- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习几何问题的转换教案(全国通用)
微专题75 几何问题的转换 一、基础知识: 在圆锥曲线问题中,经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化,合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用,极大的简化运算的复杂程度,在本节中,将列举常见的一些几何条件的转化。 1、在几何问题的转化中,向量是一个重要的桥梁:一方面,几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量;另一方面,向量在坐标系中能够坐标化,从而将几何图形的要素转化为坐标的运算,与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化: (1)角度问题: ① 若与直线倾斜角有关,则可以考虑转化为斜率 ② 若需要判断角是锐角还是钝角,则可将此角作为向量的夹角,从而利用向量数量积的符号进行判定 (2)点与圆的位置关系 ① 可以利用圆的定义,转化为点到圆心距离与半径的联系,但需要解出圆的方程,在有些题目中计算量较大 ② 若给出圆的一条直径,则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定:若点在圆内,为钝角(再转为向量:;若点在圆上,则为直角();若点在圆外,则为锐角() (3)三点共线问题 ① 通过斜率:任取两点求出斜率,若斜率相等,则三点共线 ② 通过向量:任取两点确定向量,若向量共线,则三点共线 (4)直线的平行垂直关系:可转化为对应向量的平行与垂直问题,从而转为坐标运算: ,则共线; (5)平行(共线)线段的比例问题:可转化为向量的数乘关系 (6)平行(共线)线段的乘积问题:可将线段变为向量,从而转化为向量数量积问题(注意向量的方向是同向还是反向) 3、常见几何图形问题的转化 (1)三角形的“重心”:设不共线的三点,则的重心 (2)三角形的“垂心”:伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直,从而可转化为向量数量积为零 (3)三角形的“内心”:伴随着角平分线,由角平分线性质可知(如图): 在的角平分线上 (4)是以为邻边的平行四边形的顶点 (5)是以为邻边的菱形的顶点:在垂直平分线上 (6)共线线段长度的乘积:若共线,则线段的乘积可转化为向量的数量积,从而简化运算,(要注意向量的夹角)例如:, 二、典型例题: 例1:如图:分别是椭圆的左右顶点,为其右焦点,是的等差中项,是的等比中项 (1)求椭圆的方程 (2)已知是椭圆上异于的动点,直线过点且垂直于轴,若过作直线,并交直线于点。证明:三点共线 解:(1)依题意可得: 是的等差中项 是的等比中项 椭圆方程为: (2)由(1)可得: 设,设 ,联立直线与椭圆方程可得: 另一方面,因为 ,联立方程: 三点共线 例2:已知椭圆的右焦点为,为上顶点,为坐标原点,若△的面积为,且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在直线交椭圆于,两点, 且使点为△的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1) 椭圆方程为: (2)设,由(1)可得: 为△的垂心 设 由为△的垂心可得: ① 因为在直线上 ,代入①可得: 即 ② 考虑联立方程: 得. ,.代入②可得: 解得:或 当时,△不存在,故舍去 当时,所求直线存在,直线的方程为 小炼有话说:在高中阶段涉及到三角形垂心的性质,为垂心与三角形顶点的连线垂直底边,所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件,在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系) 例3:如图,椭圆的一个焦点是 ,为坐标原点. (1)若 椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (2)设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点,若直线绕点任意转动,恒有, 求的取值范围. 解:(1)由图可得: 由正三角形性质可得: 椭圆方程为: (2)设, 为钝角 联立直线与椭圆方程:,整理可得: 恒成立 即恒成立 解得: 的取值范围是 例4:设分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为 (1)求椭圆的方程; (2)设为直线上不同于点的任意一点, 若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明:点在以为直径的圆内 解:(1)依题意可得,且到 右焦点距离的最小值为 可解得: 椭圆方程为 (2)思路:若要证在以为直径的圆内,只需证明为钝角,即为锐角,从而只需证明,因为坐标可求,所以只要设出直线(斜率为) ,联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标,从而可用表示。即可判断的符号,进而完成证明 解:由(1)可得,设直线的斜率分别为, ,则 联立与椭圆方程可得: ,消去可得: ,即 设,因为在直线上,所以,即 为锐角, 为钝角 在以为直径的圆内 例5:如图所示,已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,与椭圆的交点为,是否存在直线使得?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由 解:依题意可知抛物线焦点,设 ,不妨设 则 设 考虑联立直线与抛物线方程: ,消去可得: ① 联立直线与椭圆方程:,整理可得: ② 由①②可得: ,解得: 所以存在满足条件的直线,其方程为: 例6:在平面直角坐标系中,已知抛物线的准线方程为,过点作抛物线的切线,切点为(异于点),直线过点与抛物线交于两点,与直线交于点 (1)求抛物线的方程 (2)试问的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由 解:(1)由准线方程可得: 抛物线方程: (2)设切点,抛物线为 切线斜率为 切线方程为:,代入及 可得:,解得:(舍)或 设 共线且在轴上 联立和抛物线方程:,整理可得: 再联立直线方程: 例7:在中,的坐标分别是,点是的重心,轴上一点满足∥,且 (1)求的顶点的轨迹的方程 (2)直线与轨迹相交于两点,若在轨迹上存在点,使得四边形为平行四边形(其中为坐标原点),求的取值范围 解:(1)设 由是的重心可得: 由轴上一点满足平行关系,可得 由可得: 化简可得: 的轨迹的方程为: (2) 四边形为平行四边形 设 在椭圆上 ① 因为在椭圆上,所以,代入①可得: ② 联立方程可得: 代入②可得: 有两不等实根可得: ,即,代入 另一方面: 或 例8:已知椭圆的离心率为,直线过点,且与椭圆相切于点 (1)求椭圆的方程 (2)是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由 解(1) 椭圆方程化为: 过 设直线 联立直线与椭圆方程:消去可得: 整理可得: 与椭圆相切于 椭圆方程为:,且可解得 (2)思路:设直线为,,由(1)可得:,再由可知,若要求得(或证明不存在满足条件的),则可通过等式列出关于的方程。对于,尽管可以用两点间距离公式表示出,但运算较为复杂。观察图形特点可知共线,从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向,所以。写出 的坐标即可进行坐标运算,然后再联立与椭圆方程,运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程,求解即可 解:由题意可知直线斜率存在,所以设直线 由(1)可得: 共线且同向 联立直线与椭圆方程: 消去并整理可得: ,代入,可得: 可解得:,另一方面, 若方程有两不等实根 则 解得: 符合题意 直线的方程为:,即: 或 例9:设椭圆的左,右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴与点 ,且 (1)求椭圆的离心率 (2)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程 (3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由 解:(1)依题意设 由可得: (2)由(1)可得: 的外接圆的直径为,半径设为 ,圆心 由圆与直线相切可得: 解得: 椭圆方程为 (3)由(2)得:设直线 设,若为邻边的平行四边形是菱形 则为垂直平分线上的点 设中点 的中垂线方程为:,即 代入可得: 联立方程: 所以存在满足题意的,且的取值范围是 例10:已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为 ,与抛物线的交点为,且 (1)求抛物线的方程 (2)过的直线与抛物线相交于两点,若垂直平分线与相交于两点,且四点在同一个圆上,求的方程 解:(1)设,可的 且 解得 抛物线 (2)由(1)可得 可设直线 联立方程 设,则有 的中点 且 由直线可得的斜率为 设 整理可得: 与联立消去可得: 设 的中点 ,因为共圆, 所以 整理后可得: 的方程为:或查看更多