人教版高三数学总复习课时作业12

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人教版高三数学总复习课时作业12

课时作业12 函数模型及其应用 一、选择题 ‎1.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是(  )‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎15‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎27‎ A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析:由表中数据知x,y满足关系y=13+2(x-3).故为一次函数模型.‎ 答案:A ‎2.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每个定价5元,该店制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一个羽毛球;②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球,两种方法中,更省钱的一种是(  )‎ A.不能确定 B.①②同样省钱 C.②省钱 D.①省钱 解析:方法①用款为4×20+26×5=80+130=210(元)‎ 方法②用款为(4×20+30×5)×92%=211.6(元)‎ 因为210<211.6,故方法①省钱.‎ 答案:D ‎3.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s2‎ 的加速度匀加速开走,那么(  )‎ A.人可在7 s内追上汽车 B.人可在10 s内追上汽车 C.人追不上汽车,其间距最少为5 m D.人追不上汽车,其间距最少为7 m 解析:设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7.‎ 答案:D ‎4.(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )‎ A. B. C. D.-1‎ 解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=-1,故选D.‎ 答案:D ‎5.如图,在四边形ABCD中,动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止.在这个过程中,△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是(  )‎ 解析:根据动点的移动知,P点在AB上移动时,△APD的面积S是在增加,排除选项C,P点在BC上移动时,△APD的面积S是不变化的,排除选项A,因为CD>AB,点P是匀速前进,所以在CD上移动的时间比在AB上移动所用的时间多,所以排除选项D,选B.‎ 答案:B ‎6.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2‎ ‎(太贝克/年),则M(60)=(  )‎ A.5太贝克 B.75ln 2太贝克 C.150ln 2太贝克 D.150太贝克 解析:由题意M′(t)=M02ln2,M′(30)=M02-1×ln2=-10ln2,∴M0=600,∴M(60)=600×2-2=150.故选D.‎ 答案:D 二、填空题 ‎7.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是________元.‎ 解析:设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.‎ 答案:108‎ ‎8.已知某驾驶员喝了m升酒后,血液中酒精的含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过________小时后才能开车.(精确到1小时)‎ 解析:驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5-1=0.2,要使酒精含量≤0.02毫克/毫升,则x≤0.02,∴x≥log330=1+log310>1+log39=3,故至少要4个小时后才能开车.‎ 答案:4‎ ‎9.汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费用+年均维修费),设某种汽车的购车的总费用为50 000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6 000元;前x年的总维修费y满足y=ax2+bx,已知第一年的总维修费为1 000元,前两年的总维修费为3 000元,则这种汽车的最佳使用年限为________年.‎ 解析:由题意得,‎ 解得:a=500,b=500,∴y=500x2+500x.‎ 设年均消耗费用为S,则 S=+6 000‎ ‎=+500x+500+6 000≥2×5 000+500+6 000‎ ‎=16 500(元),‎ 当且仅当=500x,‎ 即x=10时取“=”.‎ 答案:10‎ 三、解答题 ‎10.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=2(1-kt)(x-b)2,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.‎ ‎(1)试确定k,b的值.‎ ‎(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.‎ 解:(1)由已知,‎ ‎⇒解得b=5,k=1.‎ ‎(2)当p=q时,2(1-t)(x-5)2=2-x,‎ 所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+ ‎=1+.‎ 而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,‎ 所以当x=4时,f(x)有最小值,‎ 故当x=4时,关税税率的最大值为500%.‎ ‎11.某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏损数额国家将给予补偿.‎ ‎(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿数额的范围是多少?‎ ‎(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?‎ 解:(1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则 S=200x- ‎=-x2+400x-80 000=-(x-400)2,‎ ‎∴当x∈[200,300]时,S<0,‎ 因此该项目不会获利.‎ 当x=300时,S取得最大值-5 000,当x=200时,S取得最小值-20 000.‎ ‎∴国家每月补偿数额的范围是[5 000,20 000].‎ ‎(2)由题意可知,二氧化碳的每吨处理成本为 = ‎①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5 040=(x-120)2+240,∴当x=120时,取得最小值240;‎ ‎②当x∈[144,500)时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.‎ ‎∵200<240,∴当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.‎ ‎1.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数S=f(t ‎)的图象大致是(  )‎ 解析:f(t)增长的速度先快后慢,故选C.‎ 答案:C ‎2.(2014·陕西卷)如上图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(  )‎ A.y=x3-x B.y=x3-x C.y=x3-x D.y=-x3+x 解析:根据函数图象的特点,过点(0,0),关于原点对称,‎ 故可设函数y=ax3+cx,‎ 又函数在(-5,2)处的切线平行于x轴,‎ ‎∴y′=3ax2+c,即3a×25+c=0,‎ ‎∴c=-75a,观察选项中的系数关系,可知选A.‎ 答案:A ‎3.某商场2014年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:‎ ‎①f(x)=p·qx(q>0,q≠1);‎ ‎②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1);‎ ‎③f(x)=x2+px+q.‎ 能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号),若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=________.‎ 解析:因为①②中函数要么单调递增,要么单调递减,不满足题意,③为二次函数且开口向上,即f(x)先减后增,满足题意,所以选③.‎ 由f(1)=10,f(3)=2,得1+p+q=10,9+3p+q=2,解得p=-8,q=17.‎ 所以f(x)=x2-8x+17.‎ 答案:③ x2-8x+17‎ ‎4.某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法,具体方法:每户每月用水量不超过4吨的每吨2元;超过4吨而不超过6吨的,超出4吨的部分每吨4元;超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元.‎ ‎(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系;‎ ‎(2)该地一家庭记录了过去12个月的月用水量(x∈N*)如下表:‎ 月用水量x(吨)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元);‎ ‎(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:‎ 月用水量x(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 据此估计该地“节约用水家庭”的比例.‎ 解:(1)y关于x的函数关系式为y= ‎(2)由(1)知:当x=3时,y=6;‎ 当x=4时,y=8;当x=5时,y=12;‎ 当x=6时,y=16;当x=7时,y=22.‎ 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 (6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元).‎ ‎(3)由(1)和题意知:当y≤12时,x≤5,‎ 所以“节约用水家庭”的频率为=77%,‎ 据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.‎
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