湖北省黄冈市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湖北省黄冈市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

黄冈市2018-2019学年高二下学期期末考试数学理试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.若复数满足为虚数单位），则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.‎ ‎2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 B. 年接待游客量逐年增加 C. 月接待游客量逐月增加 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到错误.‎ ‎【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：月份，可知正确；‎ 年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知正确；‎ 以年月和月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知错误；‎ 每年月至月的月接待游客量相对于月至月的变化较小，数量更加稳定，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.‎ ‎3.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）,那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（　　）‎ A. 在时刻，两车的位置相同 B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 在时刻，甲车在乙车前面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可知在前，甲车的速度高于乙车的速度；根据路程与速度和时间的关系可得到甲车的路程多于乙车的路程，从而可知甲车在乙车前面.‎ ‎【详解】由图象可知，在时刻前，甲车的速度高于乙车的速度 由路程可知，甲车走的路程多于乙车走的路程 在时刻，甲车在乙车前面 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的应用，关键是能够准确选取临界状态，属于基础题.‎ ‎4.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.‎ ‎5.如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（　　）‎ A. 4.5 B. 3.75 C. 4 D. 4.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线必过，求出代入回归直线可构造出方程求得结果.‎ ‎【详解】由数据表可知：，‎ 由回归直线可知：，即：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点，属于基础题.‎ ‎6.若函数，则（　）‎ A. 0 B. 8 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式可求得，结合函数奇偶性可得到，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数性质的应用，关键是能够根据解析式确定 为定值，从而求得结果.‎ ‎7.设，若是的最小值，则的取值范围是（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】当时，（当且仅当时取等号）‎ 当时，‎ 当时，在上的最小值为，不合题意 当时，在上单调递减 ‎ 是在上的最小值 且 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.‎ ‎8.设函数，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的定义可知为定义域，为值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合，结合对数型复合函数单调性可求得值域，即集合；根据图可知阴影部分表示，利用集合交并补运算可求得结果.‎ ‎【详解】的定义域为：，即： ‎ 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增，在上单调递减 ‎；当时，；当时，‎ 的值域为： ‎ 图中阴影部分表示：‎ 又， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到图的读取等知识.‎ ‎9.下列命题中正确的个数①“，”的否定是“，”；②用相关指数可以刻画回归的拟合效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③命题“若，则”的逆命题为真命题；④若的解集为，则.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知越接近，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在和的情况下，根据解集为确定不等关系，从而解得范围，可知④正确.‎ ‎【详解】①根据全称量词的否定可知“，”的否定是“，”，则①错误；‎ ‎②相关指数越接近，模型拟合度越高，即拟合效果越好；越接近，模型拟合度越低，即拟合效果越差，则②错误；‎ ‎③若“，则”的逆命题为：若“若，则”，根据不等式性质可知其为真命题，则③正确；‎ ‎④当时，，此时解集不为，不合题意；‎ 当时，若解集为，只需：‎ 解得：，则④正确.‎ 正确的命题为：③④‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为求解参数范围的知识.‎ ‎10.只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.‎ ‎【详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个 当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同 满足题意的五位数共有：个 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.‎ ‎11.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】由且得：‎ 令，可知在上单调递增 在上恒成立，即：‎ 令，则 时，，单调递减；时，，单调递增 ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.‎ ‎12.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况 第一次取出两球连号的概率为：‎ 第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：‎ 中奖的概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查和事件概率问题求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.，，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析： 由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.‎ 详解：由，可得，‎ 则，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.‎ ‎14.若的展开式的第项的二项式系数为，则其展开式中的常数项为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据第项的二项式系数可知，求出，进而得到展开式的通项公式；令的幂指数为零可知；代入通项公式可求得常数项.‎ ‎【详解】由二项式定理可知，第项的二项式系数：，解得：‎ 展开式通项公式为：‎ 令，解得：‎ 常数项为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够明确二项式系数的定义、二项展开式的通项公式的形式.‎ ‎15.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布,已知成绩在到分之间的学生有名，若该校计划奖励竞赛成绩在分以上（含分）的学生，估计获奖的学生有________.人（填一个整数）（参考数据：若有，‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布函数可知，，从而可确定竞赛分数在到分之间的概率为，进而求得参赛学生总数；利用竞赛成绩在分以上所对应的概率可求得获奖学生数.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 若参赛学生的竞赛分数记为，则 参赛的学生总数为：人 获奖的学生有：人 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查正态分布的实际应用问题，关键是能够利用原则确定区间所对应的概率，从而求得总数，属于基础题.‎ ‎16.若函数有两个极值点，其中,，且，则方程的实根个数为________个.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据有两个极值点可知有两个不等正根，即有两个不等正根，从而可得；采用换元的方式可知方程有两个不等实根，从而可将问题转化为与和共有几个交点的问题；通过确定和的范围可确定大致图象，从而通过与和的交点确定实根的个数.‎ 详解】有两个极值点 有两个不等正根 即有两个不等正根 ‎ 且，‎ 令，则方程判别式 方程有两解，且，‎ 由得：，又 ‎ 且 ‎ 根据可得简图如下：‎ 可知与有个交点，与有个交点 方程的实根个数为：个 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查方程解的个数的求解问题，解决此类问题常用的方法是将问题转化为曲线与平行于轴直线的交点个数问题，利用数形结合的方法来进行求解；本题解题关键是能够确定极值的大致取值范围，从而确定函数的图象.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明0证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数在上是奇函数，且在处取得极小值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的切线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数性质可知；利用极值点和极值可得到方程组，解方程组求得解析式；（2）设切点坐标，利用切线斜率等于在切点处的导数值，又等于两点连线斜率来构造方程求得，进而得到切线斜率，从而得到切线方程.‎ ‎【详解】（1）是定义在上的奇函数 ‎ 则 ，解得：‎ ‎（2）设切点坐标为：，则在处切线斜率：‎ 又 ，解得：‎ 过的切线方程为：，即：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数性质和极值求解函数解析式、求过某一点处切线方程的求解问题；考查学生对于导数与极值的关系、导数几何意义的掌握情况，属于导数的基础应用问题.‎ ‎18.为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学。高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）‎ ‎（1）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？‎ ‎（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望.‎ 参考公式 临界值表 ‎【答案】（1）列联表见解析；有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频数表可补充列联表，从而计算求得，得到有以上的把握；（2）首先确定所有可能的取值，分别计算每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望计算公式求得期望.‎ ‎【详解】（1）补充的列联表如下表：‎ 传统教学 创新教学 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”‎ ‎（2）由题意得：所有可能的取值为：‎ 则；；‎ ‎；‎ 的分布列为：‎ 数学期望 ‎【点睛】本题考查独立性检验的应用、服从超几何分布列的随机变量的分布列和数学期望的求解；关键是能够准确确定随机变量所服从的分布类型，进而运用对应的公式求解概率，属于常考题型.‎ ‎19.已知.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，且在区间上的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数解析式可得定义域和导函数；分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到函数的单调性；（2）首先确定解析式和；通过可知；分别在、和三种情况下确定在上的单调性，从而得到最小值的位置，利用最小值构造方程求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得：定义域为：；‎ 当时，在上恒成立 在上单调递增 当时，令，解得：‎ 时，；时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 ‎（2）‎ 则 令，解得：‎ ‎①当，即时，在上恒成立 在上单调递增 ，解得：，舍去 ‎②当，即时，‎ 时，；时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 ‎，解得：，符合题意 ‎③当，即时，在上恒成立 在上单调递减 ‎，解得：，舍去 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据函数在区间内的最值求解参数值的问题；关键是能够根据参数与导函数零点的位置关系确定函数在区间内的单调性，从而得到最值的位置.‎ ‎20.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ‎，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）520.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据题意所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，；（2）分两种情况：当时，当时，分别得到利润表达式.‎ 详解：‎ ‎（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ‎，，.‎ 因此的分布列为 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 当时，‎ 若最高气温不低于25，则；‎ 若最高气温位于区间，则；‎ 若最高气温低于20，则 因此 当时，‎ 若最高气温不低于20，则，‎ 若最高气温低于20，则，‎ 因此 所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元.‎ 方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.‎ ‎21.已知函数在其定义域内有两个不同极值点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）试比较与的大小，并说明理由；‎ ‎（3）设的两个极值点为，证明.‎ ‎【答案】(1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程 的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得：定义域为；‎ 在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根 即：与在有两个不同的交点 设过的的切线与相切于点 则切线斜率，解得：‎ 过的的切线的斜率为：‎ ‎，解得：‎ 即的取值范围为：‎ ‎（2）令，则 时，；时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 ‎，即： ‎ 即： ‎ ‎（3）由（1）知，是方程的两根 即：，‎ 设，则 ‎ 原不等式等价于：‎ 即：‎ 设，则，只需证：，‎ 设， ‎ 在上单调递增 ‎ 即在上恒成立 所证不等式成立 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点个数求解参数范围、通过构造函数的方式比较大小、利用导数证明不等式的问题；利用导数证明不等式的关键是能够将所证不等式转化为与两个极值点有关的函数的最值的求解问题，通过求解最值可确定不等关系.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 选修4－4：极坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与圆相切，求值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程的方法可直接得到结果；（2）利用直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而构造方程求得.‎ ‎【详解】（1）由题意得：直线的普通方程为：‎ 圆的极坐标方程可化为：‎ 圆的直角坐标方程为：，即：‎ ‎（2）由（1）知，圆圆心坐标为；半径为 与相切 ，解得：‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、根据直线与圆的位置关系求解参数值的问题；关键是能够明确直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，从而在直角坐标系中来求解问题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在、、去除绝对值符号可得到不等式；综合各个不等式的解集可求得结果；（2）根据的范围可转化为在上恒成立，通过分离变量可得，通过求解最大值可得到结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，解集为 当时，，解得：‎ 当时，，解得：‎ 综上所述，的解集为：‎ ‎（2）当时，‎ 不等式可化为：，即：‎ 当时，‎ 当，即时， ‎ 即的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；解绝对值不等式的关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在每个区间上的解析式；常用的恒成立问题的处理方法是通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系.‎ ‎ ‎