东城区一模 ‎【解析】通项公式，由题设知存在，‎ 使得，即，因此应是的倍数，只有选项符合要求，验证可知满足要求．‎ ‎【答案】A；‎ 【例3】 在的展开式中常数项是 ，中间项是．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】．．‎ 【例1】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，辽宁高考 ‎【解析】的通项公式为．‎ 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：．‎ 所以被4除只能余1．当时，．‎ ‎【答案】5；‎ 【例2】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】若的展开式中含有常数项，为常数项，‎ 则，‎ 即，所以被7整除，当时成立，最小的正整数等于7．‎ ‎【答案】7；‎ 【例3】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ）‎ A．         B．            C．             D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项公式，由题设．‎ 令，故常数项为．‎ ‎【答案】D；‎ 【例1】 若展开式中的二项式系数和为，则等于________；该展开式中的常数项为_________．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年朝阳区一模 ‎【解析】由题设，通项公式，‎ 令，得，‎ 故常数项为．‎ ‎【答案】；；‎ 【例2】 若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，西城区二模 ‎【解析】通项公式，令，得，‎ 常数项，展开式中二项式系数之和为．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 有理项 【例1】 求二项式的展开式中：‎ ‎⑴常数项；‎ ‎⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；‎ ‎⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】展开式的通项为：．‎ ‎⑴设项为常数项，则，得，即常数项为；‎ ‎⑵设项为有理项，则为整数，∴为的倍数，‎ 又∵，∴可取，，三个数，‎ 故共有个有理项．‎ ‎⑶为非负整数，得或，‎ ‎∴有两个整式项．‎ 【例2】 的展开式中共有_______项是有理项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】展开式的第项为，‎ 要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，‎ 又，故，共有项．‎ ‎【答案】17；‎ 【例3】 二项式的展开式中：‎ ‎⑴求常数项；‎ ‎⑵有几个有理项；‎ ‎⑶有几个整式项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】展开式的通项为：．‎ ‎⑴项为常数项，则，得，即常数项为；‎ ‎⑵设项为有理项，则为整数，∴为的倍数，‎ 又∵，∴可取三个数．‎ ‎⑶为非负整数，得或，∴有两个整式项．‎ 【例1】 已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列 ‎①求；‎ ‎②求展开式中的有理项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】①通项公式，‎ 由题设（舍去）．‎ ‎②，为有理项的充要条件为，‎ 所以是的倍数，．‎ 因此所有有理项为．‎ 【例2】 二项展开式中，有理项的项数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】（r = 0，1，2，…，14 ），‎ 当时，为有理项，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例1】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则 A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试 ‎【解析】B；于是可取3，9，‎ 则，‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ）‎ A．项 B．项 C．项 D．项 ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例3】 若（，为有理数），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，北京高考 ‎【解析】．‎ ‎【答案】C；‎ 系数最大的项 【例4】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵求展开式中系数最大的项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴由题设，得，即，解得或（舍去）．‎ ‎⑵设第项的系数最大，则，即 解得或．‎ 所以系数最大的项为．‎ 【例1】 展开式中系数最大的项是第几项？‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项公式为．‎ 若第项最大，设第项的系数为，则．‎ 将通项公式系数代入化简得：．‎ 解出．∴‎ 因此系数最大的项是第13项．‎ ‎【答案】13；‎ 【例2】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由已知有，即，解得或（舍去）‎ 设第第项的系数最大，则，即 解得 所以系数最大的项为和．‎ 【例1】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____． ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试 ‎【解析】于是，展开式的常数项为．‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】由题设，，即，．‎ 故或，解得的值为或．‎ ‎【答案】的值为或．‎ 【例3】 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】展开式的通项公式为：，‎ 系数的绝对值为，记为．‎ 用前后两项系数的绝对值作商得：‎ ‎．‎ 令得：，即时，上述不等式成立．‎ 所以，系数的绝对值从第项到第项增加，以后逐项减小．‎ 系数绝对值最大的项为第4项，．‎ 从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第项与第项的系数，记它们的系数分别为与，‎ ‎．‎ 所以，系数最大的项为第项，．‎ 【例1】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：‎ ‎⑴含的项；‎ ‎⑵系数最大的项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 由题设知，解得．‎ ‎，令，‎ 因此含的项为．‎ ‎⑵ 系数最大的项为中间项，即．‎ 【例2】 设，，的展开式中，的系数为．‎ ‎⑴求展开式中的系数的最大、最小值；‎ ‎⑵对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】，即．∴．‎ ‎⑴设的系数为．‎ ‎∵，，∴当或时，；当或时，．‎ ‎⑵对于使中的系数取最小值时的的值，即 从而的系数为．‎ 【例3】 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．‎ ‎⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，‎ ‎∴，．‎ ‎⑴ ∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，‎ ‎∴，，‎ ‎⑵ 设展开式中第项系数最大，则，‎ ‎∴，∴，‎ 即展开式中第项系数最大，．‎ 【例1】 展开式中系数最大的项是第几项？‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项公式为．‎ 若第项最大，设第项的系数为，则．‎ 将通项公式系数代入化简得：．‎ 解出．∴‎ 因此系数最大的项是第13项．‎ ‎【答案】13；‎ 【例2】 关于二项式有下列命题：‎ ‎①该二项展开式中非常数项的系数和是：‎ ‎②该二项展开式中第六项为；‎ ‎③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；‎ ‎④当时，除以的余数是．‎ 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】二项式所有项的系数和为，其常数项为，非常数项的系数和是，‎ 得①正确；‎ 二项展开式的第六项为，即得②错误；‎ 二项展开式中系数绝对值最大的项为第项（系数为）与第项（系数为），得系数最大的项是第项，即③错误；‎ 当时，除以的余数是，即④正确．故应填①④．‎ ‎【答案】①④；‎ 【例1】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】；根据第项的二项式系数最大可求出．常数项为。‎ ‎【答案】7；‎ 【例2】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 　 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北省八校第二次联考 ‎【解析】1；易知为整数，于是的小数部分 与的小数部分相同，而，于是则 ‎．‎ ‎【答案】1；‎ 【例3】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项公式为．设第项的系数为 当时，将已知条件代入得：，‎ 由已知，可知，即，第5项为常数项．‎ 若系数最大，则，化简可得．‎ 将代入，可得 ‎【答案】‎ 【例1】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】或；由已知可得，即得，‎ 二项式系数最大的一项为，解得，又，∴或．‎ ‎【答案】或 【例2】 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北高考 ‎【解析】由展开式通项有 由题意得，故当时，正整数的最小值为5．‎ ‎【答案】5；‎ 【例3】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】11；‎