【数学】2020届一轮复习人教A版第十五章第7课　二项式定理学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第十五章第7课　二项式定理学案（江苏专用）

第 7 课__二项式定理____ 1. 理解二项定理展开式的特征和二项式定理展开式的性质． 2. 能运用二项式定理求某些多项式系数的和，证明一些简单的组合恒等式和证明整除性问 题. 1. 阅读：选修 23 第 30～35 页． 2. 解悟：①二项式定理；②二项展开式的通项为：Tr＋1＝Crnan－rbr；③二 项式系数的性质：对称性与增减性与最大值；④各项二项式系数之和 C0n＋ C1n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n.偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数 和． 3. 践习：在教材空白处，完成第 32 页练习第 2、3 题，第 35 页练习第 1 题. 基础诊断 1. 2－ 1 3 x 6 的展开式中的第 4 项为________． 2. 在 x－2 x 5 中第 3 项的二项式系数为________；系数为________． 3. 在 1 x ＋ 1 x3 n 的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于 1 024，则中间项的 二项式系数是________． 4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则 a1＋a2＋…＋a7 为________． 范例导航 考向 运用二项展开式中的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr 解决 问题 例 1 在 x－ 1 23 x 10 展开式中， (1) 求第 4 项的二项式系数及第 4 项的系数； (2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项． 已知数列{an}是等差数列，且 a1，a2，a3 是 1＋1 2x m 展开式的前三项的系数． (1) 求 m 的值； (2) 求 1＋1 2x m 展开式的中间项． 考向 二项展开式中二项式系数和项的系 数 性质的运用) 例 2 已知 x＋ 1 24 x n 展开式的前三项的系数成等差数列． (1) 求 x＋ 1 24 x n 展开式中所有的有理项； (2) 求 x－ 2 x2 n 展开式中系数的绝对值最大的项． 设 x－ a x 6 (a>0)的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B，若 B＝4A，求展开式中第 4 项的系数． 考向 利用二项式解决整除性问题 例 3 (1) 设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a＝________； (2) S＝C127＋C227＋…＋C 2727除以 9 的余数为________． 9191 除以 100 的余数是________． 自测反馈 1. 若 ax2＋ 1 x 5 的展开式中 x5 的系数为－80，则实数 a＝________． 2. (1－2x)5(2＋x)展开式中含 x3 的系数为________． 3. 已知(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20，则 a1＋a3＋a5＋…＋a19＝________． 4. 若二项式 3x2＋ 1 2x3 n (n∈N*)的展开式中含有常数项，则 n 的最小值为________． 1. 通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 体现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式 定理的核心． 2. 二项式系数的性质，主要是“赋值法”的运用，在具体问题中求关于系数和通常转 化为二项式中字母的特殊值． 3. 你还有哪些体悟，写下来： 第 7 课 二项式定理 基础诊断 1. －160 x 解析：第四项为 C36·23· － 1 3 x 3 ＝－160 x . 2. 10 40 解析：由题意可知第三项为 C25( x)3· －2 x 2 ，则二项式系数为 C25＝10，系数 为 C25·(－2)2＝40. 3. 462 解析：奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于所有 项二项式系数之和的一半，即1 2 ×2n＝1 024，解得 n＝11，所以中间的两项是第 6 项、第 7 项，它们的二项式系数都为 462. 4. －2 解析：令 x＝0，得 a0＝1；令 x＝1 得 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，所以 a1＋a2＋… ＋a7＝－2. 范例导航 例 1 解析：(1) 因为第 4 项的二项式系数为 C310＝120，又 T4＝C310·x 10－3 2 · － 1 23 x 3 ＝－ 15x 5 2，所以第 4 项的系数为－15. (2) Tr＋1＝Cr10·x 10－r 2 · － 1 23 x r ＝ －1 2 r Cr10·x 30－5r 6 ，当30－5r 6 ＝0，即 r＝6 时，为常数项 －1 2 6 C610＝105 32 ，它是展开式的第 7 项． 解析：(1) 展开式为 1＋1 2x m ＝1＋C1m 1 2x ＋C2m 1 2x 2 ＋…，依题意 a1＝1，a2＝1 2m，a3＝ m（m－1） 8 ，由 2a2＝a1＋a3 可得 m＝1(舍去)或 m＝8，即 m 的值为 8. (2) 由(1)可知 m＝8，那么 1＋1 2x m 展开式的中间项是第 5 项为 T5＝C48 1 2x 4 ＝35 8 x4. 例 2 解析：(1) T1＝C0n( x)n 1 24 x 0 ，第一项系数为 1，T2＝C1n( x)n－1 1 24 x 1 ，第二项系 数为 1 2n，T3＝C2n( x)n－2 1 24 x 2 ，第三项系数为 1 8n(n－1)，若前三项系数成等差数列，则有 n ＝1＋n（n－1） 8 ，则 n＝8，因此 x＋ 1 24 x 8 的展开式中，有理项有 T1＝x4，T5＝35 8 x，T9＝ 1 256x－2. (2) x－ 2 x2 8 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8(－2)r·x4－5 2r， 再由 Cr8·|(－2)r|≥Cr－18 ·|(－2)r－1|及 Cr8·|(－2)r|≥Cr＋18 ·|(－2)r＋1|得 5≤r≤6. 因此系数绝对值最大的项为 T6 和 T7，T6＝－1 792x－17 2 ，T7＝1 792x－11. 解析： x－ a x 6 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6·x6－r· － a x r ＝(－a)rCr6·x6－3 2r. 令 6－3 2r＝3，则 r＝2，所以 A＝15a2. 令 6－3 2r＝0，则 r＝4，所以 B＝15a4. 由题意得 15a4＝4×15a2，又 a>0，所以 a＝2， 此时展开式中第 4 项的系数为(－2)3C36＝－160. 例 3 (1) 12 解析：题中 512 012 数据较大，无法研究与 13 的整除问题，考虑到 512 012 ＋a＝(52－1)2 012＋a，按二项式定理展开，根据题意可得(52－1)2 012＋a＝C02 012522 012＋ C12 012522 011·(－1)1＋C22 012522 010·(－1)2＋…＋C2 0112 012521(－1)2 011＋C2 0122 012(－1)2 012＋a，除最后两项 外，其余各项都有 13 的倍数 52，故由题意可得 C2 0122 012(－1)2 012＋a＝1＋a 能被 13 整除，再 由 0≤a<13，可得 a＝12，故答案为 12. (2) 7 解析：S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋… ＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2， 因此 S 被 9 除的余数为 7. 91 解析：9191＝(1＋90)91＝1＋C19190＋C291902＋…＋C91919091，因此，9191 除以 100 的余 数就是 1＋C191×90 除以 100 的余数，为 91. 自测反馈 1. －2 解析：由题意可知 ax2＋ 1 x 5 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5·(ax2)5－r· 1 x r ＝a5－ r·Cr5·x10－2r·x－r 2 ＝a5－rCr5x10－5 2r.当 10－5 2r＝5 时，r＝2，a3C25＝10a3＝－80，则 a＝－2. 2. －120 解析：(1－2x)5＝C05＋C15(－2x)1＋…＋C55(－2x)5，则(1－2x)5(2＋x)展开式包 含 x3 的系数为 2·C35·(－2)3＋C25·(－2)2＝－120. 3. 0 解析：因为(t2－4)10 的展开式不包含 t 的奇次幂，所以 a1＝a3＝…＝a19＝0，则 a1 ＋a3＋…＋a19＝0. 4. 5 解析：该二项式的展开式通项为 Tr＋1＝Crn(3x2)n－r· 1 2x3 r ＝ 1 2 r ·3n－rCrnx2n－2r· 1 x3r ＝ 1 2 r ·3n－rCrnx2n－5r，展开式含有常数项，则令 2n－5r＝0，得 2n＝5r，所以展开式含有常数项 的 n 的最小值是 5.