2018年高考真题——理科数学(天津卷)原卷版

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2018年高考真题——理科数学(天津卷)原卷版

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷 时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 . 如果事件 A,B 相互独立,那么 . 棱柱的体积公式 ,其中 表示棱柱的底面面积, 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 ,其中 表示棱锥的底面面积, 表示棱锥的高. 一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为 R,集合 , ,则 (A) (B) (C) (D) (2)设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  ( ) ( ) ( )P AB P A P B V Sh S h 1 3V Sh S h { 0 2}A x x   { 1}B x x  ( ) RIA Bð { 0 1}x x  { 0 1}x x  { 1 2}x x  { 0 2}x x  5, 2 4, 1, 0, x y x y x y y          3 5z x y  (3)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入 N 的值为 20,则输出 T 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4)设 ,则“ ”是“ ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 , , ,则 a,b,c 的大小关系为 (A) (B) (C) (D) (6)将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数 (A)在区间 上单调递增 (B)在区间 上单调递减 xR 1 1| |2 2x   3 1x  2log ea ln 2b  1 2 1log 3c  a b c  b a c  c b a  c a b  sin(2 )5y x   10  3 5[ , ]4 4   3[ , ]4   (C)在区间 上单调递增 (D)在区间 上单调递减 (7)已知双曲线 的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点. 设 A,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ,且 ,则双曲线的方程为 (A) (B) (C) (D) (8)如图,在平面四边形 ABCD 中, , , , . 若点 E 为边 CD 上的动点,则 的最小值为 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题,共 110 分。 二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) i 是虚数单位,复数 . (10) 在 的展开式中, 的系数为 . 5 3[ , ]4 2   3[ ,2 ]2   2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    1d 2d 1 2 6d d  2 2 14 12 x y  2 2 112 4 x y  2 2 13 9 x y  2 2 19 3 x y  AB BC AD CD 120BAD   1AB AD   uuur uur AE BE 21 16 3 2 25 16 3 6 7i 1 2i   51( ) 2 x x  2x (11) 已知正方体 的棱长为 1,除面 外,该正方体其余各面的中心分别为点 E,F, G,H,M(如图),则四棱锥 的体积为 . (12)已知圆 的圆心为 C,直线 ( 为参数)与该圆相交于 A,B 两点,则 的面积为 . (13)已知 ,且 ,则 的最小值为 . (14)已知 ,函数 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解, 则 的取值范围是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 在 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 . (I)求角 B 的大小;学科*网 (II)设 a=2,c=3,求 b 和 的值. (16)(本小题满分 13 分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人, 进行睡眠时间的调查. (I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? 1 1 1 1ABCD A B C D ABCD M EFGH 2 2 2 0x y x   21 ,2 23 2        x t y t t ABC△ ,a bR 3 6 0a b   12 8 a b 0a  2 2 2 , 0,( ) 2 2 , 0. x ax a xf x x ax a x         x ( )f x ax a ABC△ sin cos( )6b A a B   sin(2 )A B (II)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检 查. (i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (ii)设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生 的概率. (17)(本小题满分 13 分) 如 图 , 且 AD=2BC , , 且 EG=AD , 且 CD=2FG , ,DA=DC=DG=2. (I)若 M 为 CF 的中点,N 为 EG 的中点,求证: ; (II)求二面角 的正弦值;学.科网 (III)若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°,求线段 DP 的长. (18)(本小题满分 13 分) 设 是 等 比 数 列 , 公 比 大 于 0 , 其 前 n 项 和 为 , 是 等 差 数 列 . 已 知 , , , . (I)求 和 的通项公式; (II)设数列 的前 n 项和为 , (i)求 ; (ii)证明 . (19)(本小题满分 14 分) AD BC∥ AD CD EG AD∥ CD FG∥ DG ABCD 平面 MN CDE∥平面 E BC F  { }na ( )nS n N { }nb 1 1a  3 2 2a a  4 3 5a b b  5 4 62a b b  { }na { }nb { }nS ( )nT n N nT 2 2 1 ( ) 2 2( )( 1)( 2) 2 nn k k k k T b b nk k n          N 设椭圆 (a>b>0) 的左焦点为 F ,上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ,点 A 的坐标为 ,且 . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 l: 与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 (O 为原点) ,求 k 的值. (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 , ,其中 a>1. (I)求函数 的单调区间; (II)若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行,证明 ; (III)证明当 时,存在直线 l,使 l 是曲线 的切线,也是曲线 的切线. 2 2 2 2 1x x a b  5 3 ( ,0)b 6 2FB AB  ( 0)y kx k  5 2 sin4 AQ AOQPQ   ( ) xf x a ( ) logag x x ( ) ( ) lnh x f x x a  ( )y f x 1 1( , ( ))x f x ( )y g x 2 2( , ( ))x g x 1 2 2ln ln( ) ln ax g x a   1 eea  ( )y f x ( )y g x 参考答案: 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1)B (2)C (3)B (4)A (5)D (6)A (7)C (8)A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 30 分. (9)4–i (10) (11) (12) (13) (14) 三、解答题 (15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式, 以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分 13 分. (Ⅰ)解:在△ABC 中,由正弦定理 ,可得 ,又由 , 得 ,即 ,可得 .又因为 ,可得 B= . (Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B= ,有 ,故 b= . 由 ,可得 .因为 a= ,于是 sin= . 所以,二面角 E–BC–F 的正弦值为 . ( Ⅲ ) 解 : 设 线 段 DP 的 长 为 h ( h ∈ [ 0 , 2 ] ) , 则 点 P 的 坐 标 为 ( 0 , 0 , h ) , 可 得 . 易知, =(0,2,0)为平面 ADGE 的一个法向量,故 , 由题意,可得 =sin60°= ,解得 h= ∈[0,2]. 所以线段 的长为 . (18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查等差数 列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分. (I)解:设等比数列 的公比为 q.由 可得 . 因为 ,可得 ,故 . 设等差数列 的公差为 d,由 ,可得 由 , 可得 从而 故 所以数列 的通项公式为 ,数列 的通项公式为 (II)(i)由(I),有 ,故 . (ii)证明:因为 0 0 BC BF        , , m m 0 2 0 x y z      , , 3 10 | || | 10  m n m n 10 10 10 10 ( 1 2 )BP h   , , DC 2 2cos 5 BP DC BP DC BP DC h              2 2 5h  3 2 3 3 DP 3 3 { }na 1 3 21, 2,a a a   2 2 0q q   0q  2q  12n na  { }nb 4 3 5a b b  1 3 4.b d  5 4 62a b b  13 13 16,b d  1 1, 1,b d  .nb n { }na 12n na  { }nb .nb n 1 2 2 11 2 n n nS    1 1 1 2 (1 2 )(2 1) 2 2 21 2 nn n k k n n k k T n n n              , 所以, . (19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线 的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:设椭圆的焦距为 2c,由已知知 ,又由 a2=b2+c2 ,可得 2a=3b.由已知可得, , ,由 ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为 . ( Ⅱ ) 解 : 设 点 P 的 坐 标 为 ( x1 , y1 ) , 点 Q 的 坐 标 为 ( x2 , y2 ) . 由 已 知 有 y1>y2>0 , 故 . 又 因 为 , 而 ∠ OAB= , 故 . 由 ,可得 5y1=9y2. 由 方 程 组 消 去 x, 可 得 . 易 知 直 线 AB 的 方 程 为 x+y–2=0, 由 方 程 组 消 去 x , 可 得 . 由 5y1=9y2 , 可 得 5 ( k+1 ) = , 两 边 平 方 , 整 理 得 ,解得 ,或 . 所以,k 的值为 (20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知 识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. (I)解:由已知, ,有 . 令 ,解得 x=0. 由 a>1,可知当 x 变化时, , 的变化情况如下表: 1 1 2 1 2( ) (2 2 2) 2 2 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1 k k k k k k+ kT +b b k k k k k k k k k k k k                   3 2 4 3 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( 1)( 2) 3 2 4 3 2 1 2 n n nn k k k k T b b k k n n n                     2 2 5 9 c a  FB a 2AB b 6 2FB AB  2 2 19 4 x y  1 2sinPQ AOQ y y   2 sin yAQ OAB  π 4 22AQ y 5 2 sin4 AQ AOQPQ   2 2 19 4 y kx x y    , , 1 2 6 9 4 ky k   2 0 y kx x y      , , 2 2 1 ky k  23 9 4k  256 50 11 0k k   1 2k  11 28k  1 11 2 28 或 . ( ) lnxh x a x a  ( ) ln lnxh x a a a   ( ) 0h x  ( )h x ( )h x x 0 0 + 极小值 所以函数 的单调递减区间 ,单调递增区间为 . (II)证明:由 ,可得曲线 在点 处的切线斜率为 . 由 ,可得曲线 在点 处的切线斜率为 . 因为这两条切线平行,故有 ,即 . 两边取以 a 为底的对数,得 ,所以 . (III)证明:曲线 在点 处的切线 l1: . 曲线 在点 处的切线 l2: . 要证明当 时,存在直线 l,使 l 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,只需证明 当 时,存在 , ,使得 l1 和 l2 重合.学*科网 即只需证明当 时,方程组 有解, 由①得 ,代入②,得 . ③ 因此,只需证明当 时,关于 x1 的方程③有实数解. 设函数 ,即要证明当 时,函数 存在零点. ,可知 时, ; 时, 单调递减,又 , ,故存在唯一的 x0,且 x0>0,使得 ,即 ( ,0) (0, ) ( )h x  ( )h x   ( )h x ( ,0) (0, ) ( ) lnxf x a a  ( )y f x 1 1( , ( ))x f x 1 lnxa a 1( ) lng x x a   ( )y g x 2 2( , ( ))x g x 2 1 lnx a 1 2 1ln ln xa a x a 1 2 2 (ln ) 1xx a a  2 1 2log 2log ln 0a x x a   1 2 2ln ln( ) ln ax g x a   ( )y f x 1 1( , )xx a 1 1 1ln ( )x xy a a a x x    ( )y g x 2 2( ,log )ax x 2 2 2 1log ( )lnay x x xx a    1 eea  ( )y f x ( )y g x 1 eea  1 ( , )x    2 (0, )x   1 eea  1 1 1 2 1 2 1ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a       ① ② 12 2 1 (ln )xx a a 1 1 1 1 1 2ln lnln 0ln ln x x aa x a a x a a     1 eea  1 2ln ln( ) ln ln ln x x au x a xa a x a a     1 eea  ( )y u x 2( ) 1 (ln ) xu x a xa   ( ,0)x  ( ) 0u x  (0, )x  ( )u x (0) 1 0u   2 1 (ln ) 2 1 1 0(ln ) au aa        0( ) 0u x  . 由此可得 在 上单调递增,在 上单调递减. 在 处取得极大值 . 因为 ,故 , 所以 . 下面证明存在实数 t,使得 . 由(I)可得 , 当 时, 有 , 所以存在实数 t,使得 因此,当 时,存在 ,使得 . 所以,当 时,存在直线 l,使 l 是曲线 的切线,也是曲线 的切线. 02 01 (ln ) 0xa x a  ( )u x 0( , )x 0( , )x  ( )u x 0x x 0( )u x 1 eea  ln(ln ) 1a   0 0 0 0 0 02 0 1 2ln ln 1 2ln ln 2 2ln ln( ) ln 0ln ln (ln ) ln ln x x a a au x a x a a x xa a x a a a           ( ) 0u t  1 lnxa x a  1 lnx a 2 21 2ln ln 1 2ln ln( ) (1 ln )(1 ln ) (ln ) 1ln ln ln ln a au x x a x a x a x xa a a a            ( ) 0u t  1 eea  1 ( , )x    1( ) 0u x  1 eea  ( )y f x ( )y g x
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