2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月考数学（文）试题 Word版

2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月考数学（文）试题 Word版

‎2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月考文数试卷 考试时间：2018年6月9日 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数的模为 A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题中为真命题的是 A．命题“若，则”的逆命题 ‎ B．命题“若，则”的否命题 C．命题“若，则”的逆命题 ‎ D．命题“若，则”的逆否命题 ‎3．命题“存在，使成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是 A． B． C. D．‎ ‎4．已知双曲线的一个焦点坐标为（4,0）,且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为 A． B． C. D．或 ‎5．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为 A．210 B．211.5 C．212 D．212.5‎ ‎6．如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆 上，则的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎8．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的.如图所示程序框图，若输入的值分别为8,2,0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为 A. 2.81 B. 2.82 C. 2.83 D. 2.84‎ ‎9．鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，‎ 恰好成双的概率为 A. B． C． D． ‎ ‎10．已知点,若圆上存在点,使得线段的中点也在圆上,则的取值范围是 A． B. C. D. ‎ ‎11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．已知函数,则下面对函数的描述正确的是 A． B． ‎ C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20‎ 分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）‎ ‎13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷，编号落入区间[401,720]的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 ．‎ ‎14. 设满足约束条件,则的最大值是 ．‎ ‎15．已知函数f（x）=2x+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣3）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围　　　　　　．‎ ‎16．已知点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，线段的中点为，连接交抛物线于点，若，则　　．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．某大型商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集1000位顾客的购物总额(单位元),将数据按照，‎ 分成9组,制成了如右图所示的频率分布直方图:‎ 该商场每日大约有5000名顾客,为了增加商场销售总额,近期对一次性购物不低于300元的顾客发放纪念品.‎ ‎ (1)求频率分布直方图中的值,并估计每日应准备纪念品的数量； ‎ ‎ (2)若每日按分层抽样的方法从购物总额在三组对应的顾客中抽取6名顾客，这6名顾客中再随机抽取两名超级顾客,每人奖励一个超级礼包,求获得超级礼包的两人来自不同组的概率.‎ ‎18．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；‎ ‎（2）设过定点M（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围．‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎ (1)若函数的图象在点处的切线方程为,求的值；‎ ‎ (2)当时,在区间上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点.‎ ‎ (1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；‎ ‎ (2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和，设线段，‎ 的长分别为,证明是定值.‎ ‎21．已知函数f(x)＝lnx＋x2－ax(a为常数).‎ ‎(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；‎ ‎(2)当0mlna恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎22．某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到A类工人生产能力的茎叶图（图1），B类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.‎ ‎（1）在样本中求A类工人生产能力的中位数，并估计B类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若规定生产能力在[130,150]内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取100名工人进行调查，请估计这100名工人中的各类人数，完成下面的2×2列联表.‎ 能力与培训时间列联表 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 能力不优秀 合计 能否犯错误的概率不超过1％的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关？‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中.‎ 文科数学答案 ABCAB CBDDB CB ‎ ‎ 8 4 （﹣3，1） 2‎ 解:(1)，.‎ 该商场每日应准备纪念品的数量大约为.‎ ‎(2)由直方图可知三组人数比例为,所以这三组抽取的人数分别为.记这人分别为,.所有抽取的情况，‎ ‎，共15种.‎ 其中两人来自不同组有种,所以获得超级礼包的两人来自不同组的概率为.‎ ‎18．解：（1）因为椭圆方程为，知a=2，b=1，，‎ 可得，，设P（x，y）（x＞0，y＞0），‎ 则，‎ 又，联立，解得，即为；‎ ‎（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，‎ 由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．‎ ‎，．‎ 又∠AOB为锐角，即，即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，‎ 可得k2＜4．又，即为，‎ 解得．‎ ‎19.解:(1)因为,所以,即.‎ 又因为,所以切点坐标为,因为切点在直线上,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,所以.‎ 当时, ,所以函数在上单调递增,令,‎ 此时,符合题意；‎ 当时,令,则,‎ 则函数在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎①当,即时,则函数在上单调递减,在上单调递增，,解得.‎ ‎②当,即时,函数在区间上单调递减,‎ 则函数在区间上的最小值为,解得,无解.‎ 综上，，即得取值范围是.‎ 20. 解:因为抛物线的焦点为,所以,故.‎ 所以椭圆.‎ ‎ (1)设,则 两式相减得，‎ 又的中点为,所以.所以.‎ 显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.‎ ‎ (2)椭圆右焦点.‎ 当直线的斜率不存在或者为时, .‎ 当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，‎ 设,联立方程得 消去并化简得，‎ 因为，‎ 所以，.‎ 所以 同理可得.‎ 所以为定值.‎ ‎　‎ ‎21.(1)依题意f′(x)＝＋2x－a由已知得：f′(1)＝0，∴1＋2－a＝0，∴a＝3‎ ‎(2)当00，而x>0，即f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(3)当a∈(1,2)时，由(2)知，f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝1－a.‎ 故问题等价于：对任意的a∈(1,2)，不等式1－a>mlna恒成立．即m<恒成立 记g(a)＝，(1

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