- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
人教A数学必修一方程的根与函数的零点时示范
第2课时 方程的根与函数的零点 复习 提出问题 ①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点,求实数m的范围. ②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点. ③已知函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点,求实数m的范围. ④已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点,求实数m的范围. 活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:①因为Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4. ②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点. ③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0. ④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1. 导入新课 思路1.(情景导入) 歌中唱到:再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达,同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的? 学生思考或讨论回答:利用函数值的符号,即f(a)f(b)<0. 思路2.(直接导入) 教师直接点出课题:这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识,总结求方程的根与函数的零点的方法,探寻其中的规律. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果函数相应的方程不易求根,其图象也不易画出,怎样讨论其零点? ②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法. 活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:①在闭区间[a,b]上,若f(a)f(b)<0,y=f(x)连续,则(a,b)内有零点. ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理. 因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为:“闭端反连(脸),开内零点.” 应用示例 思路1 例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. 活动:根据零点概念,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示: 因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得,函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出,如果不借助计 算机,怎么判断零点个数?可以利用f(a)f(b)<0,及函数单调性. 解:利用计算机作出x,f(x)的对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9450 12.0794 14.1972 由表和图3-1-1-15可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0,这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点. 图3-1-1-15 图3-1-1-16 变式训练 证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3, ∴f(1)f(10)<0. ∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点. ∵y=lgx为增函数,y=x-8是增函数, ∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数. ∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 点评:判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f(x)=3x+, (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解:(1)设g(x)=3x,h(x)=, 作出它们的图象(图3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点,即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点. 图3-1-1-17 (2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x∈(0,1). 变式训练 证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x,f(x)的对应值表: x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -7.5 -3 2 8 16 28 48 84 172 图3-1-1-18 由表和图3-1-1-18可知,f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0,这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1查看更多