2014高考江西(理科数学)试卷
2014·江西卷(理科数学)
1.[2014·江西卷] 是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( )
A.1+iB.-1-i
C.-1+iD.1-i
1.D [解析]设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以2a=2,-2b=2,得a=1,b=-1,故z=1-i.
2.[2014·江西卷] 函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )
A.(0,1] B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
2.C [解析]由x2-x>0,得x>1或x<0.
3.[2014·江西卷] 已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )
A.1B.2C.3D.-1
3.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.
4.[2014·江西卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.C.D.3
4.C [解析]由余弦定理得,cosC===,所以ab=6,所以S△ABC=absinC=.
5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图11所示,下列给出的四个俯视图中正确的是( )
图11
A B C D
图12
5.B [解析]易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.
6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1 表2
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3 表4
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
阅读量
性别
丰富
不丰
富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A.成绩B.视力C.智商D.阅读量
6.D [解析]根据独立性检验计算可知,阅读量与性别有关联的可能性较大.
7.[2014·江西卷]阅读如图13所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )
图13
A.7B.9C.10D.11
7.B [解析]由程序框图可知,运算过程如下表:
S
S<-1
i
输出
赋初值
0
1
开始
S=0+lg=
-lg3>-1
否
3
S=-lg3+lg=
-lg5>-1
否
5
S=-lg5+lg
=-lg7>-1
否
7
S=-lg7+lg=
-lg9>-1
否
9
S=-lg9+lg=
-lg11<-1
是
9
8.[2014·江西卷] 若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=( )
A.-1B.-C.D.1
8.B [解析]f(x)dx=dx==+2f(x)dx,得f(x)dx=-.
9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )
A.πB.π
C.(6-2)πD.π
9.A [解析]由题意知,圆C必过点O(0,0),故要使圆C的面积最小,则点O到直线l的距离为圆C的直径,即2r=,所以r=,所以S=π.
图14
10.[2014·江西卷] 如图14所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
A B
C D
图15
10.C [解析]由题意,L1=AE=13.
易知点E在底面ABCD上的投影为F(4,3,0),根据光的反射原理知,直线AE和从点E射向点E1的直线E1E关于EF对称,因此E1(8,6,0),且L2=L1=13.
此时,直线EE1和从点E1射出所得的直线E1E2关于过点E1(8,6,0)和底面ABCD垂直的直线对称,得E′2(12,9,12).因为12>11,9>7,所以这次射出的点应在面CDD1C1上,设为E2,求得L3=E1E2=,L3
L3.故选C.
11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
[2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤
B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
11.(1)C [解析]易知|x-1|+|x|≥1,当且仅当0≤x≤1时等号成立;|y-1|+|y+1|≥2, 当且仅当-1≤y≤1时等号成立.
故|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3.
(2)A [解析]依题意,方程y=1-x的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,整理得ρ=.因为0≤x≤1,所以0≤y≤1,结合图形可知,0≤θ≤.
12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.
12. [解析]由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)==.
13.[2014·江西卷] 若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.
13.(-ln2,2) [解析]设点P的坐标为(x0,y0),y′=-e-x.又切线平行于直线2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,可得x0=-ln2,此时y=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).
14.[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.
14. [解析]cosβ===
=
==.
15.[2014·江西卷] 过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
15. [解析]设点A(x1,y1),点B(x2,y2),点M是线段AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,且两式作差可得=
,即=,所以=-,
即kAB=-.由题意可知,直线AB的斜率为-,所以-=-,即a=b.又a2=b2+c2,
所以c=b,e=.
16.、[2014·江西卷] 已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.
16.解:(1)f(x)=sin+cos=
(sinx+cosx)-sinx=cosx-sinx=sin.
因为x∈[0,π],所以-x∈,
故f(x)在区间[0,π]上的最大值为,最小值为-1.
(2)由得
又θ∈,知cosθ≠0,
所以
解得
17.、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
17.解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以-=2,即cn+1-cn=2,
所以数列{cn}是以c1=1为首项,d=2为公差的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1,知an=(2n-1)3n-1,于是数列{an}的前n项和Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n,将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
18.、[2014·江西卷] 已知函数f(x)=(x2+bx+b)(b∈R).
(1)当b=4时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间上单调递增,求b的取值范围.
18.解:(1)当b=4时,f′(x)=,由f′(x)=0,得x=-2或x=0.
所以当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=0,在x=0处取得极大值f(0)=4.
(2)f′(x)=,易知当x∈时,<0,
依题意当x∈时,有5x+(3b-2)≤0,从而+(3b-2)≤0,得b≤.
所以b的取值范围为.
19.、、[2014·江西卷] 如图16,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面
ABCD.
图16
(1)求证:AB⊥PD.
(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大?并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.
19.解:(1)证明:因为ABCD为矩形,所以AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.
(2)过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG.
在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=.
设AB=m,则OP==,故四棱锥PABCD的体积为
V=×·m·=.
因为m==
,
所以当m=,即AB=时,四棱锥PABCD的体积最大.
此时,建立如图所示的空间直角坐标系,各点的坐标分别为O(0,0,0),B,C,D,P,故=,=(0
,,0),CD=.
设平面BPC的一个法向量为n1=(x,y,1),
则由n1⊥,n1⊥,得解得x=1,y=0,则n1=(1,0,1).
同理可求出平面DPC的一个法向量为n2=.
设平面BPC与平面DPC的夹角为θ,则cosθ===.
20.[2014·江西卷] 如图17所示,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
图17
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.
20.解:(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=.
由题意,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),所以B.
又直线OA的方程为y=x,
则A,所以kAB==.
又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=(y0≠0).
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M,直线l与直线x=的交点为N,,
则===
·.
又P(x0,y0)是C上一点,则-y=1,
代入上式得=·=·=,所以==,为定值.
21.、、[2014·江西卷] 随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记ξ=a2-a1,η=b2-b1.
(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);
(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由.
21.解:(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.
将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有C=20(种),所以ξ的分布列为:
ξ
2
3
4
5
P
Eξ=2×+3×+4×+5×=.
(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,…,2n-2.
又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;
ξ和η恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;
ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有2C种.
所以当n=2时,P(C)==,
当n≥3时,P(C)=.
(3)由(2)得,当n=2时,P(C)=,因此P(C)>P(C).而当n≥3时,P(C)
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