新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-4-2 平面向量及运算的坐标表示 课件（57张）

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4.2　平面向量及运算的坐标表示 必备知识·自主学习 1.平面向量的坐标 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准 正交基.对于平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作 =a,有且只有一对实 数x,y使得a=xi+yj,我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=______. 导思 1.什么是平面向量的坐标? 2.如何用坐标进行平面向量的线性运 算? OP  (x,y) 2.平面向量的坐标运算 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于 这 两个向量相应坐标的和 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= ____________ 减法 两个向量差的坐标分别等于 这 两个向量相应坐标的差 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a-b= ____________ 数乘向 量 实数与向量积的坐标分别等 于 实数与向量的相应坐标的乘 积 若a=(x,y),λ∈R,则λa= __________ AB  AB  (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx,λy) (x2-x1,y2-y1) 【思考】 符号(x,y)表示什么? 提示:符号(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点, 又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中常说点(x,y)或向量的坐标为 (x,y). 3.向量平行的坐标表示 设a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当a∥b时,有__________. (2)当a∥b且b不平行于坐标轴,即x2≠0,y2≠0时,有_______.即若两个向量(与 坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对应的坐标成比 例,则它们平行. 1 1 2 2 x y x y＝ x1y2-x2y1=0 【思考】 向量平行的坐标表示的依据是什么? 提示:向量平行的坐标表示是根据共线向量基本定理推出的,当向量b=(x2,y2)的 坐标满足x2y2≠0时,才有 成立.对于任意两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 有a∥b ⇔x1y2=x2y1,可简记为“纵横交错,积相等”. 1 1 2 2 x y x y＝ 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)向量 的坐标与向量 的坐标相同; (　　) (2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同; (　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关; (　　) (4)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. (　　) AB  BA  提示:(1)×.向量 与向量 互为相反向量,所以它们的坐标不相同. (2)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样. (3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关. (4)√.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. AB  BA  2.已知A(3,1),B(2,-1),则 的坐标是 (　　) A.(-2,-1)　　　　　 B.(2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) 【解析】选C. =(3,1)-(2,-1)=(3-2,1+1)=(1,2). BA  BA  3.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于 (　　) A.-1 B.-2 C.-1或3 D.0或-2 【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3. 4.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b= ______.  【解析】因为2b=2(-2,1)=(-4,2),所以a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3). 答案:(7,3) 关键能力·合作学习 类型一　平面向量的坐标表示(直观想象,数学运算) 【题组训练】 1.已知向量 =(3,-2), =(-5,-1),则向量 的坐标是 (　　) 　　　　　　 C.(-8,1) D.(8,1) OA  OB  1 AB2  1A.( 4 )2  ， 1B.(4 )2 ， 2.已知向量 =(5,12),将 绕原点按逆时针方向旋转90°得到 ,则 = (　　) A.(-5,13) B.(-5,12) C.(-12,13) D.(-12,5) OA  OB  OA  OB  3.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D 为AC的中点,分别求向量 的坐标. 【解析】1.选A. =(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),所以 AB AC BC BD     ， ， ， AB OB OA    1 1 1AB= ( 8 1) ( 4 ).2 2 2    ， ， 2.选D.向量 =(5,12),将 绕原点按逆时针方向旋转90°得到 ,则点B的 坐标为(-12,5),如图所示,所以 =(-12,5). OA  OB OA  OB  3.如题图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°, 2sin 60°),所以C(1, ), ,所以 =(2,0), =(1, ), 3 1 3D( )2 2， 1 3 3 3BC (1 2 3 0) ( 1 3) BD=( 2 0) ( ).2 2 2 2           ， ， ， ， ， AC AB  3 【解题策略】 求向量坐标的方法 1.向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标,只有当向量的起点在坐标 原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. 2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函 数的定义和性质进行计算. 【补偿训练】 已知O为坐标原点,点A在第一象限,| |=4 ,∠xOA=60°,则向量 的坐标 为________.  【解析】设点A(x,y),则x=| |·cos 60°=4 cos 60°=2 ,y=| | sin 60°=4 sin 60°=6,即A(2 ,6).所以 =(2 ,6). 答案:(2 ,6) OA  3 OA  OA  3 3 OA  3 3 OA  3 3 类型二　平面向量的坐标运算(数学运算) 　角度1　向量坐标运算的直接应用  【典例】若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求 的坐标.1AB 2BC BC AC2      ， 【思路导引】先计算 再进行向量的线性运算. 【解析】因为 =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14),所以 = (-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18), =(-8,4)- (-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3). AB,BC,AC    ， AB  BC  AC  AB 2BC  1BC AC2   1 2 　角度2　利用向量的坐标运算求点或向量的坐标  【典例】如图,已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c.OA OB OC     ， ，a b c 【思路导引】建立恰当的平面直角坐标系,利用条件确定各点的坐标,即得向量 a,b,c的坐标,由待定系数法表示. 【解析】如图,以O为原点, 为x轴的正方向建立平面直角坐标系.OA  由三角函数的定义,得B(cos 150°,sin 150°), C(3cos 240°,3sin 240°), 即 又A(2,0),所以a=(2,0), 设c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)， 3 1 3 3 3B( ) C( ) .2 2 2 2   ， ， ， 3 1 3 3 3( ) ( ) .2 2 2 2     ， ， ，b c 则 所以 解得 故c=-3a-3 b. 1 2 2 3 3 3 3 1( ) (2 ).2 2 2 2       ， ， 1 2 2 3 32 2 2 1 3 3 2 2           ， ， 1 2 3 3 3      ， ， 3 【解题策略】 向量坐标运算的关键点 在直角坐标系内,用坐标表示平面向量.这里关键点有二:一是求点的坐标,它可 以转化为该点相对于坐标原点的位置向量的坐标;二是求向量的坐标,可以首先 求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向 量的坐标.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 【题组训练】 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 = (　　) A.(-2,-1)　 B.(-2,1)　 C.(-1,0)　 D.(-1,2) 【解析】选D. 1 3 2 2－a b 1 3 1 3 1 1 3 3(1,1) (1 1) ( ) ( ) ( 1,2).2 2 2 2 2 2 2 2        ， ， ，a b = 2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构 成三角形,则向量c等于 (　　) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). 3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若 =(2,4), =(1,3),则 =________.  【解析】 答案:(-3,-5) AB  BD  AC  BD=AD AB=BC AB=(AC AB) AB=AC 2AB=(1,3) 2(2,4)= ( 3 5).                 ， 类型三　向量平行的坐标表示(数学运算,逻辑推理) 　角度1　向量平行的判断  【典例】下列向量组中,能作为基的是 (　　) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2= 1 3( )2 4 ， 【思路导引】能作为基的向量不共线. 【解析】选B.根据选项中各个向量的坐标,可判定A,C,D中的两向量对应坐标是 成比例的,所以共线,不能作为基,对于B,由于 ,所以e1,e2不共线,可以作 为基. 1 5 2 7   　角度2　由向量共线求参数  【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是 同向还是反向? 【思路导引】由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线的条件列 方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是反向. 【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 方法一:当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),则 (k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以 解得k=λ=- . 此时ka+b=- a+b=- (a-3b),所以ka+b与a-3b反向. 方法二:因为ka+b与a-3b平行, 所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=- . 此时ka+b= ,所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行,并且反向. k 3=10 2k 2= 4       ， ， 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1( 3 2)= ( 3 )3 3 3      ， a b 1 3 　角度3　由向量共线求点的坐标  【典例】设梯形ABCD的其中3个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(3,4),D(2,1),且 AB∥DC,AB=2CD,求点C的坐标. 【思路导引】将AB∥DC,AB=2CD转化为 【解析】因为AB∥DC,AB=2CD,所以 设C(x,y),则 =(x,y) -(2,1)=(x-2,y-1).而 =(3,4)-(-1,2)=(4,2),所以(4,2)=2(x-2,y-1),即 解得 所以点C的坐标为(4,2). AB 2DC.  AB 2DC.  DC  AB  2(x 2) 4 2(y 1) 2      ， ， x=4 y=2.    ， 【解题策略】 由向量共线求参数的值的方法 对于a∥b的充要条件,常有两种表达方式:(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb(λ∈R); (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.第(1)种是用线性关系的形式 表示的,而且有前提条件b≠0,而第(2)种坐标形式则无b≠0限制. 【题组训练】 1.已知a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则x等于(　　) A.-3　　　B.-4　　　C.2　　　D.0 【解析】选A.a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则1-x=2×2,解得x=-3. 2.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 ,则顶点D 的坐标为 (　　) A. 　　 B. 　　 C.(3,2)　　 D.(1,3) 【解析】选A. =(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D(x,y), =(x,y)-(0,2)= (x,y-2). 又因为 ,所以4=2x且3=2(y-2),解得x=2,y= ,所以D . BC=2AD   7(2 )2， 1(2 )2 ， BC  AD  BC=2AD   7 2 7(2 )2， 3.已知点A(1,3),B(4,-1),O为坐标原点,则与向量 同方向的单位向量为 ________.  【解析】因为 =(4,-1)-(1,3)=(3,-4),所以与 同方向的单位向 量为 答案: AB  AB OB OA    AB  AB 3 4=( ).5 5AB    ， 3 4( )5 5 ， 1.已知 =(-2,4),则下面说法正确的是 (　　) A.A点的坐标是(-2,4) B.B点的坐标是(-2,4) C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4) D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4) 【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知,当A点是原点时,B点的坐标是 (-2,4). 课堂检测·素养达标 AB  2.下列各组向量共线的是 (　　) A.a1=(-2,3),b1=(4,6) B.a2=(2,3),b2=(3,2) C.a3=(1,2),b3=(7,14) D.a4=(-3,2),b4=(6,4) 【解析】选C.因为 ,所以a3∥b3,向量a3与b3共线.1 7=2 14 3.设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为 ________.  【解析】因为向量a与b的方向相反,且|b|=|a|,所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1). 答案:(-1,1) 4.已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ),2a-b与c平行,则实数 k=________.  【解析】因为a=( ,1),b=(0,-1),所以2a-b=2( ,1)-(0,-1)=(2 ,3). 又因为c=(k, ),2a-b与c平行,所以2 × -3k=0,解得k=2. 答案:2 3 3 3 3 3 3 3 3 十九　平面向量及运算的坐标表示 【基础通关——水平一】(15分钟　30分) 1.已知向量 =(2,4), =(0,2),则 = (　　) A.(-2,-2)　　　　　 B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 【解析】选D. 课时素养评价 AB  AC  1 BC2  1 1 1BC= (AC AB) ( 2 2) ( 1 1).2 2 2          ， ， 2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥ ,则实数λ的值为(　　) 【解析】选C.根据A,B两点的坐标,可得 =(3,1), 因为a∥ ,所以2×1-3λ=0,解得λ= . AB  2 3 2 3A. B. C. D.3 2 3 2   AB  AB  2 3 3.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 =________.  【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以 =(2,3), =(-3,3).所以 =(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9). 答案:(-4,9) AB 2BC  AB  BC  AB 2BC  4.已知A(1,2),B(4,5),若 ,则点P的坐标为________.  【解析】设P(x,y),则 =(x-1,y-2), =(4-x,5-y),又 ,所以(x- 1,y-2)=2(4-x,5-y), 即 得 所以点P的坐标为(3,4). 答案:(3,4) AP=2PB   AP  PB  AP=2PB   x 1=2(4 x) y 2=2(5 y)      ， ， x=3 y=4    ， ， 5.已知M(1,5),N(5,17),点P在直线MN上,且 ,求点P的坐标. 【解析】设点P的坐标为(x,y),则 =(x-1,y-5), =(5-x,17-y).当 时,根据题意,有(x-1,y-5)=3(5-x,17-y),解得x=4,y=14.所以点P的坐标为 (4,14). 当 时,有(x-1,y-5)=-3(5-x,17-y),解得x=7,y=23.所以点P的坐标为 (7,23). 综上所述,点P的坐标为(4,14)或(7,23). MP 3 PN  MP  PN  MP 3PN  MP 3PN   【能力进阶——水平二】(20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.若a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且a∥b,则tan α等于 (　　) A.2　　　 B. 　　　C.-2　　　 D.- 【解析】选A.因为a∥b,所以2cos α×1=sinα.所以tan α=2. 1 2 1 2 2.已知向量 =(1,-3), =(2,-1), =(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三 角形,则实数k应满足的条件是 (　　) A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 【解析】选C.若A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线. 所以 ∥ ,因为 =(2,-1)-(1,-3)=(1,2). =(k+1,k-2)- (1,-3)=(k,k+1).所以(k+1)-2k=0,得k=1. OA  OC  OB  1 2 AB  AC  AB  AC  3.若      是一组基,向量γ=x +y (x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基 下的 坐标.现已知向量a在基p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 (　　) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) ,    ,  【解析】选D.因为a在基p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=-2(1, -1)+2(2,1)=(2,4). 令a=xm+yn=(-x+y,x+2y), 所以 解得 所以a在基m,n下的坐标为(0,2).x y=2 x 2y=4     ， ， x=0 y=2    ， ， 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行,其中x∈R,则|a-b|= (　　) A.2 B. 0 C.-2 D.2 【解析】选AD.由a∥b得-x-x(2x+3)=0,所以x=0或x=-2.当x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b= (-1,2),所以a-b=(2,-4),|a-b|=2 . 5 5 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知O(0,0)和A(6,3)两点,点P在线段OA上,且 ,若点P是线段OB的中点, 则点B的坐标为________.  【解析】如图所示,则 =(6,3),因为 ,所以 ,得 =(2,1), .所以点B的坐标为(4,2). 答案:(4,2) OP 1 PA 2  OA  OP 1 PA 2  OP 1 OA 3  1OP= OA3   OB=2OP (4 2)  ， 6.若已知A(1,2),B(0,-1),C(3,k).则 =________;若已知 =(m,-2),则k与m的值分别为________.  【解析】因为A(1,2),B(0,-1),所以 =(-1,-3). 因为 (-1,-3)-(3,k+1)= =(m,-2),所以m= ,k= . 答案:(-1,-3)　 AB  1 AB BC2   AB  1 1AB BC2 2    7 5( k)2 2   ， 7 2  1 2  1 7,2 2   四、解答题 7.(10分)已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设 且 (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值; (3)求向量 的坐标. AB BC CA     ， ， ，a b c CM 3 CN 2 .    ，c b MN  【解析】由题意得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以 解得 (3)设O为坐标原点.因为 所以 6m n 5 3m 8n 5        ， ， m 1 n 1.      ， CM OM OC 3 CN ON OC 2            ， ，c b MN CN CM= 2 3 (9 18).        ，b c