甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年 高一上学期期末考试试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.过点A(－2，0)与B(－5，3)的直线的倾斜角为（ ）．‎ A. 45° B. 75° C. 135° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，而，或，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎2.圆x2+4x+y2=0的圆心和半径分别为（　　）‎ A. ，4 B. ，4 ‎ C. ，2 D. ，2‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的方程可化为，可知圆心为，半径为2.‎ 故答案为C.‎ ‎3.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，，可得.‎ ‎4.平行直线与的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为两平行直线与间的距离是，‎ 即，‎ 所以两平行直线与间的距离是．‎ 故选C．‎ ‎5.两圆和的位置关系是（ ）‎ A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得两圆方程为：和 则两圆圆心分别：和；半径分别为：和 则圆心距：‎ 则 两圆相交 本题正确选项：D. ‎ ‎6.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（ ）‎ A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由圆柱与圆锥的体积公式得V1：V2= 3：1，则选D．‎ ‎7.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）‎ A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】设与直线平行的直线方程为，‎ 将点代入直线方程可得，解得．‎ 则所求直线方程为．故A正确．‎ ‎8.若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为的中点与圆心连线垂直PQ，所以,‎ 所以直线的方程是,选B.‎ ‎9.圆上的点到直线距离的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的标准方程，圆心，半径为1，圆心到直线的距离，‎ 所以根据圆的几何特征，圆上的点到直线距离的最大值为.‎ 故选：B ‎10.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则 ‎②若，，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，则 其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①和② B. ②和③ ‎ C. ③和④ D. ①和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，‎ 又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；‎ 对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面是正方体下底面所在平面，‎ 则有且成立，但不能推出，故③不正确；‎ 对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有且，但是，推不出，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：A. ‎ ‎11.正六棱锥底面边长为，体积为，则侧棱与底面所成的角为（ ）．‎ A. 30° B. 45° ‎ C. 60° D. 75°‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为正六棱锥的底面边长为，所以，又体积为，所以棱锥的高，所以侧棱长为，所以侧棱与底面所成的角为．故选B．‎ ‎12.圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；‎ 故选A.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.直线与直线的交点坐标是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 解得，．‎ 故答案为：．‎ ‎14.直线3x-4y+5=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为=1，‎ ‎∴所求距离为．‎ 故答案为.‎ ‎15.已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取中点，连结EG，FG，则，为与所成的角．．‎ ‎16.当为任意实数时，直线恒过定点，则以点为圆心，半径为的圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】整理关于的表达式，关于的方程各项为0，，解得，恒过定点，以为圆心，半径为的圆为：‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17.（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；‎ ‎（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．‎ ‎【解】（1）设直线的斜率为，由题意知，，．‎ 而直线经过点，所以直线： 即x-2y+4=0．‎ 令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），‎ 则|AB|==2．‎ ‎（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得，c=3，‎ 此时直线方程为：x+y-3=0；‎ 当直线过原点时，设直线方程为：，‎ 因为直线过点，所以，解得 ，‎ 此时直线方程为：x+4y=0．‎ 综上：直线：x+4y=0或x+y-3=0．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.‎ 求证：（1）底面；‎ ‎（2）平面；‎ ‎（3）平面平面.‎ ‎【解】（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ 由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．‎ ‎（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，‎ 故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．‎ 又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．‎ ‎（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．‎ 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．‎ 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．‎ 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．‎ 由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎19.已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点. ‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.‎ ‎【解】（1）已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为，直线l的方程为y=2(x-1)，即 2x-y-2=0．‎ ‎（2）当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0.‎ 所以圆心C到直线l的距离为．‎ 因为圆的半径为3，所以，弦AB的长．‎ ‎20.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，面ABCD，‎ ‎.‎ ‎(1)求四棱锥S-ABCD体积;‎ ‎(2)求证：面 ‎(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值．‎ ‎【解】证明：（1）S梯形ABCD=（AD+BC）·AB=（+1）×1=，‎ VS-ABCD=××1= .‎ ‎（2）∵SA⊥面ABCD ∴SA⊥BC ，‎ 又AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，‎ ‎∴平面SAB⊥平面SBC .‎ ‎（3）连接AC，∵SA⊥面ABCD，‎ ‎∴∠SCA为SC与底面ABCD所成的角，‎ 在Rt△ABC中，AC==，‎ 在Rt△SAC中，tan∠SCA===.‎ ‎21.已知一个圆与轴相切，圆心在直线上，且该圆经过点A（6，1），求该圆的方程．‎ ‎【解】因为圆心在x-3y=0上，所以设圆心坐标为（3m，m）且m＞0，‎ 根据圆与y轴相切得到半径为3m，所以圆的方程为（x-3m）2+（y-m）2=9m2，‎ 把A（6，1）代入圆的方程得：（6-3m）2+（1-m）2=9m2，‎ 化简得：m2-38m+37=0，则m=1或37，‎ 所以，圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112．‎ ‎22.如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，△VAB为等边三角形，ACBC且 AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC平面VAB；‎ ‎（3）求三棱锥A-MOC的体积．‎ ‎【解】（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，∴VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，‎ 又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；‎ ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，∵O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎∴．又∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴三棱锥.‎