2015年数学理高考课件5-2 等差数列及其前n项和

2015年数学理高考课件5-2 等差数列及其前n项和

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解等差数列的概念．　 2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．　 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．　 4. 了解等差数列与一次函数的关系． 第二节　等差数列及其前 n 项和 等差数列的定义通项公式及前 n 项和公式 1 ．定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 ( n ∈ N * ， d 为常数 ) ． 第 2 项 差 a n ＋ 1 － a n ＝ d 等差中项 3 ．通项公式： a n ＝ . a 1 ＋ ( n － 1) d ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．概念中的 “ 同一个常数 ” 十分重要．如果一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同一个常数，那么这个数列就不是等差数列． 2 ．由等差数列通项公式的变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项． 解析： 根据已知， a 1 ＋ 2 d ＝ 6,3 a 1 ＋ 3 d ＝ 12 ，解得 d ＝ 2. 答案： C 2 ． (2014 年郑州模拟 ) 等差数列 { a n } 的前 7 项和等于前 2 项和，若 a 1 ＝ 1 ， a k ＋ a 4 ＝ 0 ，则 k ＝ ________. 答案： 6 等差数列的性质 数列 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项和，则 (1) 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 ， 特别地，若 m ＋ n ＝ 2 p ，则 a m ＋ a n ＝ 2 a p ； (2) a m ， a m ＋ k ， a m ＋ 2 k ， a m ＋ 3 k ， … 仍是等差数列，公差为 ； (3) 数列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 也是等差数列． a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q kd ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．等差数列 { a n } 中，若 m ＝ p ＋ q ，则 a m ＝ a p ＋ a q ，不一定成立，只有当 a 1 ＝ d 时才成立． 2 ．运算性质求解基本运算，可减少运算量、但要注意判断项数之间的关系． 3 ．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 4 ＋ 3 a 8 ＋ a 12 ＝ 120 ，则 2 a 11 － a 14 ＋ S 15 ＝ ( 　　 ) A ． 384 B ． 382 C ． 380 D ． 352 答案： A 4 ． (2014 年石家庄模拟 ) 已知等差数列 { a n } 满足 a 2 ＝ 3 ， S n － S n － 3 ＝ 51( n >3) ， S n ＝ 100 ，则 n 的值为 ( 　　 ) A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11 答案： C 等差数列的判定 反思总结 等差数列的判定方法 (1) 定义法：对于 n ≥ 2 的任意自然数，验证 a n － a n － 1 为同一常数； (2) 等差中项法：验证 2 a n － 1 ＝ a n ＋ a n － 2 ( n ≥ 3 ， n ∈ N * ) 成立； (3) 通项公式法：验证 a n ＝ pn ＋ q ； (4) 前 n 项和公式法：验证 S n ＝ An 2 ＋ Bn . 注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 变式训练 1 ．已知数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ pn 2 ＋ qn ( p 、 q ∈ R ，且 p 、 q 为常数 ) ． (1) 当 p 和 q 满足什么条件时，数列 { a n } 是等差数列； (2) 求证：对任意实数 p 和 q ，数列 { a n ＋ 1 － a n } 是等差数列． 解析： (1) a n ＋ 1 － a n ＝ [ p ( n ＋ 1) 2 ＋ q ( n ＋ 1)] － ( pn 2 ＋ qn ) ＝ 2 pn ＋ p ＋ q ， 要使 { a n } 是等差数列，则 2 pn ＋ p ＋ q 应是一个与 n 无关的常数，所以只有 2 p ＝ 0 ，即 p ＝ 0. 故当 p ＝ 0 ， q ∈ R 时，数列 { a n } 是等差数列． (2) 证明： ∵ a n ＋ 1 － a n ＝ 2 pn ＋ p ＋ q ， ∴ a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 2 p ( n ＋ 1) ＋ p ＋ q ， ∴ ( a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ) － ( a n ＋ 1 － a n ) ＝ 2 p 为一个常数． ∴ { a n ＋ 1 － a n } 是等差数列． 等差数列的基本运算 【 例 2】 　 (1)(2013 年高考全国新课标卷 Ⅰ ) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S m － 1 ＝－ 2 ， S m ＝ 0 ， S m ＋ 1 ＝ 3 ，则 m ＝ ( 　　 ) A ． 3 　　　 B ． 4 　　　　 C ． 5 　　　　 D ． 6 (2) (2014 年山西四校第一次联考 ) 在等差数列 { a n } 中， a 2 ＝ 2 ， a 3 ＝ 4 ，则 a 10 ＝ ( 　　 ) A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18 [ 答案 ] 　 (1)C 　 (2)D 答案： C 等差数列的基本性质 [ 答案 ] 　 (1)C 　 (2)A 变式训练 3 ． (2014 年无锡模拟 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝ 10 ， S 20 ＝ 30 ，则 S 30 ＝ ________. 解析： ∵ S 10 ， S 20 － S 10 ， S 30 － S 20 成等差数列， ∴ 2( S 20 － S 10 ) ＝ S 10 ＋ S 30 － S 20 . ∴ 40 ＝ 10 ＋ S 30 － 30. ∴ S 30 ＝ 60. 答案： 60 —— 等差数列的前 n 项和最值问题 与等差数列前 n 项和有关的最值问题是命题的热点；主要命题角度有： (1) 前 n 项和的最大值； (2) 前 n 项和的最小值； (3) 与前 n 项和有关的最值问题． 等差数列前 n 项和最大值问题 【 典例 1】 　已知数列 { a n } 是等差数列， a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 105 ， a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ＝ 99 ， { a n } 的前 n 项和为 S n ，则使得 S n 达到最大的 n 是 ( 　　 ) A ． 18 　　　　 B ． 19 　　　　 C ． 20 　　　　 D ． 21 [ 解析 ] 　 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 105 ⇒ a 3 ＝ 35 ， a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ＝ 99 ⇒ a 4 ＝ 33 ，则 { a n } 的公差 d ＝ 33 － 35 ＝－ 2 ， a 1 ＝ a 3 － 2 d ＝ 39 ， S n ＝－ n 2 ＋ 40 n ，因此当 S n 取得最大值时， n ＝ 20. [ 答案 ] 　 C 等差数列的前 n 项和最小值问题 【 典例 2】 　在首项为负数的等差数列 { a n } 中，若 a 10 ＋ a 11 ＋ a 12 ＝ 0 ，则当前 n 项和 S n 取最小值时， n 等于 ( 　　 ) A ． 10 B ． 10 或 11 C ． 11 D ． 9 或 10 [ 答案 ] 　 B 答案： 11 本小节结束 请按 ESC 键返回