2012三明3月份质检文数试卷

2012三明3月份质检文数试卷

‎2012年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，…，的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合,，则为　‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的　‎ A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎3．已知平面向量，若，则实数等于　‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知是虚数单位，且复数是纯虚数，则实数的值为　‎ A． B．‎1 C．0或1 D．0 ‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的，则输出应为　‎ A． 　　　B． C． D． ‎ ‎6．已知，若．则　‎ A． 　 B． ‎ C． D．‎ ‎7．若是第四象限角，且，则 　‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知是两条不同的直线，是三个不同的 平面，下列命题正确的是　‎ A．若，则．‎ B．若，则．‎ C．若，则．‎ D．若，则． ‎ ‎9．如图是甲、乙两个学生的8次数学单元考试成绩的茎叶图．现有如下结论：‎ ‎①； ②乙的成绩较稳定；‎ ‎③甲的中位数为83； ④乙的众数为80。‎ 则正确的结论的序号是 A．①②③　　　　B．②③④　　　‎ C．①③④　　　　D．①②④‎ ‎10．已知函数，若，则函数在定义域内 A．有最小值，但无最大值． B．有最大值，但无最小值．‎ C．既有最大值，又有最小值． D．既无最大值，又无最小值．‎ ‎11．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是 A．　　 B．　 C．　 D．‎ ‎12．已知线段，，对于自然数(有，则 A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．已知圆，过原点的直线被圆所截得的弦长最长，则直线的方程是 ．‎ ‎14．在中，，，，则的大小为 ．‎ ‎15．若，则函数有零点的概率为 ．‎ ‎16．袋内有50个球，其中红球15个，绿球12个，蓝球10个，黄球7个，白球6个．任 意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有8个同色的球，那么从袋内摸出的球的只数至少应是 个．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知数列满足．‎ ‎（Ⅰ）若，求证数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若数列是等差数列，，求数列的前项和．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数依次为，，，，．现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.45‎ ‎（Ⅰ）在所抽取的20件样品中，等级系数为的恰有3件，等级系数为的恰有2件，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为D的3件样品记为，等级系数为的2件样品记为，现从这5件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)，试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图1，正方体的棱长为，是的中点．现截去部分几何体后得到如图2所示的四棱锥．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求证：面．‎ C A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 图1‎ A1‎ B1‎ D A E 图2‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）将函数的图象向上平移个单位后得到函数的图象，求的最 大值；‎ ‎（Ⅱ）设，若，问：是否存在直线为坐标原点)，使得该直线与曲线相切？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，、分别是直线（是大于零的常数）与轴、轴的交点，线段的中点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求常数的值；‎ ‎（Ⅱ）试探究直线与椭圆是否还存在异于点的其它公共点？请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）当时，试求面积的最大值，并求面积取得最大值时椭圆的方程．‎ ‎22．(本小题满分14分)‎ 已知函数，是大于零的常数． ‎ ‎（Ⅰ）当时,求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上为单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)证明：曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．‎ ‎2012年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C D C B A D C A B C ‎13．　　14．　　　15．　　　　16．35‎ ‎17．解：（Ⅰ）由得，，，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列．------------------------------5分 ‎（Ⅱ）解法一：由，及，‎ 两式相减，得．‎ 又是等差数列，于是，‎ 所以，解得，‎ 于是，代入得，于是．---------------9分 ‎，‎ 于是．---------- ---------------12分 解法二：∵是等差数列，∴设（为常数），‎ ‎ 即 ‎ 从而是常数列，公差，故．-----------------------------------9分 下同解法一．‎ ‎18．解：（Ⅰ）由频率分布表得，即.‎ 因为抽取的20件样品中，等级系数为的恰有3件，所以.‎ 等级系数为的恰有2件，所以.‎ 从而。‎ 所以. -----------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）从样品，中任取两件，所有可能的结果为：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，，，共计10个 设事件表示“从样品，中任取两件，其等级系数相等”，‎ 则包含的基本事件为：，，，，共4个．‎ 故所求的概率. ---------------------------------------12分 ‎19．解：（Ⅰ）如图，将几何体补形成正方体，-----------------------------------------3分 则--------7分 ‎（Ⅱ）在正方体中，截面是矩形，‎ 连接，交于，则为中点。‎ 又是的中点，连接，则是的中位线，于是，‎ 又面， ，于是面。-------------12分 A B C D E O A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ B1‎ C D A E O ‎20．解：(Ⅰ)函数，-------------3分 所以，‎ 从而，此时．-----------------------------------6分 x y O ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ P ‎ (Ⅱ)由知，区域如右图所示．‎ 于是直线的斜率的取值范围是，---------------------------------------9分 又由知，，于是，‎ 因为，所以直线不可能与函数的图象相切．-------------12分 ‎21．解：（Ⅰ）由已知可得、，故的中点为，‎ 又点在椭圆上，∴，所以．---------------------4分 ‎（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得，‎ 与方程联立得：，‎ 即，‎ 由于，‎ ‎∴此方程有两个相等实根，‎ 故直线与椭圆相切，切点为，‎ 除此之外，不存在其他公共点． ----------------------------------------------8分 ‎（解法二）由（Ⅰ）得，与方程联立得：‎ 所以则 ‎∴和是方程的两根，‎ 又，∴此方程有两个相等实根，即，‎ ‎∴直线与椭圆的公共点是唯一的点，‎ 即除点以外，不存在其他公共点．-----------------------------------------------------8分 ‎（Ⅲ）当时，，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等式成立，故 此时，椭圆的方程为：．-------------------------------------------------12分 ‎22．解：（Ⅰ）‎ ‎，当，‎ 令，得，‎ 在区间，，上分别单调递增，单调递减，单调递增，‎ 于是当时，有极大值；当时有极小值．------------4分 ‎（Ⅱ），若函数在区间上为单调递增，‎ 则在上恒成立，‎ 当，即时，由得；‎ 当，即时，，无解；‎ 当，即时，由得．‎ 综上，当函数在区间上为单调递增时，或．--------10分 ‎（Ⅲ），，‎ 令，得，‎ 在区间，，上分别单调递增，单调递减，单调递增，‎ 于是当时，有极大值；‎ 当时，有极小值．‎ 记,, 的中点, ‎ 设是图象任意一点,由，得，‎ 因为 ‎，‎ 由此可知点在曲线上，即满足的点在曲线上．‎ 所以曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ． ----------- -----------------------14分 草稿纸