2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

2.2　基本不等式 第 2 课时　基本不等式的应用 关键能力 · 合作学习 类型一　利用基本不等式求两个变量的最值问题 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 　角度 1 　常数代换法  【 典例 】 已知 a>0 ， b>0 ， a+b=1 ，则 的最小值为 _______.  【 思路导引 】 把“ 1” 代换为“ a+b”( 或者在 上乘以 (a+b) ，构造成基本不等式的原型，进而求出最小值 . 【 解析 】 因为 a>0 ， b>0 ， a+b=1 ，所以 即 的最小值为 4 ，当且仅当 a=b= 时等号成立 . 答案： 4 【 变式探究 】 (1) 本例的条件和结论互换即：已知 a>0 ， b>0 ， =4 ，则 a+b 的最小值为 _______.  【 解析 】 由 =4 ，得 =1. 所以 a+b= (a+b)= 当且仅当 a=b= 时取等号 . 答案： 1 (2) 若本例条件变为：已知 a>0 ， b>0 ， a+2b=3 ，则 的最小值为 _______.  【 解析 】 由 a+2b=3 得 所以 当且仅当 a=2b= 时，取等号 . 答案： 角度 2 　消元法  【 典例 】 已知 a>0 ， b>0 ，且 2a+b=ab-1 ，则 a+2b 的最小值为 _______.  【 思路导引 】 先把 2a+b=ab-1 变形为用 b 表示 a 的形式，再把 a+2b 中的 a 消去，配凑成能利用基本不等式求解的式子 . 【 解析 】 由 2a+b=ab-1 ，得 a= ， 因为 a>0 ， b>0 ，所以 a= >0 ， b+1>0 ，所以 b>2 ， 所以 a+2b= +2b= +2(b-2)+4 =2(b-2)+ +5≥ 当且仅当 2(b-2)= ，即 b=2+ 时等号成立 . 答案： 5+2 【 解题策略 】 1. 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题 . 应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1) 根据已知条件或其变形确定定值 ( 常数 ). (2) 把确定的定值 ( 常数 ) 变形为 1. (3) 把“ 1” 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式 . (4) 利用基本不等式求解最值 . 2. 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题 . 【 题组训练 】 1. 已知 a>0 ， b>0 ， a+b=2 ，则 y= 的最小值是 ( 　　 ) A. B.4 C. D.5 【 解析 】 选 C. 依题意，得 ·(a+b) 当且仅当 即 a= ， b= 时取等号，即 的最小值是 . 2. 若正数 x ， y 满足 x+3y=5xy ，则 3x+4y 的最小值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.5 D.6 【 解析 】 选 C. 由 x+3y=5xy ， 可得 =1 ， 所以 3x+4y=(3x+4y)· = =5 ，当且仅当 x=1 ， y= 时取等号，故 3x+4y 的最小值是 5. 【 补偿训练 】 若正数 x ， y 满足 x 2 +3xy-1=0 ，则 x+y 的最小值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【 解析 】 选 B. 对于 x 2 +3xy-1=0 可得 y= 所以 x+y= ( 当且仅当 = ，即 x= 时等号成立 ). 类型二　利用基本不等式证明不等式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 已知 a ， b ， c 为正实数，且 a+b+c=1 ，求证： ≥ 8. 四步 内容 理解 题意 条件： ① a ， b ， c 为正实数， ② a+b+c=1 结论： ≥ 8. 思路 探求 结合已知条件把不等式左边三部分分别运用基本不等式，再相乘即可得到不等式右边 . 【 解题策略 】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1) 策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知” . (2) 注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②利用同向不等式相加或相乘时要注意不等式成立的前提条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用 . 【 跟踪训练 】 设 a ， b ， c 都为正数， 求证： ≥ a+b+c. 【 证明 】 因为 a ， b ， c∈R + ， 所以 ∈ R + ， 所以 ≥ 2c ， ≥ 2a ， ≥ 2b ， 所以 2 ≥2(a+b+c) ， 所以 ≥ a+b+c ， 当且仅当 ，即 a=b=c 时取等号 . 类型三　基本不等式的实际应用 ( 数学建模 ) 【 典例 】 如图，动物园要围相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 . (1) 现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2) 要使每间虎笼面积为 24 m 2 ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【 思路导引 】 若 a>0 ， b>0 ， (1) 已知 a+b 为定值，可以求 ab 的最大值； (2) 已知 ab 为定值，可以求 a+b 的最小值 . 【 解析 】 设每间虎笼长 x m ，宽 y m ，则由条件知： 4x+6y=36 ，即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S ，则 S=xy. (1) 方法一：由于 2x+3y≥ 所以 2 ≤18 ，得 xy≤ ， 即 S≤ ，当且仅当 2x=3y 时，等号成立 . 由 解得 故每间虎笼长 4.5 m ，宽 3 m 时，可使面积最大 . 方法二 ：由 2x+3y=18 ，得 x=9- y. 因为 x>0 ，所以 9- y>0 ，所以 00 ， 所以 S≤ 当且仅当 6-y=y ，即 y=3 时，等号成立，此时 x=4.5. 故每间虎笼长 4.5 m ，宽 3 m 时，可使面积最大 . (2) 由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l ，则 l=4x+6y. 方法一：因为 2x+3y≥ =24 ， 所以 l=4x+6y=2(2x+3y)≥48. 当且仅当 2x=3y 时，等号成立 . 由 ，解得 故每间虎笼长 6 m ，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 . 方法二：由 xy=24 ，得 x= . 所以 l=4x+6y= 当且仅当 =y ，即 y=4 时，等号成立，此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m ，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 . 【 解题策略 】 应用基本不等式解决实际问题的方法 (1) 先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2) 建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案 . 【 跟踪训练 】 某镇计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室 . 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地 . 当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【 解析 】 设矩形温室的左侧边长为 a m ，后侧边长为 b m ，蔬菜的种植面积为 S m 2 ，则 ab=800. 所以 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4 =648 ，当且仅当 a=2b ，即 a=40 ， b=20 时等号成立，则 S 最大值 =648. 答：当矩形温室的左侧边长为 40 m ，后侧边长为 20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 m 2 . 课堂检测 · 素养达标 1. 若 a>0 ， b>0 ，且 a+b=4 ，则下列不等式恒成立的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D.4=a+b≥2 ( 当且仅当 a=b 时，等号成立 ) ，即 ≤ 2 ， ab≤4 ， ≥ ， A ， C 不成立； = = ≥1 ， B 不成立； a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=16-2ab≥8. 2. 若 x>0 ， y>0 ，且 =1 ，则 xy 有 ( 　　 ) A. 最大值 64 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 64 【 解析 】 选 D. 由题意，得 xy= xy=2y+8x≥ 所以 ≥ 8 ， 即 xy 有最小值 64 ，等号成立的条件是 x=4 ， y=16. 3. 设 02>0 ， 所以 y= ≤ = =4 ， 当且仅当 3x=8-3x ，即 x= 时，取等号 . 所以当 x= 时， y= 有最大值 4. 答案： 4 4. 已知 x>0 ， y>0 ，且 =1 ，则 x+y 的最小值为 _______.  【 解析 】 因为 x>0 ， y>0 ， =1 ， 所以 x+y= (x+y)= +10≥6+10=16 ， 当且仅当 = ，即 x=4 ， y=12 时，上式取等号 . 故当 x=4 ， y=12 时， (x+y) min =16. 答案： 16 5. 某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次 . 某班有 48 名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为 40 元 . 若使每名同学游 8 次，每人最少应交多少元钱？ 【 解析 】 设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元，则每批去 x 名同学，共需去 批，总开支又分为：①买卡所需费用 240x ，②包车所需费用 ×40. 所以 y=240x+ ×40(0

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