2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷）

‎2013北京高考理科数学试题 ‎ ‎ ‎ 第一部分 （选择题 共40分）‎ 一、 选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x＜1}，则A∩B= ( )‎ A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}‎ ‎2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )‎ A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 ‎3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 开始 是 否 输出 结束 A.1 B. C. D.‎ ‎5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A.y=±2x B.y= C. D.‎ ‎7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于 A. B.2 C. D.‎ 8‎ ‎8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于 .‎ ‎10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .‎ ‎11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，，则PD= ；AB= .‎ ‎12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .‎ ‎13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa＋μb (λ，μ∈R)，则= .‎ ‎14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .‎ 8‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ‎15. (本小题共13分)‎ 在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值； (II)求c的值.‎ ‎16.( 本小题共13分)‎ 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.‎ ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;‎ ‎（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;‎ ‎（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎17. (本小题共14分)‎ 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ 8‎ ‎18. (本小题共13分)‎ 设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.‎ ‎(I)求L的方程；‎ ‎(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.‎ ‎19. (本小题共14分)‎ 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎20. (本小题共13分)‎ 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn 。‎ ‎(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；‎ ‎(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；‎ ‎(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.‎ ‎ ‎ 参考答案 一、 选择题：‎ ‎1.B ‎ ‎2.D ‎ ‎3.A ‎ ‎4.C ‎ ‎5.D ‎ ‎6.B ‎ ‎7.C ‎ 8‎ ‎8.C ‎ 二、填空题：‎ ‎9.1 ‎ ‎10.2， ‎ ‎11. ；4 ‎ ‎12.96 ‎ ‎13.4 ‎ ‎14. ‎ 三.解答题：‎ ‎15.解：（I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A. 所以在△ABC中，由正弦定理得.所以.故.‎ ‎(II)由（I）知，所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.‎ 在△ABC中，.‎ 所以.‎ ‎16.解：设表示事件“此人于3月日到达该市”（ =1,2，…，13）.‎ 根据题意, ,且.‎ ‎（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,‎ 所以.‎ ‎(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,‎ P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,‎ P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)= ,‎ 8‎ 所以X的分布列为：‎ 故X的期望.‎ ‎(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.‎ ‎17.解：‎ ‎（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 ⊥AC.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.‎ ‎(II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，‎ 设平面A1BC1的法向量为，则,即，‎ 令，则，，所以.‎ 同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.‎ ‎(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，，.‎ 所以. ‎ 由，即.解得.‎ 因为，所以在线段BC1上存在点D，‎ 使得AD⊥A1B.‎ 此时，.‎ ‎18.解: （I）设，则.所以.所以L的方程为.‎ ‎(II)令，则除切点之外，曲线C在直线的下方等价于 8‎ ‎. 满足，且.‎ 当时，，，所以，故单调递减；‎ 当时，，，所以，故单调递增.‎ 所以，（）.‎ 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.‎ 又解：即变形为，记，则，‎ 所以当时，，在（0,1）上单调递减；‎ 当时，，在（1，+∞）上单调递增。‎ 所以.）‎ ‎19.解：（I）椭圆W：的右顶点B的坐标为（2,0）.因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A（1，），代入椭圆方程得，即. 所以菱形OABC的面积是.‎ ‎(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为.‎ 由消去并整理得.‎ 设A,C，则，.‎ 所以AC的中点为M（，）.‎ 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.‎ 因为，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.‎ 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.‎ 8‎ ‎20.（I）‎ ‎(II)(充分性)因为是公差为的等差数列，且，所以 因此，,.‎ ‎(必要性)因为，所以.‎ 又因为，,所以. 于是，.‎ 因此，即是公差为的等差数列.‎ ‎(III)因为，所以，.故对任意.‎ 假设中存在大于2的项.‎ 设为满足的最小正整数，则，并且对任意，.‎ 又因为，所以，且.‎ 于是，.‎ 故,与矛盾.‎ 所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1或2.‎ 因此对任意，，所以. 故.‎ 因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为1. 。‎ ‎ ‎ 8‎