2019-2020学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期第二次调研考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期第二次调研考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020 学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期第二次调 研考试数学（理）试题 一、单选题 1．命题“ ∈(0，+∞)， ”的否定为（ ） A． ∈(0，+∞)， B． ∈(0，+∞)， C． ∈(-∞，0]， D． ∈(-∞，0]， 【答案】A 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命 题的否定． 【详解】 解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“ ∈(0，+∞)， ”的否定为 “ ∈(0，+∞)， ”， 故选： ． 【点睛】 本题考查命题的否定，注意特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考 查转化能力，属于基础题． 2．若复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数代数形式的运算法则求出 ，利用共轭复数的定义即可求出 ． 【详解】 因为 ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查复数代数形式的运算法则的应用以及共轭复数概念的应用． 3．若 , 则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） 0x∃ 2 0 01 2x x+ ≤ x∀ 2 1x x+ > 2 x∀ 2 1 2x x+ ≤ x∀ 2 1 2x x+ ≤ x∀ 2 1x x+ > 2 0x∃ 2 0 01 2x x+ ≤ x∀ 2 1x x+ > 2 A 5 i 1 iz −= − z = 3 2i+ 3 2i− + 3 2i− − 3 2i− z z ( )( )5 i 1 i 6 4i 3 2i, 3 2i2 2z z − + += = = + = − k ∈R 2k > ( ) ( )2 22 2 1k x k y+ + − = A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据 ，可求得当方程表示双曲线时 的取值范围，得到必要性不成立， 从而得到结果. 【详解】 当 时， ， 则方程 表示双曲线，充分条件成立； 若方程 表示双曲线，则 ，解得： 或 必要条件不成立 综上所述：“ ”是“方程 表示双曲线”的充分而不必要条件 故选： 【点睛】 本题考查充分条件与必要条件的判断，关键是能够明确方程表示双曲线的基本要求，属 于基础题. 4．函数 与两条平行线 ， 及 轴围成的区域面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据定积分的几何意义直接求出 在区间 的定积分，即可得出答案。 【详解】 故选 B 【点睛】 本题考查定积分的几何意义，属于基础题。 5．若曲线 在点 处的切线过点 ，则函数 的单 调递增区间为（ ） 2k > ( )( )2 2 0k k+ − < k 2k > 2 0k+ > 2 0k− < ( ) ( )2 22 2 1k x k y+ + − = ( ) ( )2 22 2 1k x k y+ + − = ( )( )2 2 0k k+ − < 2k < − 2k > ∴ 2k > ( ) ( )2 22 2 1k x k y+ + − = A ( ) 1f x x = x e= 4x = x 2ln 2 1− + 2ln 2 1− ln 2− ln 2 ( )f x [ ,4]e 4 4 1 ln ln 4 1=2ln 2 1 e edx xx ∫ = = − − ( ) ( ) 21 xf x ax e −= − ( )( )2 2f, ( )3,3 ( )f x A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间。 【详解】 ， 求导 解得 ，则当 时， 。 则 的单调递增区间是 。 故选 A 【点睛】 导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率。已知两点坐标也可求斜率。本题 还考察了导数在研究函数性质中的应用。 6．函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图 象． ( )0, ∞+ ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( ),2−∞ 2( ) ( 1) xf x ax e −= − 0(2) (2 1) 2 1f a e a= − = − 2 2 2'( ) ( 1) 1 ( 1)x x xf x ae ax e ax a e− − −= + − ⋅ = + − 0= '(2) (3 1) 3 1k f a e a= − = −切 3 (2 1)= 4 2 3 13 2 ak a a − −∴ = − = −−切 1a = 2 2 2 2( ) ( 1) , '( ) 1 ( 1)x x x xf x x e f x e x e xe− − − −= − ∴ = ⋅ + − = 2 0xe − > 0x > '( ) 0f x > ( )f x (0 )+ ∞， 3 ( ) e 1 = +x xf x 【详解】 当 x<0 时，f（x） 0．排除 AC， f′（x） ，令 g(x) g′（x） ，当 x∈（0，2），g′（x）＞0，函数 g(x)是增函数， 当 x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数 g(x)是减函数，g(0)= ，g(3)=3>0， g(4)= <0， 存在 ，使得 g( )=0， 且当 x∈（0， ），g(x)>0，即 f′（x）＞0，函数 f（x）是增函数， 当 x∈（ ，+∞），g(x)<0，即 f′（x）＜0，函数 f（x）是减函数， ∴B 不正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、 特殊点以及变化趋势判断． 7．观察下列各式： ， ， ，…，则 的末四位数字 为（ ） A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 【答案】D 【解析】先求 ，寻找周期性规律，结合周期可求. 【详解】 可以看出后四位呈周期出现，且周期为 4， ，所以 的末四位数字为 8125，故选 D. 【点睛】 本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结. 8．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ， 两点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 A． B． < ( ) ( ) ( ) 3 2 2 22 3 33 ( 1) 1 1 x xx x x x x e xex e x e e e + −+ −= = + + 3 3x xe xe+ − = ( ) ( )3 1 2x x xe x e x e= − + = − 6 0> 43 e− ( )0 3,4x ∈ 0x 0x 0x 55 3125= 65 15625= 75 78125= 20195 8 95 ,5 8 95 390625,5 1953125,= = 2019 504 4 3= × + 20195 ( 7,0)F 1y x= − M N MN 2 3 − 2 2 13 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = C． D． 【答案】D 【解析】根据点差法得 ，再根据焦点坐标得 ，解方程组得 ， ，即得结果. 【详解】 设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，设 ， ，则 的中点为 ，由 且 ，得 ， ，即 ，联 立 ，解得 ， ，故所求双曲线的方程为 ．故选 D． 【点睛】 本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 9．若 与 有两个公共点，则 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得 有两个根，等价于 有两个根，令 ，对函数进行求导，判断出函数的单调性，通过 和 的图象有 两个交点即可得出 的范围. 【详解】 若 与 有两个公共点，即方程 有两个根， 等价于 ， 2 2 15 2 x y− = 2 2 12 5 x y− = 2 2 2 5 a b = 2 2 7a b+ = 2 2a = 2 5b = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 7a b+ = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN 2 5,3 3  − −   2 2 1 1 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 2 2 1x y a b − = ( )( )1 2 1 2 2 x x x x a + − = ( )( )1 2 1 2 2 y y y y b + − 2 22 3 a × − = （ ） 2 52 3 b × −（ ） 2 2 2 5 a b = 2 2 7a b+ = 2 2a = 2 5b = 2 2 12 5 x y− = xy e−= ( )0ay ax = > a 10, e      10, e      1 1,e e      1,e  +∞   x ae x − = ( )0x xa xe = ≠ ( ) x xf x e = y a= x xy e = a xy e−= ( )0ay ax = > x ae x − = ( )0x xa xe = ≠ 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减； 且当 时， ， ，当 时， 由于 和 的图象有两个交点，故 ， 故选 A. 【点睛】 本题主要考查了已知函数零点的个数求参数的范围，利用导数判断函数的单调性，构造 函数 是解题的关键，属于中档题. 10．多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，建立下图的空间 直角坐标系，已知 、 、 、 、 、 .若 为平行四边形，则点 到平面 的距离为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面 的法向量，结合 ，利用空间向量夹角余弦公式求出 与所求法向量的夹角余弦，进而 可得结果. 【详解】 ( ) x xf x e = ( ) 1 x xf x e −′ = 1x < ( ) 0f x′ > ( ) x xf x e = 1x > ( ) 0f x′ < ( ) x xf x e = x → −∞ ( )f x → −∞ ( ) 11f e = x → +∞ ( ) 0f x → y a= x xy e = 10,a e  ∈   ( ) x xf x e = ABCD 1AEC F (0,0,0)D (2,4,0)B (2,0,0)A (0,4,0)C (2,4,1)E 1(0,4,3)C 1AEC F C 1AEC F 4 11 33 4 33 4 33 33 4 33 11 1AEC F ( )1 0,0,3CC = 1 CC 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设 ， 为平行四边形， 由 得， ， ， ， 设 为平面 的法向量，显然 不垂直于平面 ， 故可设 ， ， 即 ， ， 所以 ， 又 ，设 与 的夹角为 ， 则 ， 到平面 的距离为 ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般 步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出 相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,0,0 , 2,4,0 , 2,0,0 , 0,4,0 , 2,4,1 , 0,4,3D B A C E C ( )0,0,F z 1AEC F ∴ 1AF EC=  ( ) ( )2,0, 2,0,2z− = − 2z∴ = ( ) ( ) ( )0,0,2 , 2,0,2 , 0,4,1F AF AE∴ ∴ = − =  n 1AEC F n ADF ( ), ,1n x y = 0 4 1 00 2 0 2 00 x yn AE x yn AF  × + × + =⋅ = ⇒ − × + × + =⋅ =    4 1 0 2 2 0 y x + = − + = 1 1 4 x y =∴ = − 11, ,14n  = −    ( )1 0,0,3CC = 1 CC n α 1 1 3 4 33cos 3313 1 116 CC n CC n α ⋅= = = ⋅ + +     C∴ 1AEC F 1 4 33 4 33cos 3 33 11d CC α= = × = 方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相 应的角和距离. 11．点 、 为椭圆 长轴的端点， 、 为椭圆 短轴的 端点，动点 满足 ，若 面积的最大值为 8， 面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求得定点 M 的轨迹方程 ，可得 ， ，解得 a，b 即可. 【详解】 设 ， ， . ∵动点 满足 ，则 ，化简得 . ∵ 面积的最大值为 8， 面积的最小值为 1， ∴ ， ，解得 ， ， ∴椭圆的离心率为 . 故选 D. 【点睛】 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于 中档题． 12．已知直线 ： 与抛物线 相交于 、 两点，且满足 ，则 的值是（ ） A B ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > C D E M 2MA MB = MAB∆ MCD∆ 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 25 16 3 9 a ax y − + =   1 42 82 3a a× × = 1 12 12 3b a× × = ( ),0A a− ( ),0B a ( ),M x y M 2MA MB = ( ) ( )2 22 22x a y x a y+ + = − + 2 2 25 16 3 9 a ax y − + =   MAB∆ MCD∆ 1 42 82 3a a× × = 1 12 12 3b a× × = 6a = 6 2b = 2 2 31 2 b a − = l ( )( 1) 0y k x k= + > 2: 4C y x= A B 2AF BF= k A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直线方程可知直线恒过定点 ，过 分别作准线的垂线，由 ，得到点 为 的中点、连接 ，进而可知，由此求得点 的横坐标， 则点 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【详解】 解：抛物线 的准线 ，直线 ： 恒过定点 ， 如图过 分别作准线的垂线，垂足分别为 ； 由 ，则 ， 所以点 为 的中点、连接 ， 则 ， ∴在 中， ， 为等腰三角形，点 的横坐标为 ， 故点 的坐标为 ， 又 ， 所以 ， 故选：C． 3 3 3 2 23 2 2 ( 1,0)− ,A B 2AF BF= B AP OB B B 2: 4C y x= 1x = − l ( 1)y k x= + ( 1,0)P − ,A B ,M N 2AF BF= | | 2 | |AM BN= B AP OB 1| | | |2OB AF= PFA∆ | | | |OB BF= OBF∴∆ B 1 2 B 1 , 22      ( 1,0)P − 2 0 2 21 3( 1)2 k −= = − − 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中 档题． 二、填空题 13．已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 的值为__________. 【答案】4 【解析】利用向量共线定理即可得出． 【详解】 解： ， ， 存在实属 使得 解得： 。故答案为：4. 【点睛】 本题考查了向量共线定理，属于基础题． 14．设 的三边长分别为 ， 的面积为 ，内切圆半径为 ，则 ；类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 ，内切球的半径为 ，四面体 的体积为 ，则 __________． 【答案】 . 【解析】根据平面和空间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由 内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合三角形面积的求法求 出三棱锥的体积，进而求出内切球的半径为 . 【详解】 设四面体的内切球的球心为 ，则球心 到四个面的距离都为 ，所以四棱锥的体积 等于以 为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和， α ( )1 1,2, 2n = − β ( )2 2, 4,n k= − − α β∥ k α β  1 2/ /n n∴  ∴ λ 21n nλ=  1 2 2 4 2 k λ λ λ = − ∴ = − − = 4k = ABC∆ a ABC∆ S r 2Sr a b c = + + P ABC− 1 2 3 4, , ,S S S S R P ABC− V R = 1 2 3 4 3V S S S S+ + + R O O R O 则四面体 的体积为 . 【点睛】 本题考查了类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知一类的数学对 象的性质迁移到另一个数学对象上去. 15．已知椭圆 ，双曲线 .若双曲线 的两条 渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 与双曲线 的离心率之积为__________． 【答案】 【解析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用 渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案。 【详解】 如图 正六边形中， ，直线 即双曲线的渐近线方程为 ， 由椭圆的定义可得 ，所以椭圆的离心率 ， 双曲线的渐近线方程为 ，则 ，双曲线的离心率 ， 所以椭圆 与双曲线 的离心率之积为 【点睛】 本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题。 16．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________． 【答案】 P ABC− ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 3 VV S S S S R R S S S S = + + + ⇒ = + + + 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 2 2 2 2: 1x yN m n − = N M M M N 2( 3 1)− , 3OA AB c BD c= = = OB 3y x= ( )2 3 1a AB BD c= + = + 2 3 1 3 1 ce a = = = − + ny xm = 3n m = 2 1 2ne m  = + =   M N 2( 3 1)− ( ) 2 2 x kf x e x kx= − + [ ]0,2 k 21,e −  【解析】由 ，利用导数再分情况讨论当 ，当 ，当 时，当 时函数 的最小值，即可求得实数 的取 值范围. 【详解】 解：由 ， 则 ， 由函数 在 上单调递增， 则 在 恒成立， 设 ， ①当 时， ， 为增函数， 要使 ，则只需 ，求得 ， ②由 ， 当 时， ，即函数 为减函数，即 ， 要使 ，则只需 ，即 ， 当 时，有 ，即函数 为增函数， 要使 ，则只需 ，即 ， 当 时，有当 时， ，当 时， ， 即函数 在 为减函数，在 为增函数，即 ，要使 ，则只需 ， 即 ， 综上可得实数 的取值范围是 ， 故答案为 . 【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想 方法，属综合性较强的题型. ( )' xf x e kx k= − + 0k ≤ 2k e≥ 0 1k< ≤ 21 k e< < ( ) xg x e kx k= − + k ( ) 2 2 x kf x e x kx= − + ( )' xf x e kx k= − + ( )f x [ ]0,2 ( )' 0xf x e kx k= − + ≥ [ ]0,2 ( ) xg x e kx k= − + [ ]0,2x∈ 0k ≤ ( ) xg x e kx k= − + [ ]0,2x∈ ( ) 0g x ≥ ( )0 0g ≥ 1 0k− ≤ ≤ ( )' xg x e k= − 1 2k e≥ ( )' 0g x ≤ ( )g x ( ) 2 min (2)g x g e k= = − ( ) 0g x ≥ ( ) 2 min 0g x e k= − ≥ 2k e= 2 0 1k< ≤ ( )' 0xg x e k= − ≥ ( )g x ( ) 0g x ≥ ( )min (0) 1 0g x g k= = − ≥ 0 1k< ≤ 3 21 k e< < 0 lnx k< < ( )' 0g x < 2ln k x e< < ( )' 0g x > ( )g x (0,ln )k 2(ln , )k e ( )min (ln ) 2 lng x g k k k k= = − ( ) 0g x ≥ ( )min 2 ln 0g x k k k= − ≥ 2k e< k 21,e −  21,e −  三、解答题 17．设 a∈R，函数 f(x)=x3-x2-x+a. （1）求 f(x)的极值； （2）若 x∈［-1，2］，求函数 f(x)的值域. 【答案】（1）极大值是 ，极小值是 （2） 【解析】（1）利用导数的应用，先求导数得 ，再求函数的单调区间 即可求函数 f(x)的值域； （2）函数在闭区间上的最值，只需比较端点值及极值即可，结合（1）运算端点值及极 值，再比较大小即可得解. 【详解】 解:（1） ，若 ，则 当 变化时， ， 变化情况如下表： x 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以 的极大值是 ，极小值是 （2）因为 ，由（1）知，函数在 ， 为增函数，在 为 减函数， 又 ， ， ， ，易得 ， ， 则 的值域为： . 【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调性及最值，主要考查了运算能力，属中档题. 5 27 a+ 1a − [ 1, 2]a a− + 2( ) 3 2 1f x x x′ = − − 2( ) 3 2 1f x x x′ = − − ( ) 0f x′ = 1 ,13x = − x ( )f x′ ( )f x 1, 3  −∞ −   1 3 − 1 ,13  −   ( )1,+∞ ( )f x ( )f x′ ( )f x 1 5( )3 27f a− = + (1) 1f a= − [ 1,2]x∈ − 11, 3  − −   ( )1,2 1 ,13  −   1 5( )3 27f a− = + (1) 1f a= − (-1) 1f a= − (2) +2f a= min( ) 1f x a= − max( ) 2f x a= + ( )f x [ 1, 2]a a− + 18．（1）用数学归纳法证明： ； （2）已知 ， ，且 ，求证： 和 中至少有一个小于 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）先验证当 时成立，假设 时等式成立，再证明当 时成立即可；（2）假设 ， ，由不等式运算及性质推出矛盾 即可 【详解】 （1）①当 时，左边 ，右边 ，左边 右 边． ②假设 时等式成立，即 ， 那么当 时， ， 即当 时，等式成立． 综上， ． （2）假设 ， ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， 故 ，这与 矛盾， 所以原假设不成立， 故 和 中至少有一个小于 ． 【点睛】 本题考查数学归纳法及反证法证明，熟记证明步骤，准确推理是关键，是基础题 19．已知点 满足 ,设点 M 的轨迹是曲线 C． （1）求曲线 C 的方程． ( 3)( 4) (1 3 ( 22 3) )nn n n ++ + + ++ + = ∈ *N 0a > 0b > 2a b+ > 1 b a + 1 a b + 2 n 1= ( )*n k k N= ∈ n k 1= + 1 b 2a + ≥ 1 a 2b + ≥ n 1= 1 2 3 4 10= + + + = ( ) ( )1 3 1 4 102 + × += = = ( )*n k k N= ∈ ( ) ( )( )k 3 k 41 2 3 k 3 2 + ++ + + + + = n k 1= + ( ) ( ) ( )( ) ( )k 3 k 41 2 3 k 3 k 4 k 42 + ++ + + + + + + = + + ( )( )k 4 k 5 2 + += n k 1= + ( ) ( )( ) ( )*n 3 n 41 2 3 n 3 n N2 + ++ + + + + = ∈ 1 b 2a + ≥ 1 a 2b + ≥ a 0> b 0> 1 b 2a+ ≥ 1 a 2b+ ≥ 2 a b 2a 2b+ + ≥ + a b 2+ ≤ a b 2+ > 1 b a + 1 a b + 2 ( , )M x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + （2）过点 且斜率为 1 的直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求 （O 为坐标原 点）的面积 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据抛物线的定义，以及式子的意义，可以判断出点的轨迹是以点 为焦点的抛物线，从而求得 ，进而得到抛物线的方程； （2）联立方程组，利用韦达定理求得 ，利用三角形的面积公式 求解即可. 【详解】 （1）由已知得点 M 的轨迹是以点 为焦点的抛物线 ∴ ∴ 所以曲线 的方程为 （2）联立 得 . 【点睛】 该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据定义求曲线方程，直线与抛物 线的位置关系，对应三角形的面积公式，属于简单题目. 20．已知函数 （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，当 时，证明： . 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）首先对函数求导，对式子进行因式分解，结合函数的定义域，对参数的范 围进行讨论，从而利用导数的符号确定出函数的单调区间； （2）构造新函数 ，对函数求导，得到函数的单 调性，从而得到函数的最值，根据函数的最小值大于等于零，从而证得结果. 【详解】 (2,0)D AOB∆ 2 4y x= 4 3 ( )1,0F 2p = 1 2 1 24, 8y y y y+ = = − ( )1,0F 12 p = 2p = c 2 4y x= 2 4 2 y x y x  =  = − 2 4 8 0y y− − = 1 2 1 24, 8y y y y+ = = − 2 1 2 1 2 1 2 1 | | ( ) 4 16 32 4 32ABFS OD y y y y y y= ⋅ − = + − = + = 2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a = + + ≠ ∈ ( )f x 1( ) 2a xg x x a a = + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − （1） 当 时， ， 当 时， ， ∴ 时， 在 上递减，在 递增 时， 在 上递增，在 递减 （2）设 则 ， 时， ， 递减 ， 递增， 设 ， ,则 时， 时， 递增， 时， ， 递减 ， ，即 【点睛】 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数单调 性，注意分类讨论思想的应用，应用导数证明不等式恒成立，注意构造新函数，结合最 值得到结果. 21．如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角 梯形， ， ， . （1）证明： ； 2 2 1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax + −′ = − + = 0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < < 0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > − 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1( ) ( 0)a x aF x xx x x −′ = − = >  0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x ( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a ∴ ≥ = + − 1( ) ln 1h x x x = + − ( 0)x > 2 2 1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x −′ = − = > 1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x 0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x ( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥ ( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥ P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 2ABC BAD π∠ = ∠ = 2PA AD= = 1AB BC= = AB PD⊥ （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； （3）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） . 【解析】（1）在四棱锥 中， 平面 ，得到 ，由四边 形 为直角梯形，得到 ，再由线面垂直的判定定理，证得 平面 ，进而得到 ． （2）以 为原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）由（2），设 ，利用换元法求得 ， 结合 在 上的单调性，即可计算得到结论． 【详解】 （1）由题意，在四棱锥 中， 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又由四边形 为直角梯形，所以 ， 因为 ，且 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ． （2）以 为原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ， 可得 , 由题意，可得 ，又由 ，可得 平面 ， 所以 是平面 的一个法向量， 又由 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，取 ，可得 ， PAB PCD Q BP CQ DP BQ 3 3 2 5 5 P ABCD− PA ⊥ ABCD PA AB⊥ ABCD AB AD⊥ AB ⊥ PAD AB PD⊥ A , ,AB AD AP , ,x y z A xyz− PAB PCD ( , 1,2 )BQ BPλ λ λ= = − −  2 9cos , 10CQ DP ≤  cosy x= (0, )2 π P ABCD− PA ⊥ ABCD AB Ì ABCD PA AB⊥ ABCD AB AD⊥ PA AD A∩ = ,PA AD ⊂ PAD AB ⊥ PAD PD ⊂ PAD AB PD⊥ A , ,AB AD AP , ,x y z A xyz− (1,0,0), (1,1,0), (0,2,0), (0,0,2)B C D P ,AD AB AD PA⊥ ⊥ AB PA A∩ = AD ⊥ PAB (0,2,0)AD = PAB (1,1, 2), (0,2, 2)PC PD= − = −  PCD ( , , )m x y z= 2 00 2 2 00 x y zm PC y zm PD  + − =⋅ = ⇒  − =⋅ =    1y = (1,1,1)m = 所以 ， 所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ． （3）由（2）可得 ，设 ， 又 ，则 ， 又 ，从而 ， 设 ， 则 ， 当且仅当 时，即 时， 的最大值为 ， 因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成的角取得最小值， 又因为 ，所以 . 【点睛】 本题考查了线线垂直及线面的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空 间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严 密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用 空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．如图，在平面直角坐标系 中，焦点在 轴上的鞘园 C: 经过点 ，且 经过点 作斜率为 的直线 交椭圆 C 与 A、B 两点(A 3cos , 3 AD mAD m AD m ⋅= = ⋅      PAB PCD 3 3 ( 1,0,2)BP = − ( , 1,2 )BQ BPλ λ λ= = − −  (0, 1,0)CB = − ( , 1,2 )CQ CB BQ λ λ= + = − −   (0, 2,2)DP = − 2 1 2cos , 2 10 CQ DPCQ DP CQ DP λ λ ⋅ += = ⋅ +      [ ]1 2 , 1,3t tλ+ = ∈ 2 2 2 2 2 2 9cos , 1 5 205 10 9 109( )9 9 tCQ DP t t t = = ≤− + − +   9 5y = 2 5 λ = cos ,CQ DP  3 10 10 cosy x= (0, )2 π CQ DP 2 21 2 5BP = + = 2 2 5 5 5BQ BP= = xOy x 2 2 2 2 1x y a b + = 2cb a     ， 2 8a = ， ( )1 0T ， ( )0k k > l 在 轴下方). (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 且平行于 的直线交椭圆于点 M、N，求 的值； (3)记直线 与 轴的交点为 P，若 ，求直线 的斜率 的值. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】（1）由题意得 e2 ， ．又 a2＝b2+c2， ， 解得 b2； （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线 l 的方程为 y＝k（x﹣1）． 联立直线 l 与椭圆方程 ，消去 y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，可设 直线 MN 方程为 y＝kx，联立直线 MN 与椭圆方程 ，消去 y 得（2k2+1）x2 ＝8，由 MN∥l，得 由（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣ （x1+x2）+1] ．得（xM﹣xN）2＝4x2 即可； （3）在 y＝k（x﹣1）中，令 x＝0，则 y＝﹣k，所以 P（0，﹣k），从而 ，由 得 即 ①，由（2）知 ②，由①②得 x O l 2 AT BT MN ⋅ l y 2 5AP TB=  l k 2 2 18 4 x y+ = 7 32 2k = 2 2 2 8 c c a = = 2 2 2 18 2 b c b + = 2 2 2 8 18 2 b b b −+ = ( ) 2 2 1 18 4 y k x x y  = − + = 2 2 18 4 y kx x y = + = ( ) ( )1 2 2 2 1 1 ( )M N x xAT BT MN x x − ⋅ −⋅ = − 2 7 2 1k = + 2 32 2 1k = + ( ) ( )1 1 2 21AP x k y TB x y= − − − = − ， ， ， 2 5AP TB=  ( )1 2 2 15x x− = − ， 1 2 2 2 ,5 5x x+ = 2 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 8 2 1 kx x k kx x k  + = + − = + ⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得 k2. 【详解】 （1）因为椭圆 C： 1 经过点 所以 ． 又∵a2＝b2+c2， ，解得 b2＝4 或 b2＝8（舍去）． 所以椭圆 C 的方程为 ． （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 因为 T（1，0），则直线 l 的方程为 y＝k（x﹣1）． 联立直线 l 与椭圆方程 ，消去 y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0， 所以 x1+x2 ，x1x2 ． 因为 MN∥l，所以直线 MN 方程为 y＝kx， 联立直线 MN 与椭圆方程 消去 y 得（2k2+1）x2＝8， 解得 x2 因为 MN∥l，所以 因为（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1] ． （xM﹣xN）2＝4x2 ． 所以 ． （3）在 y＝k（x﹣1）中，令 x＝0，则 y＝﹣k，所以 P（0，﹣k）， 从而 ， ∵ ， ① ( ) ( ) 2 2 1 22 2 4 2 16 2 3 2 1 3 2 1 k kx x k k − + −= = + +， 2 2 28 x y b + = 2cb a     ， 2 2 2 18 2 b c b + = 2 2 2 8 18 2 b b b −+ = 2 2 18 4 x y+ = ( ) 2 2 1 18 4 y k x x y  = − + = 2 2 4 2 1 k k = + 2 2 2 8 2 1 k k −= + 2 2 18 4 y kx x y = + = 2 8 2 1k = + ( ) ( )1 2 2 2 1 1 ( )M N x xAT BT MN x x − ⋅ −⋅ = − 2 7 2 1k = + 2 32 2 1k = + ( ) ( )1 2 2 2 1 1 7 ( ) 32M N x xAT BT MN x x − ⋅ −⋅ = =− ( ) ( )1 1 2 21AP x k y TB x y= − − − = − ， ， ， 2 5AP TB=  ( )1 2 1 2 2 2 215 5 5x x x x− = − + = ，即 由（2）知 ② 由①②得 代入 x1x2 ⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得 k2＝2 或 k2 （舍）． 又因为 k＞0，所以 k ． 【点睛】 本题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、分析问题处理问题的能力， 对运算能力的要求较高，属于难题． 2 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 8 2 1 kx x k kx x k  + = + − = +  ( ) ( ) 2 2 1 22 2 4 2 16 2 3 2 1 3 2 1 k kx x k k − + −= = + +， 2 2 2 8 2 1 k k −= + 17 50 = − 2=