2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-3 二次函数与幂函数（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-3 二次函数与幂函数（理科）

第三节 二次函数与幂函数 题型19 二次函数图像及应用——暂无 题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 ‎1.(2017浙江理5)若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）.‎ A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 ‎ C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 ‎1.解析 函数的图像是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线. ①当或，即，或时，函数在区间上单调，此时，故的值与有关，与无关； ②当，即时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时，故的值与有关，与无关； ③当，即时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，且)，此时，故的值与有关，与无关. 综上可得，的值与有关，与无关.故选B．‎ 题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 ‎1.（2015陕西理12）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）．‎ A．是的零点 B．1是的极值点 ‎ C．3是的极值 D. 点在曲线上 ‎1.解析 观察四个选项会发现B,C这两个选项是“配套”的，所以以此为切入点，假设B,C正确，即为的顶点.由于抛物线开口向下时，D肯定错；抛物线开口向上时，A肯定错. 由此说明A与D中必有一个错误.假设A正确，‎ 则有，与条件为整数矛盾，说明A错误. 故选A.‎ ‎2.（2015浙江理18）已知函数,记是在区间上的最大值．‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）当满足，求的最大值.‎ ‎2. 解析（1）由，得对称轴为直线. ‎ 因为，所以，所以是上的单调函数，‎ 所以.‎ 解法一:（分类讨论） 当时，由，得，即； 当 时，由，得，即. ‎ 综上所述，当时，. ‎ 解法二（利用绝对值的性质，及最大值的含义）：‎ ‎（2）解法一 ：当时，由（Ⅰ）知，，所以对称轴.‎ 由题意知，，即.‎ 画出可行域，利用线性规划即可求得.‎ 解法二： ，‎ 所以 ，所以 .‎ 当时，，且在上的最大值为2，‎ 即，所以的最大值为3.‎ 题型22 二次函数恒成立问题 ‎1.（2014 江苏理 10）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎2.（2014 安徽理 9）若函数的最小值为，则实数的值为（ ）.‎ ‎ A.或 B.或 C. 或 D.或 ‎3.（2014 辽宁理12）已知定义在上的函数满足：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② 对所有，且，有.‎ ‎ 若对所有，，则的最小值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎4.（2014 浙江理 10）设函数，，，，‎ 记，.‎ 则（ ）. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.（2017天津理8）已知函数，设，若关于x的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.解析 解法一：易知，由不等式，得， ‎ 即，只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可.‎ 当时，（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），所以；‎ 当时，（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），‎ 所以.‎ 综上所述，得．故选A．‎ 解法二：分别作出函数和的图像，如图所示.‎ 若对于任意，恒成立，则满足 且恒成立，即，又，‎ 当且仅当时，即时取等号，所以.‎ 且，则，即.‎ 综上所述，的取值范围为.故选A.‎ ‎6.(2017浙江理17)已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 .‎ 解析 设，则，.‎ 解法一：可知的最大值为，即 或， 解得或 ，所以．则的取值范围是.‎ 解法二：如图所示，当时，成立；‎ 当时，成立；‎ 当时，成立，即.‎ 则的取值范围是.‎ 题型23 幂函数的图像与性质——暂无