2019届二轮复习小题专练 不等式与线性规划作业（全国通用）
小题专练·作业(三) 不等式与线性规划
1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3。当x<0时，x＋6>3，解得－3
3，解得x>3或0≤x<1。综上，不等式的解集为(－3，1)∪(3，＋∞)。故选A。
答案 A
2．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)。若不等式(x－a)⊗(x－b)>0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4。故选C。
答案 C
3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5。故选C。
答案 C
4．(2018·北京高考)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2,1)∉A
D．当且仅当a≤时，(2,1)∉A
解析 若(2,1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2,1)∉A。故选D。
答案 D
5．(2018·重庆联考)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A．或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析 画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示。令z＝0，画出直线y＝ax，a＝0显然不满足题意。当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与x＋y－2＝0平行，此时a＝－1；当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行，此时a＝2。综上，a＝－1或2。故选D。
答案 D
6．(2018·河北联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A.15万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析 设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得所以M
(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18。故选D。
答案 D
7．已知实数x，y满足：若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2。故选B。
答案 B
8．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________。
解析 解法一：作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6。
解法二：由题知可行域为以 A(2,0)，B(－1,0)，C(－4，－3)围成的三角形及内部的点构成，由zA＝3×2＋2×0＝6，zB＝3×(－1)＋2×0＝－3，zC＝3×(－4)＋2×(－3)＝－18，得zmax＝zA＝6。
答案 6
9．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________。
解析 因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2。
答案 2
10．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________。
解析 由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为。
答案
11．(2018·聊城一模)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)>0的解集为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解析 由于f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，且为定义域R上的单调递增函数，故f(1－2x)＋f(3)>0⇒f(1－2x)>－f(3)＝f(－3)，所以1－2x>－3，解得x<2。故选A。
答案 A
12．(2018·福州联考)设x，y满足约束条件其中a>0，若的最大值为2，则a的值为( )
A． B．
C． D.
解析 设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件
表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x
，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率的最小值为－，即－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为。故选C。
答案 C
13．(2018·陕西模拟)已知a>b>1，c<0，在不等式①>；②ln(a＋c)>ln(b＋c)；③(a－c)c<(b－c)c；④bea>aeb中，所有正确命题的序号是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析 因为a>b>1，所以0<<，又c<0，所以>，所以①正确；因为a>b>1，c<0，所以不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此时ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，所以②错误；易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，因为a－c>b－c>0，c<0，所以(a－c)c<(b－c)c，所以③正确；令y＝(x≠0)，则y′＝，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函数y＝在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以>，即bea>aeb，所以④正确。故选B。
答案 B
14．(2018·辽宁重点中学协作体模拟)某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
①高一学生人数多于高二学生人数；
②高二学生人数多于高三学生人数；
③高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和。
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为________。
解析 设高二、高三人数分别为x，y(x，y∈N*)人。根据题意则满足解得该志愿者服务队总人数为x＋y＋7＝5＋6＋7＝18。
答案 18
15．(2018·青岛模拟)设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1。
其中为真命题的是________。(写出所有真命题的序号)
解析 对于①，由a2－b2＝1，知(a－b)(a＋b)＝1，因为a，b为正实数，则a＋b>a－b>0，所以a－b<1，故①正确。对于②，不妨取a＝2，b＝，满足－＝1，但a－b＝>1，故②错误。对于③，不妨取a＝4，b＝1，满足|－|＝1，但|a－b|＝3>1，故③错误。对于④，对于|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，若a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2>1，则|a－b|<1；若a，b都小于1，则|a－b|<1，所以④正确。综上，①④为真命题。
答案 ①④
