2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)

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文档介绍

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)

‎2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合M={x|﹣3<x<1,x∈R},N={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},则M∩N=(  )‎ A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣3,﹣2,﹣1,0} C.{﹣2,﹣1,0} D.{﹣3,﹣2,﹣1}‎ ‎2.(5分)=(  )‎ A.2 B.2 C. D.1‎ ‎3.(5分)设x,y满足约束条件 ,则z=2x﹣3y的最小值是(  )‎ A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣3‎ ‎4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为(  )‎ A.2+2 B. C.2﹣2 D.﹣1‎ ‎5.(5分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)已知sin2α=,则cos2(α+)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=(  )‎ A.1+++‎ B.1+++‎ C.1++++‎ D.1++++‎ ‎8.(5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则(  )‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(  )‎ A.y=x﹣1或y=﹣x+1 B.y=(x﹣1)或 y=﹣(x﹣1)‎ C.y=(x﹣1)或 y=﹣(x﹣1) D.y=(x﹣1)或 y=﹣(x﹣1)‎ ‎11.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  )‎ A.∃x0∈R,f(x0)=0‎ B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(﹣∞,x0)上单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0 )=0‎ ‎12.(5分)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,+∞) B.(﹣2,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣1,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分.‎ ‎13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是  .‎ ‎14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=  .‎ ‎15.(4分)已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为  .‎ ‎16.(4分)函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.‎ ‎18.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点 ‎(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD ‎(Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C﹣A1DE的体积.‎ ‎19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(Ⅰ)将T表示为X的函数;‎ ‎(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.‎ ‎20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎21.(12分)己知函数f(x)=x2e﹣x ‎(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;‎ ‎(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.‎ ‎ ‎ 选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.‎ ‎22.【选修4﹣1几何证明选讲】‎ 如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE=DC•AF,B、E、F、C四点共圆.‎ ‎(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.‎ ‎23.选修4﹣﹣4;坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程 ‎(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎24.(14分)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】‎ 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎ ‎ ‎2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知集合M={x|﹣3<x<1,x∈R},N={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},则M∩N=(  )‎ A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣3,﹣2,﹣1,0} C.{﹣2,﹣1,0} D.{﹣3,﹣2,﹣1}‎ ‎【分析】找出集合M与N的公共元素,即可求出两集合的交集.‎ ‎【解答】解:∵集合M={x|﹣3<x<1,x∈R},N={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},‎ ‎∴M∩N={﹣2,﹣1,0}.‎ 故选C ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•新课标Ⅱ)=(  )‎ A.2 B.2 C. D.1‎ ‎【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.‎ ‎【解答】解:===.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件 ,则z=2x﹣3y的最小值是(  )‎ A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣3‎ ‎【分析】先画出满足约束条件:,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值.‎ ‎【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如下图所示,‎ 由得,‎ 由图可知目标函数在点A(3,4)取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为(  )‎ A.2+2 B. C.2﹣2 D.﹣1‎ ‎【分析】由sinB,sinC及b的值,利用正弦定理求出c的值,再求出A的度数,由b,c及sinA的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.‎ ‎【解答】解:∵b=2,B=,C=,‎ ‎∴由正弦定理=得:c===2,A=,‎ ‎∴sinA=sin(+)=cos=,‎ 则S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1.‎ 故选B ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】设|PF2|=x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.‎ ‎【解答】解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,‎ ‎∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,‎ 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ‎∴2a=3x,2c=x,‎ ‎∴C的离心率为:e==.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知sin2α=,则cos2(α+)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:∵sin2α=,‎ ‎∴cos2(α+)=[1+cos(2α+)]=(1﹣sin2α)=×(1﹣)=.‎ 故选A ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•新课标Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=(  )‎ A.1+++‎ B.1+++‎ C.1++++‎ D.1++++‎ ‎【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S+的值代替S得到新的S,并用k+1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,由此即可得到本题答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,可知该按以下步骤运行 第一次:S=1,‎ 第二次:S=1+,‎ 第三次:S=1++,‎ 第四次:S=1+++.‎ 此时k=5时,符合k>N=4,输出S的值.‎ ‎∴S=1+++‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则(  )‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知:a=log32∈(0,1),b=log52∈(0,1),c=log23>1,‎ 所以a=log32,b=log52=,‎ 所以c>a>b,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可.‎ ‎【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为:‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(  )‎ A.y=x﹣1或y=﹣x+1 B.y=(x﹣1)或 y=﹣(x﹣1)‎ C.y=(x﹣1)或 y=﹣(x﹣1) D.y=(x﹣1)或 y=﹣(x﹣1)‎ ‎【分析】根据题意,可得抛物线焦点为F(1,0),由此设直线l方程为y=k(x﹣1),与抛物线方程联解消去x,得﹣y﹣k=0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|=3|BF|,建立关于y1、y2和k的方程组,解之可得k值,从而得到直线l的方程.‎ ‎【解答】解:∵抛物线C方程为y2=4x,可得它的焦点为F(1,0),‎ ‎∴设直线l方程为y=k(x﹣1)‎ 由消去x,得﹣y﹣k=0‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 可得y1+y2=,y1y2=﹣4…(*)‎ ‎∵|AF|=3|BF|,‎ ‎∴y1+3y2=0,可得y1=﹣3y2,代入(*)得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4,‎ 消去y2得k2=3,解之得k=‎ ‎∴直线l方程为y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)‎ 故选:C ‎ ‎ ‎11.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  )‎ A.∃x0∈R,f(x0)=0‎ B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(﹣∞,x0)上单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0 )=0‎ ‎【分析】对于A,对于三次函数f(x )=x3+ax2+bx+c,由于当x→﹣∞时,y→﹣∞,当x→+∞时,y→+∞,故在区间(﹣∞,+∞)肯定存在零点;‎ 对于B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断;‎ 对于C:采用取特殊函数的方法,若取a=﹣1,b=﹣1,c=0,则f(x)=x3﹣x2﹣x,利用导数研究其极值和单调性进行判断;‎ D:若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x0 )=0,正确.‎ ‎【解答】解:‎ A、对于三次函数f (x )=x3+ax2+bx+c,‎ A:由于当x→﹣∞时,y→﹣∞,当x→+∞时,y→+∞,‎ 故∃x0∈R,f(x0)=0,故A正确;‎ B、∵f(﹣﹣x)+f(x)=(﹣﹣x)3+a(﹣﹣x)2+b(﹣﹣x)+c+x3+ax2+bx+c=﹣+2c,‎ f(﹣)=(﹣)3+a(﹣)2+b(﹣)+c=﹣+c,‎ ‎∵f(﹣﹣x)+f(x)=2f(﹣),‎ ‎∴点P(﹣,f(﹣))为对称中心,故B正确.‎ C、若取a=﹣1,b=﹣1,c=0,则f(x)=x3﹣x2﹣x,‎ 对于f(x)=x3﹣x2﹣x,∵f′(x)=3x2﹣2x﹣1‎ ‎∴由f′(x)=3x2﹣2x﹣1>0得x∈(﹣∞,﹣)∪(1,+∞)‎ 由f′(x)=3x2﹣2x﹣1<0得x∈(﹣,1)‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为:(﹣∞,﹣),(1,+∞),减区间为:(﹣,1),‎ 故1是f(x)的极小值点,但f(x )在区间(﹣∞,1)不是单调递减,故C错误;‎ D:若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x0 )=0,故D正确.‎ 由于该题选择错误的,故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,+∞) B.(﹣2,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣1,+∞)‎ ‎【分析】转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:因为2x(x﹣a)<1,所以,‎ 函数y=是增函数,x>0,所以y>﹣1,即a>﹣1,‎ 所以a的取值范围是(﹣1,+∞).‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分.‎ ‎13.(4分)(2013•新课标Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 0.2 .‎ ‎【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为5的情形,由古典概型的概率公式可得答案.‎ ‎【解答】解:从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数共有=10种情况,‎ 和为5的有(1,4)(2,3)两种情况,‎ 故所求的概率为:=0.2‎ 故答案为:0.2‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2013•新课标Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则= 2 .‎ ‎【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.‎ ‎【解答】解:∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 =0,‎ 故 =( )•()=()•()=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2,‎ 故答案为 2.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2013•新课标Ⅱ)已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 24π .‎ ‎【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高,再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA,最后根据球的表面积公式计算即得.‎ ‎【解答】解:如图,正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=(×)×OH=,‎ ‎∴OH=,‎ 在直角三角形OAH中,OA===‎ 所以表面积为4πr2=24π;‎ 故答案为:24π.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2013•新课标Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ=  .‎ ‎【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y=cos[2(x﹣)+φ]的图象,即y=cos(2x+φ﹣π)的图象.结合题意得函数y=sin(2x+)=‎ 的图象与y=cos(2x+φ﹣π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值.‎ ‎【解答】解:函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,得平移后的图象的函数解析式为 y=cos[2(x﹣)+φ]=cos(2x+φ﹣π),‎ 而函数y=sin(2x+)=,‎ 由函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,得 ‎2x+φ﹣π=,解得:φ=.‎ 符合﹣π≤φ<π.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2013•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.‎ ‎【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,,再利用等差数列的通项公式可得,化为d(2a1+25d)=0,解出d即可得到通项公式an;‎ ‎(II)由(I)可得a3n﹣2=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,﹣6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2.‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,‎ 由题意a1,a11,a13成等比数列,∴,‎ ‎∴,化为d(2a1+25d)=0,‎ ‎∵d≠0,∴2×25+25d=0,解得d=﹣2.‎ ‎∴an=25+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+27.‎ ‎(II)由(I)可得a3n﹣2=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,﹣6为公差的等差数列.‎ ‎∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n﹣2=‎ ‎=‎ ‎=﹣3n2+28n.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2013•新课标Ⅱ)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点 ‎(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD ‎(Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C﹣A1DE的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接AC1 交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1∥平面A1CD.‎ ‎(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用 勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得 的值,再根据三棱锥C﹣A1DE的体积 为••CD,运算求得结果.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:连接AC1 交A1C于点F,则F为AC1的中点.‎ ‎∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,故DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.‎ 由于DF⊂平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.‎ ‎(Ⅱ)∵AA1=AC=CB=2,AB=2,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.‎ 由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1 ,∴CD==.‎ ‎∵A1D==,同理,利用勾股定理求得 DE=,A1E=3.‎ 再由勾股定理可得+DE2=,∴A1D⊥DE.‎ ‎∴==,‎ ‎∴=••CD=1.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•新课标Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(Ⅰ)将T表示为X的函数;‎ ‎(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.‎ ‎【分析】(I)由题意先分段写出,当X∈[100,130)时,当X∈[130,150)时,和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可.‎ ‎(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.再由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.‎ ‎【解答】解:(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T=500X﹣300(130﹣X)=800X﹣39000,‎ 当X∈[130,150]时,T=500×130=65000,‎ ‎∴T=.‎ ‎(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,‎ 所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2013•新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求的轨迹方程联立,解出点P的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆P的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设圆心P(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=x2+r2,同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=y2+r2,由两式整理得x2+3=y2+2,整理得y2﹣x2=1即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线 ‎(Ⅱ)由P点到直线y=x的距离为得,=,即|x﹣y|=1,即x=y+1或y=x+1,分别代入y2﹣x2=1解得P(0,﹣1)或P(0,1)‎ 若P(0,﹣1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y+1)2+x2=3;‎ 若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y﹣1)2+x2=3;‎ 综上,圆P的方程为(y+1)2+x2=3或(y﹣1)2+x2=3‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2013•新课标Ⅱ)己知函数f(x)=x2e﹣x ‎(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;‎ ‎(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′(x),利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与x轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x2e﹣x,‎ ‎∴f′(x)=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x(2x﹣x2),‎ 令f′(x)=0,解得x=0或x=2,‎ 令f′(x)>0,可解得0<x<2;‎ 令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,‎ 故函数在区间(﹣∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.‎ ‎∴x=0是极小值点,x=2极大值点,又f(0)=0,f(2)=.‎ 故f(x)的极小值和极大值分别为0,.‎ ‎(Ⅱ)设切点为(),‎ 则切线方程为y﹣=(x﹣x0),‎ 令y=0,解得x==,‎ ‎∵曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数,‎ ‎∴(<0,‎ ‎∴x0<0或x0>2,‎ 令,‎ 则=.‎ ‎①当x0<0时,0,即f′(x0)>0,∴f(x0)在(﹣∞,0)上单调递增,∴f(x0)<f(0)=0;‎ ‎②当x0>2时,令f′(x0)=0,解得.‎ 当时,f′(x0)>0,函数f(x0)单调递增;当时,f′(x0)<0,函数f(x0)单调递减.‎ 故当时,函数f(x0)取得极小值,也即最小值,且=.‎ 综上可知:切线l在x轴上截距的取值范围是(﹣∞,0)∪.‎ ‎ ‎ 选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.‎ ‎22.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣1几何证明选讲】‎ 如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE=DC•AF,B、E、F、C四点共圆.‎ ‎(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.‎ ‎【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB=∠A,及BC•AE=DC•AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD=∠AFE.‎ 利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE=∠DBC,进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB=BE,可得CE=DC,利用切割线定理可得DC2=DB•DA,CA2=CB2+BA2,都用DB表示即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB=∠A,‎ ‎∵BC•AE=DC•AF,∴.‎ ‎∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD=∠AFE.‎ ‎∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE=∠DBC,∴∠CFE=∠AFE=90°.‎ ‎∴∠CBA=90°,∴CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)连接CE,∵∠CBE=90°,‎ ‎∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,得CE=DC,‎ 又BC2=DB•BA=2DB2,‎ ‎∴CA2=4DB2+BC2=6DB2.‎ 而DC2=DB•DA=3DB2,‎ 故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值==.‎ ‎ ‎ ‎23.(2013•新课标Ⅱ)选修4﹣﹣4;坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程 ‎(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎【分析】(I)根据题意写出P,Q两点的坐标:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标,从而得出M的轨迹的参数方程;‎ ‎(II)利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==,再验证当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎【解答】解:(I)根据题意有:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),‎ ‎∵M为PQ的中点,故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα),‎ ‎∴求M的轨迹的参数方程为:(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(II)M到坐标原点的距离d==(0<α<2π).‎ 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎ ‎ ‎24.(14分)(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】‎ 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎【分析】(Ⅰ)依题意,由a+b+c=1⇒(a+b+c)2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,利用基本不等式可得3(ab+bc+ca)≤1,从而得证;‎ ‎(Ⅱ)利用基本不等式可证得:+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,三式累加即可证得结论.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得:‎ a2+b2+c2≥ab+bc+ca,‎ 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;qiss;minqi5;wfy814;ywg2058;lincy;caoqz;sxs123;沂蒙松;xintrl(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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