广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二下学期月考四数学试题

广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二下学期月考四数学试题

阳春一中2019-2020学年第二学期高二年级月考四 数学科试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知全集 1，2，3，，集合 2，，，则为．‎ A. 2, B. C. D. 2，3， 2. 下列四个函数中，在上是增函数的是 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 弃要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知关于x的不等式的解集为，则等于      A. B. ‎1 ‎C. D. 3‎ 5. 函数的定义域为 A. B. C. D. 6. 已知定义域为R的函数在上单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为 A. B. C. D. 7. 函数的单调增区间为    A. B. C. D. 1. 某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有 A. 70种 B. 140种 C. 840种 D. 420种 2. 设，，若是与的等比中项，则最小值为 A. 4 B. ‎3 ‎C. 1 D. 3. 已知函数，若，则实数 A. B. C. 2 D. 9‎ 4. 已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在上是减函数，记，，，则  A. B. C. D. 5. 已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 复数z满足，那么          ．‎ 7. 已知函数，且，则______．‎ 8. 已知函数，则的极大值为          ．‎ 9. 我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，‎ ‎2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，若数列的前n项和为，则_____． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70.0分）‎ 1. 已知函数 ‎ 作出函数的图象 说明函数的单调区间不需要证明 若函数的图象与函数的图象有4个交点，求实数m的取值范围． ‎ 2. 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：‎ 不放回抽样时，抽取次品数的均值 放回抽样时，抽取次品数的均值． ‎ 1. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，平面平面，，，O为的中点． ‎ 求证： 求二面角的余弦值． ‎ 2. 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下： 奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球红、黄、黑、白顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． 求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率； 记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望． ‎ 1. 已知直线l：与拋物线C：相切． ‎ 求拋物线方程；‎ 斜率不为0的直线经过拋物线C的焦点F，交抛物线于两点A，B，拋物线C上是否存在两点D，E关于直线对称．若存在求出斜率k的取值范围；若不存在，说明理由． ‎ 2. 已知函数．‎ 讨论函数的单调性；‎ 若，函数在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． ‎ 答案和解析 一、选择题 ‎1.C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 9.A 10.C ‎11.【答案】A解：，， 函数是周期为2的周期函数； 为偶函数，在上是减函数， 在上单调递增， 并且， ， ， ．故选A． 12.【答案】C 解：由题意知，方程在上有解， 即，即在上有解， 即函数与在上有交点， 的导数为， 当时，，函数递减； 当时，，函数 递增． 可得处函数取得极大值， 函数与在上的图象，如图所示： 当直线与相切时， 切点为，可得， 由图象可得a的取值范围是． 故选C． 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 解：使得每行的序数与该行的项数相等， 则第k行最后项在数列中的项数为， 设位于第行，则，解得， 且第11行最后一项在数列中的项数为， 所以位于杨辉三角数阵的第12行第1个， 而第一行各项和为， 第二行各项和为， 第三行各项的和为， 依此类推，第k行各项的和为， 因此，． 故答案为 ‎2048． 三、解答题 ‎17.【答案】解：函数的图象如图所示： .........4分 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和 .........7分 根据图象易知，使得和的图象有4个交点的m的取值范围为． .........10分 18.【答案】解：随机变量的取值为0,1,2, .........1分 随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ． .........6分 由题意，知：每次取到次品的概率为， .........8分 随机变量服从二项分布， .........10分 ． .........12分 ‎ ‎19.解：如图，连接，，在矩形中，，O为的中点， 所以． .........1分 因为，，所以为正三角形，‎ 又O为的中点，所以， .........2分 又平面平面，平面平面， 平面，‎ 所以平面C. .........3分 又平面，所以，又，‎ 所以平面， .........4分 又平面， ‎ 所以． .........5分 取的中点E，连接OE，则，所以OA，OB，OE两两垂直， 如图，以O为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，， 0，，，，0，． .........6分 设平面OBC的法向量为y，，则，即， .........8分 令，得0，是平面OBC的一个法向量，.....9分 同理可求得平面的一个法向量为1，， .....10分 则，， .........11分 由图知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为． .........12分 20.【答案】解：设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则， 故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率． .........4分 随机变量X的所有取值为． .........5分 ，，， ，， .........10分 所以，随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ P ‎ .........11分 ． .........12分 21.【答案】解：由题联立方程组 ． .........2分 因为直线l与拋物C相切，所以，舍， 所以抛物线C的方程为． .........4分 由可知，所以可设直线的方程为． 假设抛物线C上存在两点D，E关于直线对称， 可设直线DE的方程为， 联立方程组． .........5分 由，得， .........6分 设，，DE中点为， 则，， .........8分 因为在直线上，所以将其代入方程， 得，即， .........10分 代入，得， .........11分 所以k无解，故不存在． 即抛物线C上不存在两点D，E关于过焦点的直线对称． .........12分 1. 解：的定义域为，． .........1分 时，，所以在上单调递增； .........2分 时，由得，得， 即在上单调递减，在上单调递增． .........3分 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． .........4分 当时，由知在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增，，在区间上无零点..5分 若，即时，在上单调递减，在上单调递增，． .........6 分 在区间上恰有两个零点，， .........9分 ． .........10分 若，即时，在上单调递减，，在区间上有一个零点． .........11分 综上，在区间上恰有两个零点时a的取值范围是． .........12分 ‎