2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）

‎2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．（5分）=（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i ‎3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　）‎ A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．‎ ‎5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（　　）‎ A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）‎ ‎6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（　　）‎ A．5 B．8 C．12 D．18‎ ‎8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]‎ ‎10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（　　）‎ A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B．y=f（x）的图象关于x=对称 C．f（x）的最大值为 D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=　　．‎ ‎14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　　种．（用数字作答）‎ ‎15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　　．‎ ‎16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．‎ ‎18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．‎ ‎（Ⅰ）求B．‎ ‎（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．‎ ‎20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．‎ ‎21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．‎ ‎（I）求a，b；‎ ‎（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；‎ ‎（II）设数列{an}的通项an=1+．‎ ‎　‎ ‎2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2013•大纲版）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．‎ ‎【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，‎ 所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，‎ 所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•大纲版）=（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i ‎【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．‎ ‎【解答】解：‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•大纲版）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，．‎ ‎∴=（2λ+3，3），．‎ ‎∵，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•大纲版）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　）‎ A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．‎ ‎【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．‎ ‎【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），‎ ‎∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．‎ ‎∴则函数f（2x+1）的定义域为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（　　）‎ A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）‎ ‎【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．‎ ‎【解答】解：设y=log2（1+），‎ 把y看作常数，求出x：‎ ‎1+=2y，x=，其中y＞0，‎ x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•大纲版）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：∵3an+1+an=0‎ ‎∴‎ ‎∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ‎∵‎ ‎∴a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）‎ 故选C ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•大纲版）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（　　）‎ A．5 B．8 C．12 D．18‎ ‎【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr 令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，‎ ‎（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr 令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，‎ ‎（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•大纲版）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．‎ ‎【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．‎ 设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．‎ ‎∵=，=，‎ ‎∴==，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•大纲版）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]‎ ‎【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，‎ 故≥0在（，+∞）上恒成立，‎ 即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，‎ 令h（x）=﹣2x，‎ 则h′（x）=﹣﹣2，‎ 当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．‎ ‎∴h（x）＜h（）=3‎ ‎∴a≥3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，‎ 则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．‎ ‎【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 如下图所示：‎ 则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），‎ ‎=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），‎ 设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），‎ 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2013•大纲版）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），‎ 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），‎ 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∴x1+x2=4+，x1x2=4．‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=﹣16，‎ 又=0，‎ ‎∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0‎ ‎∴k=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•大纲版）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（　　）‎ A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B．y=f（x）的图象关于x=对称 C．f（x）的最大值为 D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 ‎【分析】A、用中心对称的充要条件，直接验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；‎ B、用轴对称的条件直接验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；‎ C、可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；‎ D、可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．‎ ‎【解答】解：‎ A、因为f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；‎ B、因为f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=对称，故B正确；‎ C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上增，在[]与[]上减，又y（﹣1）=0，y（）=，故函数的最大值为，故C错误；‎ D、因为f（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确．‎ 由于该题选择错误的，故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）（2013•大纲版）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=　2　．‎ ‎【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．‎ ‎【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，‎ 又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣‎ 则cotα==2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•大纲版）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480　种．（用数字作答）‎ ‎【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．‎ ‎【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，‎ 然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，‎ 所以共有：=480．‎ 故答案为：480．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•大纲版）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　[，4]　．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．‎ ‎【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：‎ 因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．‎ 所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，‎ 当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．‎ 又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．‎ 所以≤a≤4．‎ 故答案为：[，4]‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于　16π　．‎ ‎【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角 根据题意得OC=，CK=‎ 在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即 ‎∴r2=4‎ ‎∴球O的表面积等于4πr2=16π 故答案为16π ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）（2013•大纲版）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．‎ ‎【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式 ‎【解答】解：设数列的公差为d 由得，3‎ ‎∴a2=0或a2=3‎ 由题意可得，‎ ‎∴‎ 若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意 若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）‎ 解可得d=0或d=2‎ ‎∴an=3或an=2n﹣1‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．‎ ‎（Ⅰ）求B．‎ ‎（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．‎ ‎【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．‎ ‎【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，‎ ‎∴a2+c2﹣b2=﹣ac，‎ ‎∴cosB==﹣，‎ 又B为三角形的内角，‎ 则B=120°；‎ ‎（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，‎ ‎∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，‎ ‎∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，‎ 则C=15°或C=45°．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．‎ ‎【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；‎ ‎（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．‎ ‎【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形 过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE ‎∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD 因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB ‎∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB ‎∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；‎ ‎（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB ‎∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD ‎∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD 取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，‎ 则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD 连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角 连接AG、EG，则EG∥PB ‎∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，‎ 设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3‎ 在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3‎ ‎∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，‎ 即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•大纲版）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．‎ ‎【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．‎ ‎（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．‎ ‎【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2‎ 表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．‎ 则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．‎ B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，‎ 则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．‎ P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．‎ P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．‎ 从而EX=0×+1×+2×=．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•大纲版）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．‎ ‎（I）求a，b；‎ ‎（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．‎ ‎【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；‎ ‎（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．‎ ‎【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2‎ 所以C的方程为8x2﹣y2=8a2‎ 将y=2代入上式，并求得x=±，‎ 由题设知，2=，解得a2=1‎ 所以a=1，b=2‎ ‎（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①‎ 由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是 ‎|AF1|==﹣（3x1+1），‎ ‎|BF1|==3x2+1，‎ ‎|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即 故=，解得，从而=﹣‎ 由于|AF2|==1﹣3x1，‎ ‎|BF2|==3x2﹣1，‎ 故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16‎ 因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•大纲版）已知函数．‎ ‎（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；‎ ‎（II）设数列{an}的通项an=1+．‎ ‎【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；‎ ‎（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论 ‎【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，‎ f′（x）==，‎ ‎∴f′（0）=0‎ 欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，‎ 当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，‎ 若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，‎ 若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0‎ 恒成立，‎ 综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为 ‎（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即 取x=，则 于是a2n﹣an+=++…++‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=＞=ln2n﹣lnn=ln2‎ 所以 ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；沂蒙松；minqi5；吕静；豫汝王世崇；wyz123；刘长柏；xintrl；wubh2011；邢新丽；sllwyn；ywg2058（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日