【数学】广东省深圳市四校2019-2020学年高二下学期期中考试联考试题

【数学】广东省深圳市四校2019-2020学年高二下学期期中考试联考试题

广东省深圳市四校2019-2020学年 高二下学期期中考试联考试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数满足，则复数的的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎3. 已知单位向量满足，若，则实数的值为（ ）‎ A. B.-2 C. 2 D. ‎ ‎4. 已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5. 下列命题中，真命题是（ ）‎ A. ； ‎ B. 命题“”的否定是“”；‎ C. “”是“”的充分不必要条件；‎ D. 函数在区间内有且仅有两个零点．‎ ‎6．已知正项等比数列，若向量，，，‎ 则=（ ）‎ A．12 B． C．5 D．18‎ ‎7. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎8. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ ‎　‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎-0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是（ ）‎ A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎9．中，点D在线段（不含端点）上，且满足，‎ 则的最小值为（ ）‎ A． B． C．6 D．8‎ ‎10. 已知双曲线：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为,，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎11．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经 验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古 代数学名著《九章算术》中．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其 一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，‎ 其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已 知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎13. 的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)‎ ‎14. 已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________．‎ ‎15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为____．‎ ‎16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 A,B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，‎ 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2, 1)，B(-2, 4)，‎ 点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；‎ 若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则 的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知向量，，.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，记数列的前项和为Tn，求T2020.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四面体中，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，四面体的体积为2，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.‎ ‎(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.‎ ‎(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？‎ 无并发症 并发症 合计 非重症 ‎38‎ ‎102‎ 重症 ‎10‎ 合计 ‎64‎ ‎138‎ 附： 若 , 则,‎ ‎，, .‎ 参考公式与临界值表：，其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，‎ 直线AP、BP、BQ的斜率分别记为．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；‎ 若不是，请说明理由．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.‎ ‎① 求实数的取值范围；‎ ‎② 求证：.‎ 参考答案 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】，选A.‎ ‎2.若复数满足，则复数的的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于，则，‎ 所以复数的的虚部是-1，故答案选B ‎3.已知单位向量满足，若，则实数的值为（ ）‎ A. B.-2 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，‎ 即，解得，故选：B.‎ ‎4.已知，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵b>1>c>0>a∴,故选A ‎5.下列命题中，真命题是（ ）‎ A. ； ‎ B. 命题“”的否定是“”；‎ C. “”是“”的充分不必要条件；‎ D. 函数在区间内有且仅有两个零点．‎ ‎【答案】C ‎6．已知正项等比数列，若向量，，，‎ 则=（ D ）‎ A．12 B． C．5 D．18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，故选D ‎7. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意作出其平面区域，‎ 令，化为，‎ 相当于直线的纵截距，‎ 由图可知，，解得，，‎ 则的最大值是, 故选C．‎ ‎8.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ ‎　‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎-0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是 A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎【答案】B ‎9．中，点D在线段（不含端点）上，且满足，‎ 则的最小值为（ ）‎ A． B． C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，且三点共线，所以且，则，当且仅当时，取等号，‎ 故有最小值，故选B．‎ ‎10. 已知双曲线：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为,，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为，，∴，，∴，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴，根据双曲线定义有，‎ ‎∴离心率.故选：D ‎11．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经 验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古 代数学名著《九章算术》中．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其 一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，‎ 其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已 知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意内切球直径2r=1，则 ‎，当且仅当b=c时取等号.‎ ‎∴鳖臑的体积为 ‎∴当且仅当b=c时，鳖臑的体积最小为, 故选：A ‎12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，设函数，‎ 则，‎ 因为是定义在区间上的可导函数，且满足，‎ 所以，所以函数在上为增函数，‎ 又由，即，‎ 即，所以，解得，‎ 即不等式的解集为. 故选：C.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎13. 的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)‎ ‎【答案】160‎ ‎14．已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】A、B、C、D四位同学站成一排照相，基本事件总数，A、B中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20，故A、B两人中至少有一人站在两端的概率． ‎ ‎16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 A, B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，‎ 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中， A(-2，1)，B(-2，4)，‎ 点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；‎ 若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则 的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知向量，，.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值.‎ ‎【解析】（1）向量，，，‎ 则 .......................3分 ‎∴T= . . ...... ........ .................4分 ‎（2）∵，∴，‎ ‎∵，∴，∴，∴， ...........7分 在DABC中，由余弦定理可得:‎ ‎，即．‎ 当且仅当时等号成立 ........ ........ ...9分 所以，‎ 故DABC面积的最大值为． ………...10分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，记数列的前项和Tn，求T2020.‎ ‎【解析】（1）因为数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ 所以，所以． ....... ........ ...2分 当时，． ....... ........ ...3分 当时，， ....... ........ ...5分 当时，也符合上式．‎ 所以数列的通项公式． ........ ........ ...6分 ‎（2）由（1）知，.. ...8分 所以数列的前项和 ‎ ‎. ..... ...... ...11分 ‎ 故. .... ...... ...12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四面体中，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，四面体的体积为2，‎ 求二面角的余弦值．‎ 解：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．‎ 因为，，‎ 所以Rt△≌Rt△．‎ 可得．所以平面，‎ 于是． …………（4分）‎ ‎（2）在Rt△中，因为，，‎ 所以，，，△的面积．‎ 因为平面，四面体的体积，‎ 所以，，，‎ 所以平面． …………（6分）‎ 以，，为，，轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ 设是平面的法向量，‎ 则，即，可取．…………（8分）‎ 设是平面的法向量，‎ 则，即，可取．…………（10分）‎ 因为， …………（11分）‎ 二面角的平面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为． …………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.‎ ‎(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.‎ ‎(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？‎ 无并发症 并发症 合计 非重症 ‎38‎ ‎102‎ 重症 ‎10‎ 合计 ‎64‎ ‎138‎ 附： 若 , 则,‎ ‎，, .‎ 参考公式与临界值表：，其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解析】（1）由已知体温落在之内的概率为，‎ ‎∴落在之外的概率为 ................2分 ‎ ................4分 ‎ ‎ . .............6分 ‎（2）填表如下： ................8分 无并发症 并发症 合计 非重症 ‎64‎ ‎38‎ ‎102‎ 重症 ‎10‎ ‎26‎ ‎36‎ 合计 ‎74‎ ‎64‎ ‎138‎ ‎ ................11分 而P(K2³10.828)=0.001，‎ 故由独立性检验的意义可知: 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关” . ................12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，‎ 直线AP、BP、BQ的斜率分别记为．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；‎ 若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）设，∵，则，‎ 又，则，代入上式，得. ………………..4分 ‎（2），又由（1）知，，‎ ‎，即． ………………………………………………..6分 设直线的方程为：，设，‎ 联立得：，‎ 由D>0得：，‎ 由韦达定理：，，…………………………..8分 ‎，，‎ 则，‎ 即：，‎ 所以：，得：或，……………………..11分 当时，直线，则直线过B（2，0），不合题意，‎ 当时，直线，则直线过定点， ‎ ‎∴直线PQ是过定点，该定点为 ……………….…………..12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.‎ ‎① 求实数的取值范围；‎ ‎② 求证：.‎ ‎【解析】（1）依题意，，，‎ 故，所以，‎ 据题意可知，，解得. 所以实数的值为2.……………..3分 ‎（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，且，‎ 所以在上有两个根，且，‎ 即在上有两个不相等的根.‎ 所以解得.‎ 当时，若或，，，‎ 函数 在和上单调递增；‎ 若，，，‎ 函数在上单调递减，‎ 故函数在上有两个极值点，且.‎ 所以，实数的取值范围是.……………………………………………..7分 ‎②由①可知，是方程的两个不等的实根，‎ 所以其中.‎ 故 ‎，‎ 令，其中.故，‎ 令，‎ ‎，在上单调递增.‎ 由于，，‎ 所以存在常数，使得，即，，‎ 且当时，，上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以当时，的最小值：‎ ‎，‎ 又，，‎ 所以，即，‎ 故得证. ……………………………………………………12分