人教版高三数学总复习课时作业77

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人教版高三数学总复习课时作业77

课时作业77 相似三角形的判定及有关性质 一、填空题 ‎1.如图,BD,CE是△ABC的高,BD,CE交于F,写出图中所有与△ACE相似的三角形为________.‎ 解析:由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角,因而它们均相似,又易知∠BFE=∠A,故Rt△ACE∽Rt△FBE.‎ 答案:△FCD、△FBE、△ABD ‎2.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AD=5,DB=3,FC=2,则BF=________.‎ 解析:由平行线的性质可得===,所以BF=FC=.‎ 答案: ‎3.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,ADBD=23.则△‎ ACD与△CBD的相似比为________.‎ 解析:‎ 如图所示,在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得:CD2=AD·BD,‎ 又∵AD:BD=2:3,令AD=2x,‎ BD=3x(x>0),‎ ‎∴CD2=6x2,∴CD=x.‎ 又∵∠ADC=∠BDC=90°,∠A=∠BCD.‎ ‎∴△ACD∽△CBD.‎ 易知△ACD与△CBD的相似比为==.‎ 即相似比为:3.‎ 答案::3‎ ‎4.‎ 如图,已知AB∥EF∥CD,若AB=4,CD=12,则EF=__________.‎ 解析:∵AB∥CD∥EF,‎ ‎∴=,=,‎ ‎∴=,=,‎ ‎∴4(BC-BF)=12BF,‎ ‎∴BC=4BF,‎ ‎∴=4=,‎ ‎∴EF=3.‎ 答案:3‎ ‎5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于O,过O的直线分别交AB、CD于E、F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,则EF=________.‎ 解析:∵EF∥AD∥BC,∴△OAD∽△OCB,‎ OA:OC=AD:BC=12:20,‎ ‎△OAE∽△CAB,OE:BC=OA:CA=12:32,‎ ‎∴EF=2××20=15.‎ 答案:15‎ ‎6.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.‎ 解析:连接AD,由射影定理可知ED2=AE·EB=1×5=5,又易知△EBD与△FED相似,得DF·DB=ED2=5.‎ 答案:5‎ ‎7.如图,等边三角形DEF内接于△ABC,且DE∥BC,已知AH⊥BC于点H,BC=4,AH=,则△DEF的边长为________.‎ 解析:设DE=x,AH交DE于点M,显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等,又DE∥BC,则==,∴==,解得x=.‎ 答案: ‎8.如图,‎ 在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E、F分别是AB、BC的中点,EF与BD相交于点M.若DB=9,则BM=________.‎ 解析:∵E是AB的中点,‎ ‎∴AB=2EB.‎ ‎∵AB=2CD,∴CD=EB.‎ 又AB∥CD,∴四边形CBED是平行四边形.‎ ‎∴CB∥DE,∴ ‎∴△EDM∽△FBM.∴=.‎ ‎∵F是BC的中点,∴DE=2BF.‎ ‎∴DM=2BM.‎ ‎∴BM=DB=3.‎ 答案:3‎ ‎9.‎ 如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=________.‎ 解析:连接AO,AC,因为∠ABC=30°,所以∠CAP=30°,∠AOC=60°,△AOC为等边三角形,则∠ACP=120°,∴∠APC=30°,∴△ACP为等腰三角形,且AC=CP=1,∴PA=2×1×sin60°=.‎ 答案: 二、解答题 ‎10.已知△ABC中,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE相交于点P,求证:‎ ‎(1)△BPE∽△CPF;‎ ‎(2)△EFP∽△BCP.‎ 证明:(1)∵BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,‎ ‎∴∠BFC=∠CEB.‎ 又∵∠CPF=∠BPE,∴△CPF∽△BPE.‎ ‎(2)由(1)得△CPF∽△BPE,∴=.‎ 又∵∠EPF=∠BPC,∴△EFP∽△BCP.‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E,求证:‎ ‎(1)AB·AC=BC·AD;‎ ‎(2)AD3=BC·CF·BE.‎ 证明:(1)在Rt△ABC中,AD⊥BC,‎ ‎∴S△ABC=AB·AC=BC·AD.‎ ‎∴AB·AC=BC·AD.‎ ‎(2)Rt△ADB中,DE⊥AB,由射影定理可得 BD2=BE·AB,同理CD2=CF·AC,‎ ‎∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.‎ 又在Rt△BAC中,AD⊥BC,∴AD2=BD·DC,‎ ‎∴AD4=BE·AB·CF·AC,‎ 又AB·AC=BC·AD.即AD3=BC·CF·BE.‎ ‎1.如图,在△ABC中,D为BC边的中点,E为AD上的一点,延长BE交AC于点F.若=,求的值.‎ 解:‎ 如图,过点A作AG∥BC,‎ 交BF的延长线于点G.‎ ‎∵=,∴=.‎ 又∵△AGE∽△DBE,‎ ‎∴==.‎ ‎∵D为BC中点,BC=2BD,‎ ‎∴=.‎ ‎∵△AGF∽△CBF,∴==,∴=.‎ ‎2.如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.‎ 求证:(1)∠FEB=∠CEB;‎ ‎(2)EF2=AD·BC.‎ 证明:(1)由直线CD与⊙O相切,‎ 得∠CEB=∠EAB.‎ 由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,‎ 从而∠EAB+∠EBF=;‎ 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=.‎ 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.‎ ‎(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,‎ 得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.‎ 同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.‎ 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,‎ 故EF2=AF·BF,‎ 所以EF2=AD·BC.‎
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