2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期期末考试数学（理）试题

2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于 A．-2 B．‎2 ‎C． D．-1‎ ‎2．设全集是实数集，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设等差数列前项和为，若，，则 ‎ A．18 B．‎16 ‎C．14 D．12‎ ‎4．函数的部分图象大致是 ‎ A．B．C．D．‎ ‎5．“”是“直线与圆相切”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 ‎ A．1：3 B．1：4 ‎ C．1：5 D．1：6‎ 7． 设平面向量，，若与的夹 角为锐角，则的取值范围是 A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎8．已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是 ‎ A．若则 B．若则 C．若则 D．若在内，则 ‎9．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），则所得图象的的一条对称轴方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，且，则向量在方向上的投影为 ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎11．如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若且，则的值为 ‎ A．8 B． C． D．4‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知向量,,，若,则______．‎ ‎14．当时，函数有最小值，则的值为________.‎ ‎15．已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的表面积为________________.‎ ‎16．已知函数，则关于不等式的解集为_______．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，已知.‎ ‎（I）求B；‎ ‎（II）若的周长为，求的面积.‎ ‎18．（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）‎ ‎（1）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ 附：‎ ‎ ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎ ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知是椭圆与抛物线的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．‎ ‎（1）求椭圆及抛物线的方程；‎ ‎（2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值 ‎21．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）讨论极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中.已知曲线(为参数)，.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线.‎ ‎(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎(2)在曲线上取一点，使点到直线的距离最大，求最大距离及此时点的坐标.‎ ‎23．设.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知x，y实数满足，且的最大值为1，求a的值.‎ ‎2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 理科数学试题参考答案 ‎1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（Ⅰ）,‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎18．（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，所以应收集90位女生的样本数据。 ‎ ‎（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. ‎ ‎（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得 有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”‎ ‎19．（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．（Ⅰ）抛物线：一点 ‎，即抛物线的方程为，‎ ‎ ‎ 又在椭圆：上 ‎，结合知（负舍）， ，‎ 椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，‎ ‎①当时，，直线的方程，，故 ‎②当时，直线的方程为，由得.‎ 由弦长公式知 .‎ 同理可得. ‎ ‎.‎ 令，则，当时，，‎ 综上所述：四边形面积的最小值为8.‎ ‎21．（Ⅰ）的定义域为，，‎ ‎①若，则，‎ 所以当时，；当时，，‎ 所以在上递减，在递增.‎ 所以为唯一的极小值点，无极大值，‎ 故此时有一个极值点.‎ ‎②若，令，‎ 则，，‎ 当时，，‎ 则当时，；当时，；‎ 当时，.‎ 所以－2，分别为的极大值点和极小值点，‎ 故此时有2个极值点.‎ 当时，，‎ 且不恒为0，‎ 此时在上单调递增，无极值点 当时，，‎ 则当时，；当时，‎ ‎；当时，.‎ 所以，－2分别为的极大值点和极小值点，‎ 故此时有2个极值点.‎ 综上，当时，无极值点；‎ 当时，有1个极值点；‎ 当或时，有2个极值点.‎ ‎（Ⅱ）证明：若是的一个极值点，‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 又，所以，‎ 且，则，‎ 所以.‎ 令，则，‎ 所以，‎ 故 又因为，所以，令，得.‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以是唯一的极大值点，也是最大值点，‎ 即，‎ 故，即.‎ ‎22．解：（1）的直角坐标方程为 曲线的普通方程为 ‎（2）设，则 当时，最大，‎ ‎，，‎ ‎23．解：（1）当时，不等式化为，此时， ‎ 当时，不等式化为，成立， ‎ 当时，不等式化为，此时， ‎ 综上所述，原不等式的解集为； ‎ ‎（2）柯西不等式得，因为，‎ 所以，（当时，取等号），‎ 又因为的最大值为1，所以.‎