高中数学必修2教案：4_2_1直线与圆的位置关系 (2)

高中数学必修2教案：4_2_1直线与圆的位置关系 (2)

‎4.2.1 直线与圆的位置关系 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）理解直线与圆的位置的种类；‎ ‎（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；‎ ‎（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.‎ ‎（二）过程与方法 设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：‎ ‎（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；‎ ‎（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；‎ ‎（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；‎ ‎3．情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.‎ 难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.‎ ‎（三）教学过程设想 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 ‎1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？‎ 师；让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.‎ 生：看图，并说出自己的看法.‎ 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.‎ 概念形成 ‎2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种 ‎（1）直线与圆相交，有两个公共点.‎ ‎（2）直线与圆相切，只有一个公共点.‎ ‎（3）直线与圆相离，没有公共点.‎ 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.‎ 生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.‎ 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.‎ 概念深化 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.‎ ‎3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？‎ 生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.‎ 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.‎ ‎4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？‎ 方法一：利用圆心到直线的距离d.‎ 方法二：利用直线与圆的交点个数.‎ 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.‎ 生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.‎ 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.‎ 应用举例 ‎5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？‎ 例1 如图，已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. ‎ 分析：方法一：由直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.‎ 师：指导学生阅读教科书上的例1.‎ 生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.‎ 例1 ‎①‎ ‎②‎ 解法一：由直线l 与圆的方程，得 消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，‎ 因为△= (–3)2 – 4×1×2 ‎ ‎= 1＞0‎ 所以，直线l与圆相交，有两个公共点.‎ 解法二：圆x2 + y2 –2y – 4 = 0可化为x2 + (y – 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C (0，1)到直线l 的距离 d =＜.‎ 所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.‎ 由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.‎ 把x1=2代入方程①，得y1= 0；‎ 把x2=1代入方程①，得y2= 0；‎ 体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.‎ 使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.‎ ‎6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？‎ 例2 已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为，求直线l 的方程.‎ 所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是 A (2，0)，B (1，3). ‎ 生：阅读例1.‎ 师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.‎ 生：交流自己总结的步骤.‎ 师：展示解题步骤.‎ 例2 解：将圆的方程写成标准形式，得 x2 + (y2 + 2)2 =25，‎ 所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5.‎ 如图，因为直线l 的距离为，所以弦心距为 ‎，‎ 即圆心到所求直线l的距离为.‎ 因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为 y + 3 = k (x + 3)，‎ 即k x – y + 3k –3 = 0.‎ 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离 d =.‎ 因此，，‎ 即|3k – 1| =，‎ 两边平方，并整理得到 ‎2k2 –3k –2 = 0，‎ 解得k =，或k =2.‎ 所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为 y + 3 =(x + 3)，‎ 或y + 3 = 2(x + 3).‎ 即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.‎ ‎7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？‎ ‎8．通过例2的学习，你发现了什么？‎ 半弦、弦心距、半径构成勾股弦关系.‎ 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题.‎ 生：阅读教科书上的例2，并完成137页的练习题.‎ 师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.‎ 生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.‎ 进一步深化“数形结合”的数学思想.‎ 明确弦长的运算方法.‎ ‎9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4.‎ 师：引导学生完成练习题.‎ 生：互相讨论、交流，完成练习题.‎ 巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.‎ 归纳总结 ‎10．课堂小结：‎ 教师提出下列问题让学生思考：‎ ‎（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？‎ ‎（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？‎ ‎（3）如何求出直线与圆的相交弦长？‎ 师生共同回顾 回顾、反思、总结形成知识体系 课外作业 布置作业：‎ 见习题4.2 第一课时 学生独立完成 巩固所学知识 备选例题 例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，‎ ‎（1）圆与直线有两个公共点；‎ ‎（2）圆与直线只有一个公共点；‎ ‎（3）圆与直线没有公共点.‎ 解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为，圆的半径.‎ ‎（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；‎ ‎（2）当d = r，即b= 时，直线与圆相切，有一个公共点；‎ ‎（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.‎ 解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得 ‎2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0，=16 – 4b2.‎ ‎（1）当＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；‎ ‎（2）当＝0，即时，直线与圆有一个公共点；‎ ‎（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.‎ 例2 直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25相交，截得弦长l为，求m的方程.‎ ‎【解析】设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径r = 5，弦长的一半，‎ 所以由勾股定理，得：，‎ 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.‎ 由 ，得或k = 2.‎ 所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.‎ 例3 已知圆C：x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l， 使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.‎ ‎【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).‎ 解方程组得AB的中点N的坐标，‎ 由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|.‎ 又，‎ 所以 解得m = 1或m = –4.‎ 所以存在直线l，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0，‎ 并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.‎