【数学】重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年高二下学期期末联考试题

【数学】重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年高二下学期期末联考试题

重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年 高二下学期期末联考试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的共轭复数的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知为△ABC 的三个内角的对边，向量，‎ ‎,若，且，则角A、B的大小分别为（ ） A. B. C. D.‎ ‎4.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ） ‎ ‎（参考数据：）‎ A.3.1419 B.‎3.1417 ‎ C.3.1415 D.3.1413‎ ‎5.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知且 ,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知，则“直线与直线垂直”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为，则|AB|为（ ）‎ A.6 B‎.9 ‎ C. D.‎ ‎9.已知函数在定义域上是单调函数，且，‎ 当在上与在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是（ ） A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知函数，，若成立，则m-n的最小值是（ ） A. B. C. D.‎ ‎11.设F(c，0)为双曲线E：的右焦点，以F为圆心，b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，线段FP的中点为D，△POF的外心为I，且满足，则双曲线E的离心率为（ ）‎ A. B. C.2 D.‎ ‎12.已知，，，则实数m的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.记是等差数列前n项的和，是等比数列前n项的积，设等差数列公差，若对小于2019的正整数n，都有成立，则推导出设正项等比数列的公比，若对于小于23的正整数n，都有成立，则= ．‎ ‎14.西南大学2020届新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团。若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有 ‎ 种．‎ ‎15.已知正四棱柱中AB=2，=3，O为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2，则= ．‎ ‎16.如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM=CN，则当四面体C-EMN的体积取得最大值时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z 拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． （1）若，求n的最小值； （2）是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．‎ ‎18.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一：逐个检验；方案二：平均分成两组检验；方案三：四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P=． （1）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （2）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．‎ ‎19.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．‎ ‎ （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； （2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．‎ ‎20.已知椭圆E：的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，，且．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．‎ ‎21.已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0． （1）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． （2）若函数的两个极值点为，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知点A为圆C：上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M的轨迹的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x-a|． （1）当a=-1时，求不等式f（x）≤|2x+1|-1的解集； （2）若函数g（x）=f（x）-|x+3|的值域为A，且[-2，1]⊆A，求a的取值范围．‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D ‎7.B 8.B 9.B 10.B 11.D 12.B ‎13.1 14.180‎ ‎15. 16.32π ‎17.解：（1）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项， 由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn-1， 所以Pn+1=Pn+（Pn-1）=2Pn-1 所以Pn+1-1=2Pn-2=2（Pn-1）， 由（Ⅰ）知P1-1=4，所以， 由，即2n+1≥2019，解得n≥10 所以n的最小值为10． （2）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c 所以Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以Sn+1=a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c 即Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c 所以Sn+1=3Sn-（a+c）， 得 由S1=2a+3b+2c，则 若使Sn为等比数列，则或 所以，a，b，c满足的条件为或者．‎ ‎18.解：（1）该混合样本阴性的概率是（）2=， 根据对立事件原理，阳性的概率为1-=． （2）方案一：逐个检验，检验次数为4， 方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为， 若阳性，则检测次数为3，概率为， 设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6， 其分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E（ξ）==， 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5， 其分布列为：‎ ‎ η ‎ 1‎ ‎ 5‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ E（η）=1×+5×=， ∵E（η）＜E（ξ）＜4，故选择方案三最“优”．‎ ‎19.解：（1）设△ABC的重心为H，连接OH ‎ 由题意可得，，设细钢管上下两段之比为λ 已知凳子高度为30、则 ∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 ∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即∠OBH=45° ‎ ‎∵BH=OH，∴，解得 即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63 （2）设∠B=120°，∴AB=BC=24， 设△ABC的重心为H，则， 由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知OH=12 设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC'， 则， ， ∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm ‎20.解：（1）∵点P在椭圆E上，∴|PF1|+|PF2|=2a， ∵|PF1|＝3|PF2|，∴，， ∵PF2⊥F1F2，∴,‎ 又,∴， ∵,∴， ∴椭圆E的标准方程为； （2）设, 联立,消去x得, ∴,, ∴, 设圆x2＋y2＝2的圆心O到直线l的距离为d，则, ∴, ‎ ‎∴, ∵,∴, ∴, ∴的取值范围为．‎ ‎21.解：（1）由条件可知，函数在（-∞，0）上有意义， ，'a＞0， 令f′（x）=0可得，＜0，＞0， x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减， 由，可得f（-a）=0，‎ 当x＜-a时，f（x）＞0，当-a＜x＜0时，f（x）＜0， 因为-a-x1=-a+=＞0，所以x1＜-a＜0， 又函数在（x1，0）上单调递减且＜0， 所以f（x）在（]上有最小值f（-）=-e， （2）由（1）可知a＞0时，f（x）存在两个极值点为x1，x2（x1＜x2）， 故x1，x2是x2+ax-a=0的根， 所以x1+x2=x1x2=-a，且x1＜x2＜1， 因为=，同理f（x2）=（1-x1）， ∴lnf（x2）=ln（1-x1）+x2，lnf（x1）=ln（1-x2）+x1， ∴= =， 又1=， 由（1）知，1-x1＞1-x2＞0， 设m=1-x1，n=1-x2‎ ‎， 令h（t）=lnt-，t≥1，则＞0， 所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）=0，即lnt＞， 令t=则 从而．‎ ‎（选做）22.解：（1）设点M的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，‎ 在△OPM中，有ρ=4sinθ， 所以点M的极坐标方程为：ρ=4sinθ． （2）设射线OA：θ=α，（α∈（）），圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ． 由得到|OA|=ρ1=2cosα． 由得：， 所以=‎ ‎==． 由于α∈（），所以， 当，即，故．‎ ‎（选做）23.（1）当a=-1时，f（x）=|x+1|． ∵f（x）≤|2x+1|-1，∴当x≤-1时，原不等式可化为-x-1≤-2x-2，∴x≤-1； 当时，原不等式可化为x+1≤-2x-2，∴x≤-1，此时不等式无解； 当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1， 综上，原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥1}． （2）当a＜-3时，， ∴函数g（x）的值域A={x|3+a≤x≤-a-3}． ‎ ‎∵[-2，1]⊆A，∴，∴a≤-5； 当a≥-3时，， ∴函数g（x）的值域A={x|-a-3≤x≤3+a}． ∵[-2，1]⊆A，∴，∴a≥-1， 综上，a的取值范围为（-∞，-5]∪[-1，+∞）．‎