2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题 ‎1．已知直线的方程为，则该直线的斜率为(　　 ) .‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将直线方程写为，所以直线的斜率为，选B.‎ ‎2．圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：圆方程可化为圆心到直线的距离，故选A.‎ ‎【考点】1、圆的方程；2、点到直线的距离.‎ ‎3．已知直线，直线，若，则实数的值是（　 　）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 时， ，选C.‎ ‎4．已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为（　　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ，由已知有 ，解得，选B.‎ 点睛：本题主要考查了点关于直线对称，属于基础题。解决此类问题的步骤为：先设出对称点坐标，根据两条直线垂直以及中点在对称直线上，列出方程组，求出对称点坐标。‎ ‎5．下列命题中， 表示两条不同的直线， 、、表示三个不同的平面． ‎ ‎①若， ，则； ②若， ，则； ‎ ‎③若， ，则； ④若， ， ，则． ‎ 正确的命题是（　 　）‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由知，存在直线内，使，所以，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有 ，正确。故正确命题为①④，选C.‎ ‎6．若、为异面直线，直线，则与的位置关系是（　　）‎ A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】解：因为为异面直线，直线，则与的位置关系是异面或相交，选D ‎7．两条平行直线与之间的距离为（ 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知有，所以直线可化为，利用两平行直线距离公式有 ，选D.‎ 点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题。在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算。‎ ‎8．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。，，所以几何体的表面积为。‎ ‎【考点】三视图与表面积。‎ ‎9．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线长上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（　 　） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，底面圆的直径为，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，所以，则，过作，因为为的三等分点， ，所以,，所以，所以，‎ 所以，因为，所以，在直角中，利用勾股定理得： ，则，故选B．‎ ‎【考点】圆锥的侧面展开图．‎ ‎10．平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则球的表面积为（ 　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题球心到平面的距离为，可得； ，则球的表面积为； ,，故选B ‎【考点】球的截面性质及表面积．‎ ‎11．如图，在正方体中， 分别是、‎ 的中点，则图中阴影部分在平面上的投影为图中的（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】点在平面上的投影在中点处，点投影在处，由投影可判断图正确，故选B.‎ ‎12．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为曲线y＝1＋ (|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k的取值范围是，选A 二、填空题 ‎13．如图，正方体中， ，点分别为、的中点，则线段的长度等于____________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连DE，易得 面，所以, 为直角三角形， ,由勾股定理有。 ‎ ‎14．如图所示， 是三角形所在平面外一点，平面∥平面， 分别交线段于′，若，则 __________．‎ ‎【答案】9：49‎ ‎【解析】因为平面∥平面，所以，则，所以 ,所以 ，则,所以 ,又所以，所以有。‎ 点睛：本题通过面面平行证明线面平行到线线平行的转化，利用三角形面积比等于 边长的平方之比来求解，属于中档题。‎ ‎15．已知直线经过点，且与直线平行，则该直线方程为___________．‎ ‎【答案】y=2x ‎【解析】设所求直线方程为，由于直线经过点，所以 ，故直线 的方程为。‎ ‎16．设 P点在圆 上移动，点满足条件，则 的最大值是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设圆的圆心，不等式组所围成的可行域为，且 ，点M与中的点的最大距离为，圆半径为1，故的最大值为 。‎ 点睛：本题主要考查了圆上一点与三角形内部的点之间的距离，属于中档题。本题思路：先画出图象，再求出圆心与三角形内部的点距离的最大值，再求出的值。‎ 三、解答题 ‎17．如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面是的中点． ‎ ‎（Ⅰ）求证： ∥； ‎ ‎（Ⅱ）证明： ． ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由线线平行得出线面平行；（2）由线面垂直的判定定理证出BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质证得。‎ 试题解析 证：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE， ‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点． ‎ 又因为E是PA的中点，所以PC∥OE， ‎ 因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， ‎ 所以PC∥平面BDE． ‎ ‎（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC． ‎ 因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD． ‎ 又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC ‎ ‎ 又CE⊂平面PAC， 所以BD⊥CE．‎ ‎18．已知关于的方程： ． ‎ ‎（1）若方程表示圆，求的取值范围； ‎ ‎（2）若圆与圆外切，求的值；‎ ‎【答案】（1）m＜5；（2）m=4.‎ ‎【解析】试题分析：（1）圆的一般方程中，表示圆需满足；（2）两圆相外切，则圆心距等于半径和，由此可得到的值 试题解析：（1）把方程C： ，配方得： ，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，解得m＜5；‎ ‎（2）把圆化为标准方程得： ，得到圆心坐标（4，6），半径为4，则两圆心间的距离d==5，‎ 因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4；‎ ‎【考点】1．圆的方程；2．两圆相切的位置关系 ‎19．如图，已知面垂直于圆柱底面， 为底面直径， 是底面圆周上异于的一点， ． 求证：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）求几何体的最大体积． ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，先证明BC⊥平面AA1C，再证得平面AA1C⊥平面BA1C；（2）由于是固定的，且 ‎,所以当C点到AB的距离最大时，几何体的体积有最大值。‎ 试题解析：（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径， ‎ 所以AC⊥BC． ‎ 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC， ‎ 而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C． ‎ 又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C． ‎ ‎（2）解：在Rt△ABC中，当AB边上的高最大时，三角形ABC面积最大，‎ 此时AC=BC. ‎ 此时几何体取得最大体积. ‎ 则由AB2=AC2+BC2且AC=BC， 得， ‎ 所以体积为 ．‎ ‎20．已知的三个顶点为， 为的中点.求： ‎ ‎(1) 所在直线的方程； ‎ ‎(2) 边上中线所在直线的方程； ‎ ‎(3) 边上的垂直平分线的方程．‎ ‎【答案】（1）x+2y-4=0．（2）2x-3y+6=0．（3）y=2x+2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线方程的两点式求出所在直线的方程；（2）先求BC的中点D坐标为（0,2），由直线方程的截距式求出AD所在直线方程；（3）求出直线)BC的斜率，由两直线垂直的条件求出直线DE的斜率，再由截距式求出DE的方程。‎ 试题解析：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(-2，3)两点，‎ 由两点式得BC的方程为y-1= (x-2)， ‎ 即x+2y-4=0． ‎ ‎(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x=0，y=2． ‎ BC边的中线AD过点A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得 AD所在直线方程为=1，即2x-3y+6=0． ‎ ‎(3)BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2， ‎ 由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．‎ ‎21．已知梯形中， ， ， 、分别是、上的点， ， ．沿将梯形翻折，使平面⊥平面 (如图)． 是的中点．‎ ‎（1）当时，求证： ⊥ ；‎ ‎（2）当变化时，求三棱锥的体积的函数式．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）作，垂足，连结， ，通过已知证明平面，又平面，故；（2）先求出，分别求出的表达式， 再化简。‎ 试题解析：（1）证明：作，垂足，连结， ，‎ ‎∵平面平面，交线， 平面，‎ ‎∴平面，又平面，故． ‎ ‎∵， ， ．‎ ‎∴四边形为正方形，故． ‎ 又、平面，且，故平面．又平面，故．‎ ‎（2）解：∵，平面平面，交线， 平面．‎ ‎∴面．又由（1）平面，故， ‎ ‎∴四边形是矩形， ，故以、、、为顶点的三棱锥的高． ‎ 又． ‎ ‎∴三棱锥的体积 ‎ ‎ 点睛：本题主要考查立体几何中证明线线垂直，以及求三棱锥的体积，属于中档题。在（1）中通过证明线线垂直，得出线面垂直，再得出面面垂直。（2）是求三棱锥的体积。‎ ‎22．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点， .‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 试题解析：（1）由得，‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设，则 ‎∵ 点为弦中点即，‎ ‎∴即，‎ ‎∴ 线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且， ，又直线： 过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得，又 ‎，结合上图可知当时，直线： 与曲线只有一个交点．‎ ‎【考点】1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程