专题05+幂指对函数性质活用-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖（教师版）
专题05 幂指对函数性质活用
一．命题陷阱及易错点分析
指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中：
1.概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制；
（1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.
（2）指数函数底数讨论. 当时函数是减函数，当时函数是增函数.
（3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数.
（4）对数的底数和真数,它们都必须大于0，底数还要不等于1.
2.隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着.
3. 迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.
4.分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.
5. 等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题.
6.定义域为R与值域为R及特定定义域陷阱
7.幂指对函数中的倒序求和
二．【学习目标】
1．理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算．
2．掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用．
3．掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1)的关系．
三．【知识要点】
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______________________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．几种常见的对数
对数形式
特 点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
3.对数的性质(a>0，且a≠1，N>0)
① ＝________；
②logaaN＝________；
③换底公式：_____________________________；logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
4．对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝__________________；
②loga＝___________________；
③logaMn＝_______________；
④logamMn＝_____________．
5．对数函数的概念、图象和性质
定义
形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数叫对数函数
图象
性质
(1)定义域：_____________
(2)值域：________
(3)过点_____________，即x＝1时，y＝0
(4)在(0，＋∞)上是_______
在(0，＋∞)上是______
(5)x>1时，________
0
1时，________
0a−1>0，∴m=ab−1>aa−1>n=ba−1，则m>n，
本题选择C选项.
2.幂指对函数的性质
例2【江苏扬州2019模拟】已知是上的减函数，那么的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由在 上递减， 在上递减，结合即可得结果.
【点评】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.
练习1.函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，4） D．（4，+∞）
【答案】D
【解析】先求得函数的定义域，函数是复合函数，外函数是增函数，再找出内函数在定义域内的增区间即可。
【详解】由函数＝，可得x2﹣4x＞0，求得x＜0或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0或x＞4 }，
令t＝x2﹣4x，则＝
因为＝是定义域内的增函数，
只需找出函数t＝x2﹣4x 在定义域内的增区间．
利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x 在定义域内的增区间为（4，+∞），
故选：D．
【点睛】①研究函数的单调性，首先要考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是定义域内的某个区间。②对于复合函数的单调性，要综合考虑内外函数的单调性，利用“同增异减”的方法。
练习2.函数y =log0. 5(x2-3x-10)的递增区间是 （ ）
A．(- ∞，-2) B．(5，+ ∞) C．(- ∞，) D．(，+ ∞)
【答案】A
【解析】由得或.
当时，单调递减，
而,由复合函数单调性可知，在上是单调递增的，
故选A.学_科网
点睛：复合函数单调性的判断：.
当内层函数单调递增，外层函数单调增，则单调递增；
当内层函数单调递减，外层函数单调减，则单调递增；
内层函数单调递减，外层函数单调增，则单调递减；
内层函数单调递增，外层函数单调减，则单调递减.
将上述判断方法简称为“同增异减”.
3.幂指对函数的定义问题
例3．【2019四川遂宁模拟】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义得到a2－3a＋3=1， a>0且,解出方程即可.
【解析】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数,根据指数函数的定义得到a2－3a＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.
故答案为：C.
【点睛】这个题目考查的是指数函数的定义，即形如，a>0且，即是指数函数，题型基础.
练习1.若幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：∵经过点A的幂函数，所以m=1，，所以，，
则它在点A的切线方程为4x-4y+=0,故选C
考点：本题考查幂函数以及用导数研究函数的切线
点评：解决本题的关键是掌握幂函数的定义，以及导数的几何意义
练习2函数的图象经过的定点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由指数函数过定点，令，，则函数过定点，故选C.
4.幂指对函数的图像问题
例4．【沈阳2019模拟】若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A， 是减函数，所以A错误；对于选项B, 的图象是正确的,故选B．
考点：对数函数与幂函数的图象与性质．
【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有:
1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；
2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；
3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;
4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．
练习1．下图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知p分别为，中的一个，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的p值依次是 （ ）
A．-2，，，2 B．，-2， 2，
C．2，，，-2 D．2，，-2，
【答案】C
【解析】做直线，与四个函数图象从上到下的交点依次记为
而,从而相应于曲线的n依次为2，，，-2
故选C.
练习2.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得x-1-lnx,且x>0，令，所以在（0,1）单调递减，在(1,+ )上单调递增，且g(x)>g(1)=0,即g(x)>0恒成立，所以f(x)>0,且在（0,1）单调递增，在(1,+ )上单调递减。选A.
【点睛】对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，如本题函数的定义域与正负性，还有单调性。
5.幂指对奇偶性问题
例5.已知函数，则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】D
【解析】要使函数有意义，需满足，即函数的定义域为，∵函数的定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故选D.
练习1．“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B.
6.幂指对参数范围问题
例6．【辽宁重点高中2019联考】已知，设：函数在上单调递减；：函数的值域为，如果和只有一个是对的，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数在上单调递减，则；函数的值域为，则且，解得，因为和只有一个是对的，①若真假时，则且，所以；②若假真时，则且，所以不存在这样的实数，故选A．
考点：复合命题的真假判定及应用．
【方法点晴】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中指数函数和对数函数的图象与性质，以及复合命题的真假的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解命题，在根据真假和假真分类讨论是解答的关键，试题比较有一定的难度，属于中档试题．
练习1。设0ax2－3x＋5成立的x的集合是________．
【答案】(－∞，4)
【解析】为减函数，，，解得，故使条件成立的的集合为，故答案为.
7.幂指对综合问题
例7．设函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值.
（2）若，试求不等式的解集；
（3）若在上的最小值为，求m的值.
【答案】（1）1；（2）或；（3）.
【解析】（1）由函数f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（﹣x）+f（x）＝0对于任意实数都成立．即可得出k;（2）由（1）可知：f（x）＝ax﹣a﹣x，利用f（1）＞0，解得a．可得f（x
）,利用定义法证明即可；（3）由于a＝2，可得g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2f（x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2（2x﹣2﹣x）+2，利用换元法令t＝2x﹣2﹣x，得到关于 t的二次函数，利用（2）的结论和二次函数的单调性即可得出．
【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，所以，经检验符合题意。
（2）因为，所以，又由，所以，
易知是R上的单调递增函数，
原不等式化为，即，即，
所以或，所以不等式解集为或。
(2)因为，所以，即，所以或（舍去），
所以，
令
因为，所以，，
当时，当时，，
当时，当时，，
解得（舍去），综上可知。
【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．
练习1．已知a，，且，函数是奇函数．
求a，b的值；
如果函数的定义域为，求函数的值域；
对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）； （2）； （3）.
【解析】（1）利用f（﹣x）=﹣f（x）恒成立可得；
（2）分离常数后，判断单调性，利用单调性求值域；
（3）由不等式恒成立，令2x=t，换元分离参数可得对恒成立，用基本不等式求最值即可得解．
不等式
对任意恒成立，
令，
则对恒成立，
在时，递减，所以，．
【点睛】函数恒成立求参数取值范围是常考题型，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.
练习2．已知函数 (其中a＞0且a≠1)．
（1）求函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若，当x∈ 时，不等式恒成立，求实数m的范围．
【答案】（1）奇函数（2）
【解析】（1）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），可得函数f（x）是奇函数；（2）设,不等式恒成立即
【详解】（1）由条件知＞0，解得－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)；
可知函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝loga＝--loga＝－f(x)，
因此是奇函数．
（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2
，
因为
又﹣1＜x1＜x2＜1，所以，
因此有．
又，所以，
即f（x1）＞f（x2）．
所以当时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．
设,
可知是减函数，则，
解得：。
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，求函数的奇偶性的方法和步骤，属于中档题．
练习3．是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为14？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】.
【解析】令，分为和两种情形，由的范围得到新的变量的范围，故转化为二次函数在给定区间内求最值.
试题解析：令，则，开口向上，对称轴为，
当时，，故函数在上单调递增，故，
解得或（舍去）
当时，，故函数在上单调递增，故，
解得或（舍去）
综上所述：的值为.
考点：二次函数的性质.
【方法点睛】本题主要考查了换元法以及二次函数在给定区间内的最值问题，注重对基础的考查，难度一般；换元法的作用是利用整体代换，常设，转化为一元二次方程、二次函数等问题，要注意换元后的取值范围；二次函数在给定区间内求最值主要是根据所给区间与二次函数对称轴的关系，判断函数在该区间上的单调性，得其最值.
8.创新题型
例8.若定义运算，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
考点：函数的值域的求解．
【方法点晴】本题主要考查了函数的值域的计算问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，对数不等式的求解，对数函数的值域，以及对数函数的单调性的判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的新定义，得到新函数的解析式是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题．
练习1．若点分别是函数与的图象上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”.若，则这两函数的“孪生点”共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】B
【解析】
由题意， 与 “孪生点”的对数就是与（与关于原点对称）的交点个数，由，得，画出与的图象，如图，由图知，两图象有个交点，与这两函数的“孪生点”共有对，故选B.
【方法点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象、函数图象的对称变换，新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义两函数的“孪生点”达到考查对数函数、指数函数的图象以及函数图象的对称变换的目的.
9.对称问题
例9．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，令y=0，可得，所以 = 。故选B。
练习1．定义在上的函数，已知函数的图象关于直线对称，对任意的，（），都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线轴对称，所以函数为偶函数，由对任意的，（），都有知在上是减函数，所以在上是增函数，又因为，所以.故选A．
