【数学】2018届一轮复习人教A版第3章第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第3章第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．有关公式的变形和逆用 ‎(1)公式T(α±β)的变形：‎ ‎①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；‎ ‎②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．‎ ‎(2)公式C2α的变形：‎ ‎①sin2α＝(1－cos 2α)；‎ ‎②cos2α＝(1＋cos 2α)．‎ ‎(3)公式的逆用：‎ ‎①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；‎ ‎②sin α±cos α＝sin.‎ ‎4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－　　　 B.　　　‎ C．－　　　 D. D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]‎ ‎3．若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. D　[∵cos 2θ＝＝.‎ 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]‎ ‎4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________．‎ ‎－2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]‎ ‎5．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.‎ 　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，‎ 可得＝，即tan(α＋β)＝.‎ 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]‎ 三角函数式的化简 ‎　(1)化简：＝________. 【导学号：51062114】‎ ‎(2)化简：.‎ ‎(1)2cos α　[原式＝＝2cos α.]‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎[规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ ‎[变式训练1]　(2017·浙江镇海中学测试卷一)已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)‎ A．－　　　　　　　 B．－ C．－ D. A　[＝＝2sin α，由tan＝，得tan α＝tan＝＝－，即3sin α＝－cos α，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝±，‎ 而－<α<0，所以sin α＝－，‎ 故＝－.]‎ 三角函数式的求值 角度1　给角求值 ‎　(1)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.‎ ‎(1)C　(2)1　[(1)原式＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)‎ ‎＝sin 50° ‎＝sin 50°× ‎＝sin 50°× ‎＝＝＝＝1.]‎ 角度2　给值求值 ‎　(1)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎(2)(2017·浙江金华十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(1)D　(2)A　[(1)∵cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝.∵α为锐角，∴cos α＝，∴sin＝×＋×＝，故选A.]‎ 角度3　给值求角 ‎　已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B. C. D. C　[∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.‎ 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，∴cos α＝，‎ ‎∴sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ ‎∴β＝.]‎ ‎[规律方法]　1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．‎ ‎2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.‎ 三角变换的简单应用 ‎　已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由已知，有 f(x)＝－ ‎＝－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.6分 ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ 且f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.14分 ‎[规律方法]　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C. D．2π ‎(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________. ‎ ‎【导学号：51062115】‎ ‎(1)B　(2)1　[(1)法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝4 ‎＝4sincos ＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.故选B.‎ ‎(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)．‎ ‎∴f(x)max＝1.]‎ ‎[思想与方法]‎ 三角恒等变换的三种变换角度 ‎(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－.‎ ‎(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“‎1”‎的代换等．‎ ‎(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎ ‎2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．‎ 课时分层训练(十九)‎ 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)‎ A.　　　　 B.　　　　‎ C.　　　　 D. A　[因为cos2＝ ‎＝＝＝＝，故选A.]‎ ‎2.等于(　　)‎ A．－ B. ‎ C. D．1‎ C　[原式＝ ‎＝＝＝.]‎ ‎3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于 ‎(　　)‎ A．5 B. ‎ C. D．2‎ B　[由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤＋2＝，故选B.]‎ ‎4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝‎ ‎(　　) 【导学号：51062116】‎ A. B. C. D. D　[由θ∈，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝＝＝，sin θ－cos θ＝＝＝，两式相加得sin θ＝.]‎ ‎5．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. D　[依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，‎ 故cos(α－β)＝＝，‎ 而cos α＝，∴sin α＝，‎ 于是sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.故β＝.]‎ 二、填空题 ‎6.________.‎ 　[＝ ‎＝＝＝.]‎ ‎7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f(x)＝4cos2x＋(sin x＋cos x)2，则函数f(x)的最小正周期为________，当x∈时，函数f(x)的值域为________. ‎ ‎【导学号：51062117】‎ π　[4＋，4＋2]　[f(x)＝7cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝1＋3(1＋cos 2x)＋sin 2x＝4＋2sin，故函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴≤sin≤1，‎ ‎∴4＋≤f(x)≤4＋2，故函数f(x)的值域为[4＋，4＋2]．]‎ ‎8．化简＋2＝________.‎ ‎－2sin 4　[＋2 ‎＝＋2 ‎＝＋2 ‎＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]‎ 三、解答题 ‎9．已知α∈，且sin ＋cos ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ ‎[解]　(1)因为sin ＋cos＝，两边同时平方，得sin α＝.又＜α＜π，所以cos α＝－.6分 ‎(2)因为＜α＜π，＜β＜π，‎ 所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.10分 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.‎ cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－×＋×＝－.14分 ‎10．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值. 【导学号：51062118】‎ ‎[解]　(1)要使f(x)有意义，则需cos x≠0，‎ ‎∴f(x)的定义域是.6分 ‎(2)f(x)＝ ‎＝＝ ‎＝2(cos x－sin x).10分 由tan α＝－，得sin α＝－cos α.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，且α是第四象限角，‎ ‎∴cos2α＝，则cos α＝，sin α＝－.‎ 故f(α)＝2(cos α－sin α)＝2＝.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．若＝－，则cos α＋sin α的值为(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. C　[∵＝ ‎＝－(sin α＋cos α)＝－，∴sin α＋cos α＝.]‎ ‎2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos＝，则sin的值是________；cos的值是________．‎ 　　[sin＝cos ‎＝cos＝cos＝；‎ cos＝－cos＝1－2·‎ cos2＝.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝2sin xsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的值域. 【导学号：51062119】‎ ‎[解]　(1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.3分 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.8分 ‎(2)当x∈时，2x－∈，‎ sin∈，12分 f(x)∈.‎ 故f(x)的值域为.15分