2015年数学理高考课件5-1 数列的概念及简单表示法

2015年数学理高考课件5-1 数列的概念及简单表示法

第五章　数列 [ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ) ．　 2. 了解数列是自变量为正整数的一类函数． 第一节　数列的概念及简单表示法 数列的有关概念 1 ．数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 ( 通常也叫做 ) ． 一定顺序 项 首项 2 ．数列的分类 3. 数列的表示法 数列的表示方法有列表法、图象法、公式法． ____________________[ 通关方略 ]____________________ 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特征性． 1 ．下列对数列的理解有四种： ① 数列可以看成一个定义在 N ＋ ( 或它的有限子集 {1,2,3 ， … ， n }) 上的函数； ② 数列的项数是有限的； ③ 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④ 数列的通项公式是唯一的． 其中说法正确的所有序号是 ________ ． 解析： 由数列与函数的关系知 ① 对， ③ 对，由数列的分类知 ② 不对，数列的通项公式不是唯一的， ④ 不对． 答案： ①③ 数列的通项公式与递推公式 1 ．数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2 ．数列的递推公式 若一个数列 { a n } 的首项 a 1 确定，其余各项用 a n 与 a n － 1 的关系式表示如 ( a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1 ， n >1) ，则这个关系式就称为数列的递推公式． 序号 n 答案： B 答案： D 数列前 n 项和与通项的关系 S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n 4 ．数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 S n ( n ≥ 1) ，则 a 6 ＝ ( 　　 ) A ． 3 × 4 4 B ． 3 × 4 4 ＋ 1 C ． 4 5 D ． 4 5 ＋ 1 解析： a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 3 S 1 ＝ 3 ， a 3 ＝ 3 S 2 ＝ 12 ＝ 3 × 4 1 ， a 4 ＝ 3 S 3 ＝ 48 ＝ 3 × 4 2 ， a 5 ＝ 3 S 4 ＝ 3 × 4 3 ， a 6 ＝ 3 S 5 ＝ 3 × 4 4 . 答案： A 由数列的前几项求数列的通项公式 [ 答案 ] 　 C 反思总结 1 ． 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求． 2 ．注意由前几项写数列的通项，通项公式不唯一． 变式训练 1 ．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图： 他们研究过图中的 1,5,12,22 ， … ，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律继续下去，第 n 个五角形数 a n ＝ ________. 由递推关系求通项公式 [ 答案 ] 　 (1) n 2 ＋ 1 　 (2)5 n 答案： C 利用 a n 与 S n 关系求通项公式 [ 答案 ] 　 ( － 2) n － 1 反思总结 已知 { a n } 的前 n 项和 S n ，求 a n 时应注意以下二点 (1) 应重视分类讨论的应用，分 n ＝ 1 和 n ≥ 2 两种情况讨论； 特别注意 a n ＝ S n － S n － 1 中需 n ≥ 2. (2) 由 S n － S n － 1 ＝ a n 推得的 a n ，当 n ＝ 1 时， a 1 也适合 “ a n 式 ” ，则需统一 “ 合写 ” ． 变式训练 3 ．若数列 { a n } 满足 a 1 a 2 a 3 … a n ＝ n 2 ＋ 3 n ＋ 2 ，则数列 { a n } 的通项公式为 ________ ． —— 构造法求数列通项问题 递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般先对递推公式变形然后转化为常见的等差、等比数列求其通项，构造新数列求通项是命题热点，常见的类型有： (1) 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q 或 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q n . ( 其中 p 、 q 均为常数 ) 或 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ a n ＋ b 可构造等比数列求解． a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q 型 【 典例 1】 　已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 3 ，求 a n . 由题悟道 将 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q 化为 a n ＋ 1 ＋ m ＝ p ( a n ＋ m ) 构造 { a n ＋ m } 为等比数列，可求 a n . a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q n 型 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ a n ＋ b 型 【 典例 3】 　设数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 4 ， a n ＝ 3 a n － 1 ＋ 2 n － 1( n ≥ 2) ，求 a n . 由题悟道 这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令 a n ＋ 1 ＋ x ( n ＋ 1) ＋ y ＝ p ( a n ＋ xn ＋ y ) ，然后与已知递推式比较，解出 x ， y ，从而得到 { a n ＋ xn ＋ y } 是公比为 p 的等比数列． 本小节结束 请按 ESC 键返回