2020届二轮复习(文)圆锥曲线的定义、方程及性质作业

2020届二轮复习(文)圆锥曲线的定义、方程及性质作业

专题限时集训(十)　圆锥曲线的定义、方程及性质 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2019·合肥模拟)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1　 B.－＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ A　[由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝x＝x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)‎ A．2sin 40° B．2cos 40°‎ C. D. D　[由题意可得－＝tan 130°，‎ 所以e＝＝＝ ‎＝＝.‎ 故选D.]‎ ‎3．[一题多解](2019·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)在C上，|AF|＝3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是(　　)‎ A．12 B．10‎ C．9 D．4.5‎ C　[法一：因为A(1，a)(a＞0)在抛物线C上，所以a2＝8，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故直线AF的方程为y＝－2(x－2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得|BF|＝4＋2＝6，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝9，故选C.‎ 法二：因为直线AB过焦点F，所以xAxB＝p2＝4，又xA＝1，所以xB＝4，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋4＝9，故选C.]‎ ‎4．(2019·青岛模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. C　[如图，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝‎2c，化简可得(‎2a2－3b2)(‎2a2＋b2)＝0，所以‎2a2－3b2＝0，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.]‎ ‎5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)‎ A. B. C. D. B　[由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.‎ 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，‎ 则解得所以P，‎ 所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.‎ 故选B.]‎ ‎6．(2019·延安一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝，|BF|＝2，则p＝________.‎ ‎1　[如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵|AF|＝，|BF|＝2，‎ ‎∴根据抛物线的定义可得x1＝－，x2＝2－，‎ ‎∴＝＝＝，∴9＝2－，‎ ‎∴p＝1.]‎ ‎7．(2019·长春模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．‎ ＋＝1　[∵F为椭圆的右焦点，|OF|＝，∴c＝.‎ 设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，‎ ‎∵A，B为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，‎ ‎∴A是长轴右端点，＋＝1，∴yM＝，‎ ‎∴M.‎ ‎∵A(，0)，B(0，b)，∴C.‎ ‎∵kOM＝kOC，∴＝，‎ ‎∴b＝.‎ ‎∴所求椭圆方程是＋＝1.]‎ ‎8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF‎1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．‎ ‎(3，)　[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．‎ 因为点M在椭圆＋＝1上，‎ 所以联立方程可得解得 又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝－1上的点，且FP⊥FQ，求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．‎ ‎[解]　(1)抛物线C的准线方程为x＝－，‎ 所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋＝3，‎ 解得p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点．‎ 理由如下：‎ 设点P，点Q(－1，m)．‎ 由(1)得焦点F(1,0)，‎ 则＝，＝(－2，m)，‎ 由题意可得·＝0，‎ 故－2＋my0＝0，从而m＝.‎ 故直线PQ的斜率kPQ＝＝.‎ 故直线PQ的方程为y－y0＝，‎ 得x＝－.①‎ 又抛物线C的方程为y2＝4x，②‎ 所以由①②得(y－y0)2＝0，故y＝y0，x＝.‎ 故直线PQ与抛物线C只有一个交点．‎ ‎10．(2019·永州三模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆过点(0,2)，点Q为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，且△QF‎1F2的周长为4＋4.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过点F1，F2分别作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且|AB|＋|CD|＝6，求k1k2的值．‎ ‎[解]　(1)由题意可知， 解之得a＝2，b＝2，‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意可知，F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ 设直线AB的方程为y＝k1(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－8＝0，‎ ‎∴Δ＝(8k)2－4(1＋2k)(8k－8)＝32(k＋1)＞0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎|AB|＝|x1－x2|＝＝4，‎ 同理联立方程，由弦长公式可知，|CD|＝4，‎ ‎∵|AB|＋|CD|＝6，‎ ‎∴4＋4＝6，‎ 化简得kk＝，则k1k2＝±.‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 双曲线的渐近线、离心率、直线与抛物线的位置关系 双曲线的离心率问题，历来是高考的热点．本题以求双曲线的离心率为背景，综合考查双曲线的基本性质、直线与抛物线位置关系的应用．考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养 ‎2‎ 椭圆、圆 与椭圆(抛物线)、圆有关的圆锥曲线问题在近几年高考中都有涉及，是高考的热点题型，多作为压轴题出现，本题将椭圆(抛物线)与圆相结合，考查三角形面积最值的求解，综合考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养，符合高考的命题规律 ‎【押题1】　[一题多解]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.　　　　B．‎5　‎　　　C.　　　　D. D　[由于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2‎ ‎＋1只有一个公共点，所以直线y＝x与抛物线y＝x2＋1相切．‎ 法一：由得ax2－bx＋a＝0，则该方程有两个相等的实数解，即Δ＝b2－‎4a2＝0，解得＝4，所以离心率e＝＝＝.故选D.‎ 法二：设切点为(x0，x＋1)，对y＝x2＋1求导，得y′＝2x，则x＋1＝x0,2x0＝，所以＝2，所以离心率e＝＝＝.故选D.]‎ ‎【押题2】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点到直线l：y＝x的距离分别为，.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)过圆O：x2＋y2＝4上任意一点P作椭圆的两条切线PM和PN分别与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)由直线l的方程知，直线l与两坐标轴的夹角均为45°，‎ 则可得长轴端点到直线l的距离为a，短轴端点到直线l的距离为b，‎ 所以解得所以c＝.‎ 于是椭圆C的离心率e＝＝＝.‎ ‎(2)设P(xP，yP)，则x＋y＝4.‎ ‎①若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则xP＝±，yP＝±1，‎ 另一条切线的斜率为0，从而PM⊥PN.‎ 此时S△PMN＝|PM|·|PN|＝×2×2＝2.‎ ‎②若两条切线的斜率均存在，则xP≠±，由(1)知，椭圆方程为＋y2＝1，‎ 设过点P的椭圆的切线方程为y－yP＝k(x－xP)，‎ 代入椭圆方程，消去y并整理，得(3k2＋1)x2＋6k(yP－kxP)x＋3(yP－kxP)2－3＝0.‎ 依题意有Δ＝0，即(3－x)k2＋2xPyPk＋1－y＝0.‎ 设切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝＝＝－1，即PM⊥PN.‎ 所以线段MN为圆O的直径，所以|MN|＝4.‎ 所以S△PMN＝|PM|·|PN|≤(|PM|2＋|PN|2)＝|MN|2＝4，‎ 当且仅当|PM|＝|PN|＝2时，S△PMN取得最大值，最大值为4.‎ 综合①②可得，△PMN面积的最大值为4.‎