【数学】2020届一轮复习(理)通用版12-3算法与程序框图、复数学案

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【数学】2020届一轮复习(理)通用版12-3算法与程序框图、复数学案

第三节 算法与程序框图、复数 ‎[考纲要求]‎ ‎1.了解算法的含义,了解算法的思想.‎ ‎2.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环.‎ ‎3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.‎ ‎4.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.‎ ‎5.了解复数的代数表示法及其几何意义.‎ ‎6.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.‎ ‎7.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.   ‎ 突破点一 算法与程序框图 ‎1.算法 ‎(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.‎ ‎(2)应用:算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.‎ ‎2.程序框图 程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.‎ ‎3.三种基本逻辑结构 名称 定义 程序框图 顺序结构 由若干个依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的基本结构 条件结构 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构 循环结构 从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,反复执行的步骤称为循环体 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)算法只能解决一个问题,不能重复使用.(  )‎ ‎(2)算法可以无限操作下去.(  )‎ ‎(3)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件分支结构和循环结构.(  )‎ ‎(4)条件分支结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.(  )‎ ‎(5)▱是赋值框,有计算功能.(  )‎ ‎(6)循环结构有两个出口:一个维持循环操作,重复执行循环体;另一个是结束循环操作,离开循环体.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×‎ 二、填空题 ‎1.(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的s值为________.‎ 答案: ‎2.执行如图所示的程序框图,则输出的S=________.‎ 答案: ‎3.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是___________________________.‎ 答案:求首项为1,公差为4的等差数列的前1 009项的和 考法一 程序框图的输入、输出问题 ‎ ‎[例1] (1)(2018·河南郑州一中月考)执行如图所示的程序框图,输出的S的值为(  )‎ A.-        B.0‎ C. D. ‎(2)(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图,如果输出的k的值为3,则输入的a的值可以是(  )‎ A.20 B.21‎ C.22 D.23‎ ‎[解析] (1)依题意,数列的项以6为周期重复出现,且前6项和等于0,因为2 019=6×336+3,所以数列的前2 019项和等于336×0+sin+sin+sin π=,执行题中的程序框图,输出S的值等于数列的前2 019项和,S=,故选D.‎ ‎(2)根据程序框图可知,若输出的k=3,则此时程序框图中的循环结构执行了3次,执行第1次时,S=2×0+3=3,执行第2次时,S=2×3+3=9,执行第3次时,S=2×9+3=21,因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a<21,故选A.‎ ‎[答案] (1)D (2)A ‎[方法技巧]‎ ‎1.程序框图输入、输出问题的解题思路 ‎(1)要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构.‎ ‎(2)要识别运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证.‎ ‎2.确定控制循环变量的思路 结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.  ‎ 考法二 程序框图的补全问题 ‎ ‎[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入(  )‎ A.i=i+1 B.i=i+2‎ C.i=i+3 D.i=i+4‎ ‎(2)(2019·德阳联考)执行如图所示的程序框图,若输入m=1,n=3,输出的x ‎=1.75,则空白判断框内应填的条件为(  )‎ A.|m-n|<1? B.|m-n|<0.5?‎ C.|m-n|<0.2? D.|m-n|<0.1?‎ ‎[解析] (1)由题意可将S变形为S=-,则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.‎ ‎(2)输入m=1,n=3.‎ 第一次执行,x=2,22-3>0,n=2,返回;‎ 第二次执行,x=,2-3<0,m=,返回;‎ 第三次执行,x==,2-3>0,n=.‎ 输出x=1.75,故第三次执行后应满足判断框,此时m-n=-=-,故选B.‎ ‎[答案] (1)B (2)B ‎[方法技巧]‎ 程序框图补全问题的求解方法 ‎(1)先假设参数的判断条件满足或不满足;‎ ‎(2)运行循环结构,一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止;‎ ‎(3)根据此时各个变量的值,补全程序框图.  ‎ ‎1.执行如图所示的程序框图,则输出的n等于(  )‎ A.1‎ B.2‎ C.3‎ D.4‎ 解析:选C 依据流程图可知,程序运行如下:‎ 首先n=0,x=,‎ 第一次循环:‎ a=sin x=sin ≠,n=1,x=π;‎ 第二次循环:a=sin x=sin π≠,n=2,x=π-=;‎ 第三次循环:a=sin x=sin ≠,‎ n=3,x=-==;‎ 第四次循环:a=sin x=sin =,‎ 此时跳出循环,输出n=3.‎ 故选C.‎ ‎2.执行如图所示的程序框图,若输出S的值为-20,则条件框内可填写(  )‎ A.i>3? B.i<4?‎ C.i>4? D.i<5?‎ 解析:选D 初始值:i=1,S=10;‎ 第一次循环:S=10-21=8,i=2;‎ 第二次循环:S=8-22=4,i=3;‎ 第三次循环:S=4-23=-4,i=4;‎ 第四次循环:S=-4-24=-20,i=5.‎ 因为输出S的值为-20,所以条件框内可填“i<5?”.‎ ‎3.我国古代数学著作《骨髀算经》有如下问题:“‎ 今有器中米,不知其数.前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问,米几何?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=1.5(单位:升),则输入k的值为(  )‎ A.4.5 B.6‎ C.7.5 D.9‎ 解析:选B 由程序框图知S=k---=1.5,解得k=6,故选B.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,若输出的值为21,则判断框内可填(  )‎ A.n≥5? B.n>6?‎ C.n>5? D.n<6?‎ 解析:选B 初始值:n=0,S=0;‎ 第一次循环:n=1,S=1;‎ 第二次循环:n=2,S=1+2=3;‎ 第三次循环:n=3,S=3+3=6;‎ 第四次循环:n=4,S=6+4=10;‎ 第五次循环:n=5,S=10+5=15;‎ 第六次循环:n=6,S=15+6=21;‎ 第七次循环:n=7.‎ 因为输出的值为21,所以结合选项可知判断框内可填“n>6?”,故选B.‎ 突破点二 复数 ‎1.复数的定义及分类 ‎(1)复数的定义:‎ 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.‎ ‎(2)复数的分类:‎ ‎2.复数的有关概念 复数相等 a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R)‎ 共轭复数 a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)‎ 复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,a,b∈R)‎ ‎3.复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量 ‎ ‎4.复数的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:‎ ‎(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;‎ ‎(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;‎ ‎(3)z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;‎ ‎(4)===+i(c+di≠0).‎ ‎5.复数代数运算中常用的结论 ‎(1)(1±i)2=±2i;=i;=-i;‎ ‎(2)-b+ai=i(a+bi);‎ ‎(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,‎ i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.‎ 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)方程x2+1=0没有解.(  )‎ ‎(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(  )‎ ‎(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离,也等于复数对应的向量的模.(  )‎ ‎(4)已知复数z的共轭复数=1+2i,则z的复平面内对应的点位于第三象限.(  )‎ ‎(5)复数中有复数相等的概念,因此复数可以比较大小.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×‎ 二、填空题 ‎1.已知i为虚数单位,则i+i2+i3+i4=________.‎ 答案:0‎ ‎2.复数=________.‎ 答案:i ‎3.复数z=-i(1+2i)的共轭复数为________.‎ 答案:2+i ‎4.设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于第________象限.‎ 答案:四 考法一 复数的运算及有关概念 ‎ ‎[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)i(2+3i)=(  )‎ A.3-2i         B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i ‎(2)(2019·南充一模)若复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b等于(  )‎ A.- B. C. D.2‎ ‎(3)(2019·广东七校联考)如果复数是纯虚数,那么实数m等于(  )‎ A.-1 B.0‎ C.0或1 D.0或-1‎ ‎[解析] (1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.故选D.‎ ‎(2)===-.‎ 因为该复数的实部和虚部互为相反数,‎ 因此2-2b=4+b,因此b=-.故选A.‎ ‎(3)法一:==,因为此复数为纯虚数,‎ 所以解得m=-1或0,故选D.‎ 法二:设=bi(b∈R且b≠0),则bi(1+mi)=m2+i,即-mb+bi=m2+i,‎ 所以解得m=-1或0,故选D.‎ ‎[答案] (1)D (2)A (3)D ‎[方法技巧]‎ 复数的相关概念及运算的技巧 ‎(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和实数的区别与联系,把复数问题实数化是解决复数问题的关键.‎ ‎(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.‎ ‎(3)复数代数运算的基本方法是运用运算法则,但可以通过对代数式结构特征的分析,灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程.  ‎ 考法二 复数的几何意义 ‎ ‎[例2] (1)(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎(2)(2019·南昌一模)已知z=m2-1+mi在复平面内对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-1,1) B.(-1,0)‎ C.(-∞,1) D.(0,1)‎ ‎[解析] (1)==+,其共轭复数为-,对应点位于第四象限.故选D.‎ ‎(2)因为z=m2-1+mi在复平面内对应的点是(m2-1,m),且该点在第二象限,所以解得0<m<1,所以实数m的取值范围是(0,1).故选D.‎ ‎[答案] (1)D (2)D ‎[方法技巧]‎ 复数几何意义问题的解题策略 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.  ‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)=(  )‎ A.--i        B.-+i C.--i D.-+i 解析:选D ===-+i.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅲ)(1+i)(2-i)=(  )‎ A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 解析:选D (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.‎ ‎3.已知i是虚数单位,复数z满足=i,则复数z在复平面内对应的点是(  )‎ A. B.(-1,1)‎ C. D.(1,-1)‎ 解析:选B 法一:因为=i,所以z===-1+i,‎ 所以复数z在复平面内对应的点是(-1,1),故选B.‎ 法二:因为=i,所以z===-1+i,‎ 所以复数z在复平面内对应的点是(-1,1),故选B.‎ ‎4.已知i是虚数单位,复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选D 复数===1+2i,其共轭复数为1-2i,在复平面上所对应的点为(1,-2),位于第四象限,故选D.‎ ‎[课时跟踪检测] ‎ ‎1.(2019·安徽六安第一中学模拟)设复数z=1+bi(b∈R),且z2=-3+4i,则z的共轭复数的虚部为(  )‎ A.-2           B.2i C.2 D.-2i 解析:选A 由题意得z2=(1+bi)2=1-b2+2bi=-3+4i,∴∴b=2,故z=1+2i,=1-2i,虚部为-2.故选A.‎ ‎2.(2019·陕西一模)已知复数z满足z(1-i)2=1+i(i为虚数单位),则|z|为(  )‎ A. B. C. D.1‎ 解析:选B 因为复数z满足z(1-i)2=1+i,所以z===-+i,所以|z|=,故选B.‎ ‎3.(2019·昆明质检)设复数z满足=1-i,则z=(  )‎ A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析:选C 由题意得z====-1+i.‎ ‎4.(2019·开封调研)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前300年前.如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”,执行该程序框图(图中“a MOD b”表示a除以b的余数),若输入的a,b分别为675,125,则输出的a=(  )‎ A.0 B.25‎ C.50 D.75‎ 解析:选B 初始值a=675,b=125.第一次循环c=50,a=125,b=50;第二次循环c=25,a=50,b=25;第三次循环c=0,a=25,b=0,此时不满足循环条件,退出循环,输出a的值为25,故选B.‎ ‎5.(2019·贺州联考)执行如图所示的程序框图,若输入的t=4,则输出的i=(  )‎ A.7 B.10‎ C.13 D.16‎ 解析:选D 输入t=4,i=1,S=0,S<4,i=1不是质数,S=0-1=-1,i=4,S ‎<4;i=4不是质数,S=-1-4=-5,i=7,S<4;i=7是质数,S=-5+7=2,i ‎=10,S<4;i=10不是质数,S=2-10=-8,i=13,S<4;i=13是质数,S=-8‎ ‎+13=5,i=16,S>4,退出循环,故输出的i=16.故选D.‎ ‎6.(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=(  )‎ A.0 B. C.1 D. 解析:选C ∵z=+2i=+2i=+2i=i,∴|z|=1.故选C.‎ ‎7.(2019·福州模拟)若复数z=+1为纯虚数,则实数a=(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.1 D.2‎ 解析:选A 因为复数z=+1=+1=+1-i为纯虚数,所以+1=0,且-≠0,解得a=-2.故选A.‎ ‎8.(2019·成都质检)已知复数z1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=(  )‎ A. B.5‎ C.2 D.2 解析:选A 因为复数z1=2+6i,z2=-2i,z1,z2在复平面内对应的点分别为A(2,6),B(0,-2),线段AB的中点C(1,2)对应的复数z=1+2i,则|z|==.故选A.‎ ‎9.(2019·广西五校联考)下面是关于复数z=2-i的四个命题,p1:|z|=5;p2:z2=3-4i;p3:z的共轭复数为-2+i;p4:z的虚部为-1.其中真命题为(  )‎ A.p2,p3 B.p1,p2‎ C.p2,p4 D.p3,p4‎ 解析:选C 因为z=2-i,所以|z|=≠5,则命题p1是假命题;z2=(2-i)2=3-4i,所以p2是真命题;易知z的共轭复数为2+i,所以p3是假命题;z的实部为2,虚部为-1,所以p4是真命题.故选C.‎ ‎10.(2019·甘肃模拟)某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动,茎叶图中记录了每天的销售量(单位:台),把这些数据经过如图所示的程序框图处理后,输出的S=(  )‎ A.28 B.29‎ C.196 D.203‎ 解析:选B 由程序框图可知,该程序框图输出的是销售量的平均值,结合茎叶图可知,输出的S==29,故选B.‎ ‎11.(2019·石家庄高三一模)执行如图所示的程序框图,若输出的s=25,则判断框中可填入的条件是(  )‎ A.i≤4? B.i≥4?‎ C.i≤5? D.i≥5?‎ 解析:选C 执行程序框图,i=1,s=100-5=95;i=2,s=95-10=85;i=3,s=85-15=70;i=4,s=70-20=50;i=5,s=50-25=25;i=6,退出循环.此时输出的s=25.结合选项知,选C.‎ ‎12.(2019·泉州模拟)我国古代算书《孙子算经》上有个有趣的问题“出门望九堤”:“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何?”现在我们用如图所示的程序框图来解决这个问题,如果要使输出的结果为禽的数目,则在该框图中的判断框中应该填入的条件是(  )‎ A.S>10 000? B.S<10 000?‎ C.n≥5? D.n≤6?‎ 解析:选B 根据题意,利用程序框图求禽的数目,输出结果应为S=9×9×9×9×9=59 049.循环共执行了5次,所以判断框中应填入的条件是“S<10 000?”或“n≤5?”或“n ‎<6?”.故选B.‎ ‎13.(2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选B 输入N的值为20,‎ 第一次执行条件语句,N=20,‎ i=2,=10是整数,‎ ‎∴T=0+1=1,i=3<5;‎ 第二次执行条件语句,N=20,i=3,=不是整数,∴i=4<5;‎ 第三次执行条件语句,N=20,i=4,=5是整数,‎ ‎∴T=1+1=2,i=5,此时i≥5成立,∴输出T=2.‎ ‎14.(2019·东北四校联考)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限.‎ 解析:∵z===+i,∴复数z在复平面内对应的点为,位于第一象限.‎ 答案:一 ‎15.(2019·南宁摸底)执行如图所示的程序框图,那么输出S的值是________.‎ 解析:运行框图,输入S=2,k=2 015,满足条件k<2 018,S==-1,k=2 015+1=2 016;满足条件k<2 018,S==,k=2 016+1=2 017;满足条件k<2 018,S==2,k=2 017+1=2 018,k<2 018不成立,输出S=2.‎ 答案:2‎ ‎16.(2019·广东七校联考)公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的n的值为________.‎ ‎(参考数据:sin 15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5)‎ 解析:执行框图n=6,S=≈2.598<3.10;n=12,S=3<3.10;n=24,S≈ 3.105 6≥3.10,满足条件,退出循环,故输出的n的值为24.‎ 答案:24‎ ‎17.(2019·齐齐哈尔八中期末)已知复数z=i(4-3i2 019),则复数z的共轭复数为________.‎ 解析:因为i2 019=(i4)504·i3=-i,所以z=i(4+3i)=4i+3i2=-3+4i,‎ 所以=-3-4i.‎ 答案:-3-4i ‎18.(2019·贵阳一模)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将复数、指数函数与三角函数联系起来,将指数函数的定义域扩充为复数域,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e-2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第________象限.‎ 解析:依题意得,e-2i=cos(-2)+isin(-2)=cos 2-isin 2的共轭复数的实部、虚部分别为cos 2,sin 2,又<2<π,所以cos 2<0,sin 2>0,因此e-2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限.‎ 答案:二
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