2019年高考数学总复习检测第17讲 导数在函数中的应用——极值与最值
第17讲 导数在函数中的应用——极值与最值
1．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
因为y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
所以当－1
0；当x>1时，y′<0，
所以x＝1时，y有极大值2，所以b＝1，c＝2，
又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.
2．函数f(x)＝在[0,1]上的最大值为(B)
A．0 B.
C．e D.
因为f′(x)＝＝≥0在[0,1]上恒成立，所以f(x)在[0,1]上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最大值.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－2,0]上的最大值和最小值分别为(C)
A．1，－1 B．3,1
C．3，－1 D．5,1
f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝－1或x＝1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,－1)
－1
(－1,0)
0
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－1
3
1
所以最大值为3，最小值为－1.
4．(2017·鞍山二模)已知函数f(x)＝a－x＋xex，若存在x0>－1，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围为(B)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
由f(x)≤0，得a≤x－xex，
令h(x)＝x－xex(x>－1)，h′(x)＝1－(1＋x)ex，
令g(x)＝h′(x)，g′(x)＝－(x＋2)ex<0，
所以h′(x)在(－1，＋∞)内递减，而h′(0)＝0，
所以h(x)在(－1,0)内递增，在(0，＋∞)内递减，
所以h(x)的最大值为h(0)＝0.故a≤0.
5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝ 32 .
由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，
又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，
所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
6．(2016·深圳市第二次调研)函数f(x)＝x2－3x＋ln x在x＝ 处取得极大值．
因为f′(x)＝2x－3＋＝，
x∈(0，)时，f′(x)>0，x∈(，1)时，f′(x)<0，
所以函数f(x)＝x2－3x＋ln x在x＝处取得极大值．
7．设f(x)＝，其中a为正实数.
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
f′(x)＝ex.①
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.
综合①，可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞,)
(,)
(,＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极
大
值
极
小
值
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)是R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，
因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又a>0，知00时，f(x)(B)
A. 有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
由题设知，当x>0时，[]′＝＝＝xex，
可得＝(x－1)ex＋C(C为常数)，
又f(1)＝0，得C＝0，所以f(x)＝x(x－1)ex.
又f′(x)＝(x2＋x－1)ex，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝(舍去)，
所以当x>0时，x∈(0，)，f′(x)<0，x∈(，＋∞)，f′(x)>0，
所以当x>0时，f(x)有极小值f()，无极大值．
9．(2017·天津红桥区模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为 －13 .
因为f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，
所以f′(2)＝0，又f′(x)＝－3x2＋2ax，
由f′(2)＝－12＋4a＝0，所以a＝3.
所以f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.
当m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为f(x)的最小值与f′(x)的最小值的和．
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)，
所以f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)＝－4.
因为f′(x)＝－3(x－1)2＋3，
又f′(1)＝3，f′(－1)＝－9，所以f′(x)min＝－9.
所以f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
10．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈(0，)时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间[0，]上单调递减，
所以对任意x∈(0，]有h(x)
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