江苏省苏北地区2019-2020学年高一上学期学情调研数学试题 含解析

江苏省苏北地区2019-2020学年高一上学期学情调研数学试题 含解析

江苏省苏北县2019-2020学年高一上学期学情调研数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合3，5，，4，，则 A. B. C. D. 2，3，4，5，‎ 2. 若，则 A. B. C. 8 D. 9‎ 3. 已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为 A. B. C. D. ‎ 4. 下列函数中图象相同的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 函数的定义域为 A. B. C. D. ‎ 6. 若函数在区间内递减，那么实数a的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数，则 A. B. C. 2 D. ‎ 8. 指数函数是R上的减函数，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 9. 函数的单调增区间为 A. B. C. D. ‎ 10. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 A. B. C. D. 4‎ 11. 设函数是R上的单调增函数，则实数b的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 12. 已知函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 1. 已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为______．‎ 2. 计算______．‎ 3. 计算：的值为______．‎ 4. 若函数是定义在实数集R上的偶函数，且在上是单调增函数，，则不等式的解集为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 5. 计算 ； ． ‎ 6. 已知集合，． 求，； 若，求实数a的取值范围． ‎ 7. 函数是定义在上的奇函数． 求实数a的值； 判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； ‎ 8. 已知函数是二次函数，且满足，． 求的解析式； 求函数，的最小值 若，试将的最小值表示成关于t的函数． ‎ 1. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入单位：万元满足，乙城市收益Q与投入单位：万元满足，设甲城市的投入为单位：万元，两个城市的总收益为单位：万元． 写出两个城市的总收益万元关于甲城市的投入万元的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益； 试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ ‎ 2. 设函数且x，． 判断的奇偶性，并用定义证明； 若不等式在上恒成立，试求实数a的取值范围； 的值域为函数在上的最大值为M，最小值为m，若成立，求正数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：集合3，5，，4，， ． 故选：B． 利用交集定义直接求解． 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，． 故选：A． 把对数式化为指数式即可得出． 本题考查了对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，设， 则， 解得， ， 故选：A． 根据幂函数的概念，设出函数解析式，待定系数求解即可． 本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，考查计算能力，是基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：对于A，函数，与函数的对应关系不同，不是同一函数，图象不同； 对于B，函数，与函数的定义域不同，不是同一函数，图象不同； 对于C，函数，与函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，图象不同； 对于D，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，图象相同． 故选：D． 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断是同一函数，得出图象相同． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：要使原函数有意义，则，解得， 原函数的定义域为． 故选：D． 可看出，要使得原函数有意义，需满足，解出x的范围即可． 本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数的对称轴为， 要使函数在区间内递减， 则， 即， 实数a的取值范围是， 故选：D． 根据二次函数单调性和对称轴之间的关系，建立条件关系即可． 本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性和对称轴之间的关系是解决本题的关键． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数， ． 当时，． ， 故选：B． 由已知条件利用分段函数的性质求解． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由指数函数的性质可得，当底数位于区间时指数函数为减函数， 据此可得实数a的不等式：，解得：， 即实数a的取值范围是． 故选：C． 利用指数函数的单调性得到关于实数a的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 本题考查指数函数的单调性，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数的定义域为，且内层函数在上单调递增， 而外层函数是增函数， 函数的单调增区间为． 故选：B． 由对数函数的真数大于0求得函数定义域，在求出内层函数的增区间得答案． 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，当时，，则， 又由函数为奇函数，则； 故选：C． 根据题意，由函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为每一段单调递增， 所以只需：． 故选：C． 直接根据每一段都递增，且前一段的最大值小于等于后一段的最小值求解即可． 本题主要考查分段函数的单调性，分段函数要想整体是个增函数，须每一段都递增，且前一段的最大值小于等于后一段的最小值． ‎ ‎12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即函数为奇函数， 设，则， ，在上为减函数，而在上为增函数， 故在区间上为减函数， ， 解可得：，即不等式的解集为； 故选：D． 根据题意，分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得，解可得x的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的定义域，不等式的解法，属于基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：令指数可得：，且：， 据此可得函数恒过定点，即A的坐标为． 故选：B． 首先令指数等于0，然后求解类指数函数所过的定点即可． 本题考查了指数函数的性质，函数恒过定点问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：原式． 故答案为：． 利用指数与对数运算性质即可得出． 本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15.【答案】10 ‎ ‎【解析】解：原式 故答案为：10． 先把根式化成分数指数幂，然后进行分数指数幂的运算即可． 本题考查了根式和分数指数幂的转化，分数指数幂的运算，考查了计算能力，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数是定义在实数集R上的偶函数，且， 则， 又由在上是单调增函数，则原不等式等价于， 即，解可得， 即不等式的解集为； 故答案为：． 根据题意，由函数的奇偶性以及特殊值可得，结合函数的单调性分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 17.‎ ‎【答案】解：． ． ‎ ‎【解析】利用指数运算性质即可得出． 利用对数运算性质即可得出． 本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：由题意集合， 集合， 所以， 所以， 所以； 因为，所以； 由， 解得； 所以实数a的取值范围是． ‎ ‎【解析】化简集合A、集合B，根据补集与并集、并集的定义，计算即可； 由得，由此列不等式组求出a的取值范围． 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． 19.【答案】解：根据题意，是奇函数，则， 即，变形可得； 故； 在上为增函数． 根据题意，设， 则， 又，则， 则有， 所以在上是单调增函数． ‎ ‎【解析】根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案； 根据题意，由作差法分析可得结论． 本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是求出a的值，属于基础题． 20.【答案】解：设函数的解析式为， 因为，所以， 又， 所以，解得，． 所以． 令，， 则，， 所以当即时． ，， 当时在上单调递减， 所以的时候有最小值， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，即此时， 综上所述：． ‎ ‎【解析】因为是二次函数，可设，因为，再根据，所以，解得a ‎，从而得出的解析式； 用换元法令，，则，，求出最小值即可． 分两种情况讨论当时，当时，单调性及最小值，即可得出答案． 本题考查二次函数的图象和性质及最值，属于基础题． 21.【答案】解：由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元， 所以， 依题意得，解得， 故，， 当时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元， 所以总收益． ， 令，则． 所以， 当，即万元时，y的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． ‎ ‎【解析】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益； ，，令，则．，然后求解函数的最值即可． 本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 22.【答案】解：的定义域为，且， 为奇函数； 若不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，， 当，即时，函数取最小值，故； 是上的减函数， 在上的值域为， 在区间上，恒有， 时，在上单调递增，，， ，解得，不满足； 时，在上是增函数，， ，不满足题意； 时，在上单调递减，在上单调递增， ，即时，在上是增函数， ，， ，解得； ，即时，在上单调递减， ，， ，解得； ，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，， 当，即时，，解得，， 当，即时，，解得，， 综上，a的取值范围是． ‎ ‎【解析】可看出是奇函数，根据奇函数的定义证明即可； 由题意可得出在上恒成立，然后令，，从而得出，配方即可求出y的最小值为，从而得出； 容易求出，从而得出时，，可讨论a：容易得出时，不符合题意；时，可知在上是减函数，在上是增函数，从而可讨论，和，然后分别求出在上的最小值和最大值，根据求出a的范围即可． 本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题． ‎