2019年高考数学总复习检测第44讲 基本不等式
第44讲 基本不等式
1．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(D)
A．x＋≥2 B．x＋≤－2
C.≥ D．|x＋|≥2
因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2，所以A，B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.
2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
1，即v>a.
3．(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(C)
A. B．2
C．2 D．4
由＋＝知a>0，b>0，
所以＝＋≥2 ，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，
所以ab的最小值为2.
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(B)
A．3 B．4
C. D.
利用基本不等式，
x＋2y＝8－x·(2y)≥8－()2，
整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，
又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.
当且仅当x＝2，y＝1时取等号．
5．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为 4 .
因为a，b∈R，ab＞0，
所以≥＝4ab＋≥2 ＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.
6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 20 (m)．
设矩形的高为y(m)，面积为S(m2)，
由三角形相似得＝，即x＋y＝40.
所以S＝xy≤()2＝400，
当且仅当x＝y＝20时等号成立．
7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1.
(1)求＋的最小值；
(2)求log2x＋log2y的最大值．
(1)因为＋＝(＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当＝，即x＝，y＝时，取“＝”．
所以＋的最小值为9.
(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(·4x·y)
≤log2[()2]＝log2＝－4，
当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时取“＝”．
所以log2x＋log2y的最大值为－4.
8．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式
(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是(C)
A．[－1,7] B．(－∞，3]
C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
由题意可知，不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，即x－x2－a＋ax≤a＋2，
所以a≤对x>2都成立，
即a≤()min.
由于＝(x－2)＋＋3≥2＋3＝7(x>2)，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a≤7.
9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a，b满足：|a|＝|b|＝1且a·b＝，若c＝xa＋yb，
其中x>0，y>0且x＋y＝2，则|c|的最小值是 .
因为|a|＝|b|＝1，a·b＝，
所以|c|2＝x2＋y2＋2xya·b＝x2＋y2＋xy
＝(x＋y)2－xy＝4－xy≥4－()2≥3.
当且仅当x＝y＝1时，取“＝”．
所以|c|≥.
10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
(1)设铁栅长为x米，两侧砖墙长为y米，且x，y>0.顶部面积S＝xy，
依题意得，400x＋900y＋200xy＝32000，
由基本不等式得
32000＝400x＋900y＋200xy≥2＋200xy
＝1200＋200xy，
即32000≥1200＋200S，即S＋6－160≤0，
令t＝(t>0)，得t2＋6t－160≤0，
即(t－10)(t＋16)≤0，
所以0
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